Integral+indefinida

__ ** INTEGRAL INDEFINIDA  ** __

La [|integración] es el proceso contrario a la [|derivación],

El término integración tiene dos acepciones en matemáticas:


 * 1) Dada una función hallar su primitiva, o lo que es lo mismo, dada la derivada de una función, hallar dicha función ([|integral indefinida]).
 * 2) Es una sumatoria de un número infinito de infinitésimos (integral definida).

La integración es conocida como la antiderivación

ANTIDERIVACIÓN

En cierta forma ya se ha familiarizado con las operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, así como la multiplicación y la división, además de la potenciación y la extracción de raíces, la ANTIDERIVACIÓN es lo contrario a la derivación.Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I sí F´(x) = f(x) para todo valor de x en I.

Es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada.

El símbolo ʃ denota la operación de antiderivación, y se escribe:

** ʃ f(x) dx = F(x) + C **
 * INTEGRAL INDEFINIDA **

En [|cálculo infinitesimal], la función primitiva o antiderivada de una [|función] f es una función F cuya [|derivada] es f, es decir, F ′ = f.Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un [|intervalo] es que sea [|continua] en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida, y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las [|integrales definidas] a través del [|teorema fundamental del cálculo], y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.


 * TEOREMAS PRINCIPALES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si: f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 1:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f´(x) = g´(x) para toda x en I entonces existe una constante K tal que:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f (x) = g (x) + K para toda x en I.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si: F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces entonces cada antiderivada de f en I está dada por:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 2:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">//**F(x) + C**// <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse a partir de (1) asignando .valores particulares a C.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Otras propiedades de linealidad de la integral indefinida <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La primitiva es lineal, es decir: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La linealidad se puede expresar como sigue:
 * 1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.
 * 2) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La primitiva de una función impar es siempre par:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica **

<span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f -1 aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f -1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CÁLCULOS DE PRIMITIVAS
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">INTEGRALES INMEDIATAS: Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aquí están las principales funciones primitivas: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x).
 * ~ <span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;">Función [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/1/3/b13be40341fd44a1f4b363313147aeb7.png caption="F ,!"]]: primitiva de [[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/c/4/ec4e9dfbb8e117197c3d4727c19b1a62.png caption="f ,!"]] ||~ <span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;">**funció**** n [[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/c/4/ec4e9dfbb8e117197c3d4727c19b1a62.png caption="f ,!"]]: derivada de ** [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/1/3/b13be40341fd44a1f4b363313147aeb7.png caption="F ,!"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/0/f/1/0f1998b4c2488795a881a7ddf82e0258.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/2/a/5/2a56c93c220afa06facc7dc9e45ae389.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/d/d/0/dd0bdf5c2c8efe8d55405e5198e8d49d.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/7/1/2/712ba1bcac9f99228450e172ce84218a.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/a/6/1/a615368045cd7e33a1c8177d73a504ef.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/5/5/9/55995b1c783521a4ff41a9924a8f8bb1.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/f/c/7/fc7a732dfc76bd7c0600e5c355d51ce3.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/3/3/b/33b800dac2363b0e15c85a401cfea148.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fccb3288ded03125e7ed78246167ffe.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/d/2/f/d2f050021fb45cf0393b43140fd1aae4.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/8/6/b/86bda585fa35823e1fb23cfaeebb1524.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/4/a/0/4a0f5de1fc070305a45dde9de8e7650c.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/8/5/c/85c1c5f75939fb9108c28bbc349374cc.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/c/2/4/c244ced42e1bb9a58ec58d65c8301820.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/d/a/bda1c491b3cf01c52add9e6ee50572e3.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/c/d/d/cddb2c086708e3e4d19622a9817546fc.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/c/3/d/c3dfb1d08579461fb6b8d9453cfd7d59.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/4/2/7/42774b762537a1c199a602f9a7cd2cc2.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/7/1/8/71861996a788f0095964a44ba2fafb49.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/f/f/7/ff76e9d8e224618715bb8552ea3d4298.png align="center"]] ||
 * [[image:http://upload.wikimedia.org/math/d/d/e/ddee6f9dd6521978089ea20aee83dec4.png align="center"]] || [[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/3/0/e3095c7b8206ab5f0cef0f322cdb0e04.png align="center"]] ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2. 2x es la derivada de x2, 3x2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3x2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">APLICACIONES DE LA INTEGRAL

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aplicación en la Física (cinemática):Resumen de los factores que define un movimiento rectilíneo, con las siguientes ecuaciones:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Posición: X(m) Ec. 1
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Desplazamiento: Xm=X-Xo Ec. 2
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Velocidad media: Vm=V-Vo Ec. 3
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Velocidad: V=dX/dt (m/s) Ec. 4
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aceleración media: am=V-Vo/t-to (m/s) Ec. 5
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aceleración: a=d(d(x))/dt(dt) Ec. 6

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La aceleración es la ecuación derivada de la posición respecto al tiempo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si en las ecuaciones 3 y 5 despejamos dt


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">dt=dv/a **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">dt=dx/v **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Igualamos las dos ecuaciones y despejamos la aceleración.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a=v(dv)/dx **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA.Un movimiento queda completamente determinado cuando se conoce sus tres ecuaciones horarias:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. X=f(t) **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. V=f(t) 3. a=f(t) **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CASO I: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cuando X=f (t) es conocido.Cuando se conoce la ecuación de la posición en función del tiempo f (t) =XPara hallar la ecuación de la ecuación, se deriva la ecuación de la posición respecto al tiempo.

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">V=dx/dt ** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para hallar la ecuación de la aceleración, se deriva la ecuación de la velocidad respecto al tiempo. **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a=dx/dt=d(dx)/dt(dt) ** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CASO II: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cuando a f (t) es conocido.Para hallar las ecuaciones de la velocidad V= f (t) aplicamos la operación de la inversa de la derivación que es la integración. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Partimos de la ecuación


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a=dv/dt **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y despejamos d


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v.dv=a.dt.dv=f(t)dt **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Integramos ambos miembros.

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ʃ dv = ʃ f(t)dt ** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta ecuación se define Velocidad en función del tiempo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A consecuencia de la integración se introduce una constante arbitraria, debido a que hay muchos movimientos que corresponde a al aceleración dada

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a= f (t). ** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para definir unívocamente el movimiento de la partícula que estamos analizando es necesario especificar las condiciones iníciales del movimiento es decir los valores de X y V para el tiempo t=0.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Condiciones iníciales para **t=0.**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**X= Xo** posición inicial <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**V=Vo** velocidad inicial <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Condiciones iníciales para **t=t .** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**X=X** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**V=V** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Podemos transformar las integrales indefinidas en integrales indefinidas introduciendo como límite inferiores de la integral las condiciones iníciales y como limites superiores las condiciones correspondientes a t=tl.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">V = ʃ adt + vo (Ecuación diferencial de la velocidad).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**ECUACIÓN DE LA POSICIÓN** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Partimos de la ecuación.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v=dx/dtDespejamos dx :

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**dx=vdt**// <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Integramos ambos miembros <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**ʃ dx= ʃ vdt + C** Transformamos la integral indefinida en integral definida obtenemos la ecuación. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**x = ʃ v dt+Xo** se sabe que los limites se dan de 0 a t

<span style="color: #190000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**CASO III:**Cuando a = f(t)es conocida <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Partimos de la ecuación y despejamos. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**a=v(dv)/dt**//**v dv** Sustituimos a por Integramos ambos miembros.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a dx **
 * f(x). vdv **
 * f(x) x **
 * ʃ vdv = ʃ f(x)dx **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La velocidad es constante; <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">V=cte y a=0. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ecuación de la posición. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x = ʃ vdt+xo <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x= v ʃ fdt+xo
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">APLICACIONES EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE **
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x= vt+xo ** (Ecuación de la posición)

<span style="color: #140101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">APLICACIONES EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La aceleración es constante a= cte

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**//Ecuación de la velocidad.//** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">v= ʃ adt+ Vov=a ʃ dt+ Vov=at + Vo (Ecuación de la velocidad)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">x= ʃ vdt + xox= ʃ (vo+at)dt + xox= ʃ vodt+ ʃ atdt+ xox=voʃ dt + a ʃ tdt + xox=vot + a t^2/2 + xo (Ecuacion de la posicion)

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplos:
 * 1) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una partícula con movimiento rectilíneo tiene por ecuación de la aceleración a=6t m/s, si en el instante inicial de la observación de la partícula se encuentra en la abscisa -20m con velocidad de -4 m/s. determinar:
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a) las ecuaciones horarias del movimiento
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">b) la posición aceleración y velocidad a los 2 s

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a=6tm/s(s)v= ʃadt+vov=6 ʃt(dt)+vov=3t(t)-4x= ʃvdt+xox= ʃ(3t(t)-4)dt-20x=3 ʃt(t)dt-4 ʃdt-20x=t(t)(t)-2t(t)-20 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a=6ta=6(2)a=12m/s(s)v=3t(t)-4v=3(4)-4v=8m/sx=t(t)(t)-2t(t)-20x=8-2(4)-20x=-20m
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a) Las ecuaciones horarias del movimiento.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 19px; text-align: justify;">b) la posición aceleración y velocidad a los 2 s

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**FORMAS DE INTEGRACIÓN**


 * ** Integración Directa: **
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ dx = x + C
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ m dx = m x + C (m es una constante)
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ xⁿ dx = xⁿᶧ¹/n+1 + C ; n diferente de -1
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ ( dx+dy+dz ) = ʃ dx + ʃ dy + ʃ dz
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ [ F´(x) / F(x) ] dx = ln |F(x)| + C
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ [ F(x) ]ⁿ [ F´(x) ] dx = [ F(x) ]ⁿᶧ¹ / n+1 + C ; n diferente de -1
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ eᵡ dx = eᵡ + C
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ aᵡ dx = aᵡ / ln a + C


 * ** Integración por sustitución **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El **método de integración por sustitución** o **por cambio de variable** se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Procedimiento práctico <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Supongamos que la integral a resolver es: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ahora necesitamos sustituir también dx para que la integral quede sólo en función de u: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Tenemos que por tanto derivando se obtiene 4xdx= du <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se despeja se agrega donde corresponde en (1):

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">De interésSupongamos ahora que la integral a resolver es: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;">**Véase el video:** <span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;">media type="youtube" key="EzONgDey7Rg?fs=1" height="385" width="480"

= =
 * **<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;"> [|Integrales de Funciones Trigonométricas]: **


 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ cos x dx = sen x + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ sen x dx = - cos x + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ sec² x dx = tan x + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ csc² x dx = - ctan x + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ sec x tan x dx = sec x + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ csc x ctan x dx = - csc x + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ tan x dx = ln |sec x| + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ ctan x dx = ln |sen x| + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ sec x dx = ln |sec x + tan x| + C
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ʃ csc x dx = ln |csc x - ctan x| + C


 * INTEGRALES DE FORMAS TRIGONOMÉTRICAS :

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 17px; text-align: justify;">Se basa en la utilización de la identidad trigonométrica fundamental.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea "n" un número entero impar

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">sen² θ + cos² =1 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">sen² θ =1 - cos² θ <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">cos² θ = 1 - sen² θ

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">sen² θ=1/2 - 1/2 cos 2θ <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">cos² θ = 1/2 + 1/2 sen 2θ

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; margin: 0.5em 0px 0px; padding: 0px 0px 0px 3em; text-align: justify;">Sea "n" sea un número entero positivo <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 17px; margin: 0px; padding: 0px; text-align: justify;">Se basa en la utilización de las identidades trigonométricas: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> tan² θ = sec ² θ - 1 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; margin: 0px; padding: 0px; text-align: justify;">cot² θ = csc ² θ - 1

<span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; font-size: 90%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** Se basa en la utilización de las identidades trigonométricas: **
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** Sea "n" sea un número entero positivo par **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** 1 + tan² θ = sec ² θ** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** 1 + cot² θ = csc ² θ **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** Sea "m" sea un número entero positivo par ** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** Se basa en la identidades trigonométrica ** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** tan² θ = sec ² θ - 1 ** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** cot² θ = csc ² θ - 1 **

Sea "n" sea un número entero positivo impar <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** Se basa en la utilización de la fórmula de [|integración por partes] : **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * ** INTEGRACION POR PARTES **

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES**



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Deducción de Formulas de Recurrencia Matemática <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃ sen ф d ф ; ne {1,2,3,4……} <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃ sen ^ n-1 ф senф d ф = uv - ʃvdu <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">u = sen ^ n-1ф dv = sen ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">du = (n-1)sen ^ n-2 ф cos ф d ф ʃdv = ʃsen ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">v = - cos ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = sen ^ n-1ф (-cos ф) - ʃ(-cos ф) ^ (n-1) sen ^ n-2ф cos ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -sen ^ n-1ф cos ф + (n-1) ʃsen ^ n-2 cos2 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -sen ^ n-1ф cos ф + (n-1) ʃsen ^ n-2 ф (1 – sen2ф) d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -sen ^ n-1ф cos ф + (n-1) ʃsen ^ n-2 ф d ф – (n-1) ʃsen ^ n ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I + (n-1) I = -sen ^ n-1ф cos ф + (n-1) ʃsen ^ n-2 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">n I = -sen ^ n-1ф cos ф + (n-1) ʃsen ^ n-2 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I =-1/n sen ^ n-1ф cos ф + (n-1)/n ʃ sen ^ n-2 ф d ф è LEY DE RECURRENCIA MATEMATICA
 * 1) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 17px; text-align: justify;">Deducción de la formula de recurrencia Matemática
 * 2) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución de diferenciales que contienen productos especiales de funciones
 * 3) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución de diferenciales que contienen logaritmos naturales de funciones
 * 4) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución de diferenciales que contienen funciones trigonométricas inversas
 * 5) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Aplicaciones

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Ejercicio:** dada la ley de recurrencia matemática; calcular la siguiente integral

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃsen5 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -1/nsen ^n-1ф cos ф + (n-1)/n ʃsen^n-2 ф d ф

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> APLICAR PARA: n = 5

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">REEMPLAZAMOS: I = -1/5 sen4ф cos ф + 4/5 ʃ sen3 ф d ф è VOLVEMOS: APLICAMOS LA LEY DE <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">RECUPERANCIA MATEMATICA <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -1/5 sen4ф cos ф + 4/5[-1/3 sen2ф cos ф +2/3 ʃsen ф d ф] <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -1/5 sen4ф cos ф - 4/15 sen2ф cos ф – 8/15 cos ф +c

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">EJERCICIO:I = ʃsen6 ф d ф = ?? <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">LEY DE RECURRENCIA MATEMATICA: I = -1/n sen ^n-1ф cos ф + (n-1)/n ʃ sen^n-2 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">APLICAR PARA: n=6 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Resultado: I = -1/6 sen5ф cos ф + 5/6 ʃsen4 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -1/6 sen5ф cos ф + 4/6[-1/4 sen3ф cos ф +3/4 ʃsen2 ф d ф] <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -1/6 sen5ф cos ф - 5/24 sen3ф cos ф +15/28 ʃ sen2 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -1/6 sen5ф cos ф - 5/24 sen3 ф cos ф +5/8 [-1/2 senф cos ф +1/2 ʃd ф] <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -1/6 sen5ф cos ф - 5/24 sen3 ф cos ф - 5/16 senф cos ф +5/6 ф + c

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">EJERCICIOS:**1.-** I = ʃ cos5 ф d ф = ?? <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/5 cos4ф sen ф + 4/5 ʃ cos3 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/5 cos4ф sen ф + 4/5 [1/3 cos2ф sen ф +2/3 ʃ cos ф d ф] <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/5 cos4ф sen ф + 4/15 cos2 ф sen ф +8/15 senф + c

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**2.-** I = ʃ cos6 ф d ф = ?? <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/6 cos5ф sen ф + 5/6 ʃ cos4 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/6 cos5ф sen ф + 5/6 [1/4 cos3ф sen ф +3/4 ʃ cos2 ф d ф] <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/6 cos5ф sen ф + 5/24 cos3 ф sen ф + 15/24 ʃ cos2 ф d ф <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/6 cos5ф sen ф + 5/24 cos3 ф sen ф +15/24 [1/2 cos ф sen ф + 1/2 ʃ d ф] <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/6 cos5ф sen ф + 5/24 cos3 ф sen ф +15/48 cos ф sen ф + 15/48 ф + c

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SOLUCION DE DIFERENCIALES QUE CONTIENEN PARAMETROS ESPECIALES <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃex sen x dx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃ ex sen x dx = uv - ʃ vdu <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">u = ex dv = sen x dx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">du = exdx ʃ dv = ʃ senxdx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">v = -cosx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I =-excosx + ʃex cos x dx (a) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I1

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Calculo de I1: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃ e ^x cos x dx = uv - ʃ vdu <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">u = e ^x dv = sen x dx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">du = e ^xdx ʃ dv = ʃ senxdx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">v = senx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I1 =e ^x. senx - ʃe^x sen x dx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 17px; text-align: justify;">I1 = e^x. senx – I (b)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Reemplazamos (b) en (a)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I= - e ^x cosx + e^x sen x – I <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2I= - e ^x cosx + e^x sen x  <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = 1/2 e ^x sen x - 1/2 e^x cosx

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2) Iʃ x^2cosxdx uv- ʃ vdu

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 17px; text-align: justify;">u = x^2 dv = cosxdx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">du = 2xdx ʃ dv = ʃcosxdx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">v = sinx

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x^2 sin x - ʃ sin x 2x dx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x^2 sin x - 2 ʃx sin x dx <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃx sin x dx

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">u= x dv = sin x <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">du=dx ʃ dv = ʃ sin x <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">v = - cos x

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -x cos x + ʃ cos x dx

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = -x cos x + sin x

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x^2 sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x^2 sin x + 2 ( x cos x - sin x ) + C

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">CALCULO DE DIFERENCIAS QUE CONTIENEN LOGARITMOS NATURALESEjemplo: I = ʃ x ln x dx

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">solucion adecuada:

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃ x ln x dx = uv - ʃ vduu = ln x dv = x dxdu = dx/x ʃ dv = ʃ x dxv = x^2/2I = x^2/2 ln x - ʃ x^2/2 dx/x I = x^2/2 ln x - 1/2 ʃ x dxI = x^2/2 ln x - 1/2 x^2/2 + CI = 1/2 x^2 ( ln x -1/2 ) + C <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SOLUCION DE DIFERENCIALES QUE CONTIENEN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSA <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ejemplo: <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃ Arc sin x dx <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">solucion: <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = ʃ Arc sin x dx = uv - ʃ vdu <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">u = Arc sin x dv = dx <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">du = dx / ( 1 - x^2 )^1/2 ʃ dv = ʃ dx <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">v = x <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x Arc sin x -ʃ x dx / ( 1 - x^2 )^1/2 <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x Arc sin x - ʃ x ( 1 - x^2 )^-1/2 dx <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x Arc sin x + 1/2 ʃ ( 1 - x^2 )^-1/2 (-2x) dx <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x Arc sin x + 1/2 * ( 1 - x^2 )^-1/2 / 1/2 <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">I = x Arc sin x + ( 1 - x^2 )^1/2 + C

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">** DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ** u = f (x) → du/dx
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">N° ||= <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">FUNCION || <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">DERIVADA ||
 * ||= <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">Y = Arc sin u || <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">dy/dx= du/dx / (1- u^2)^1/2 ||
 * ~  ||= <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">Y = Arc cos u || <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">dy/dx= - du/dx / (1- u^2)^1/2 ||
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">03 ||= <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">Y = Arc tan u || <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">dy/dx= du/dx / 1+ u^2 ||
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">04 ||= <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">Y = Arc cot u || <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">dy/dx= - du/dx / 1+ u^2 ||
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">05 ||= <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">Y = Arc sec u || <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">dy/dx= du/dx / u( u^2 - 1)^1/2 ||
 * <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">06 ||= <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">Y = Arc csc u || <span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">dy/dx= - du/dx / u( u^2 - 1^1/2 ||

<span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; height: 1px; left: -10000px; overflow: hidden; position: absolute; text-align: justify; top: 342px; width: 1px;"> DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos a una antiderivada, primitiva o F integral indefinida de en el intervalo f I, si )  ( x f x F D x   media type="facebooklike" key="http%3A%2F%2Fanalisisfigempa.wikispaces.com%2FIntegral%20indefinida" width="450" height="80" align="right" <span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; font-size: 0.1em; height: 1px; left: -10000px; overflow: hidden; position: absolute; text-align: justify; top: 342px; width: 1px;"> − − x x x H x H es decir C x H x H )  ( 1. Por lo tanto C <span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; text-align: justify;">Para regresar al ìndice click aqui home