FUNCIONES+REALES

__**Funciones Reales **__

De ahora en adelante estudiaremos un conjunto particular de funciones llamadas funciones reales.

Se define una función f de un conjunto A en un conjunto B, como un subconjunto de A x B tal que cada elemento x ϵ A hace corresponder un único y ϵ B, de modo que y es la imagen de x por f y se denotara: y = f(x)
 * DEFINICIÓN **



Donde tanto A como B son subconjuntos de R; es decirA⊂RB⊂R

Para indicar que f es una función de A en B se usa la siguiente notación

f : A→B A→B

 o

 x→y=f(x) x→y=f(x)


 * DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL **

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una función puede tener. En el caso de funciones reales, para determinar el dominio de la función, en la expresión y=f(x) vemos cuales son los posibles valores para la variable x.

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir. Para determinar el recorrido o rango de una función, de la expresión y=f(x) despejamos x con los valores del dominio, y vemos cuales son los valores que puede tomar la y, estos valores constituyen el recorrido de la función.


 * TIPOS DE FUNCIONES **


 * **FUNCIÓN AFÍN Y LINEAL **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es una función definida por: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">PROPIEDAD: Sea f la función lineal de R en R definida por f(x)=ax. Entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">de (i) y (ii) podemos resumirlo en: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir que la función lineal cumple con la propiedad de linealidad


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">FUNCIÓN POTENCIA POSITIVA **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es una función definida por: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Con un entero positivo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">PRIMER CASO: Si n=1,
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(x)=x luego f es la función identidad, la misma que es un caso particular de la función lineal.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CASO GENERAL: n ≥ 2
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Paridad

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n es par, f(-x) = xn y f es una función par <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n es impar, f(-x) = - xn y f es una función impar

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En los dos casos es suficiente estudiar la función f sobre el intervalo [0,∞[

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Función par: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ecuación impar: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">




 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">FUNCIÓN POTENCIA NEGATIVA **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es la función real

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Con n entero estrictamente positivo.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Paridad

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En ambos casos es suficiente estudiar la función f sobre el intervalo ]0,+∞[.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n es par, obtenemos toda la gráfica de f a través de una simetría con respecto al eje Y.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n es impar, obtenemos toda la gráfica de f a través de una simetría con respecto al origen.f es monótona sobre el intervalo ]0,+∞[

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Reconocemos aquí la expresión correspondiente al cociente Q de la función positiva, el cual es siempre positivo y como :

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">se tiene que en este caso Q < 0 y en consecuencia la función potencia negativa es estrictamente decreciente sobre ]0,+∞[

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLOS:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caso General: Sabemos que para todo n :

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * ======**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">FUNCIÓN RAÍZ **======

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea la función:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sabemos que g es una función biyectiva; por lo tanto, existe su función inversa:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definición: Llamamos raíz n-ésima de un real positivo al único número real positivo g-1(y), y la notaremos por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Observación: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como g o g <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">-1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">= I =g <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">-1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">o g, tenemos que para cualquier número real positivo g(g <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">-1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(y)) = y es decir:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En este caso tenemos que como g es una función creciente, también g-1 es creciente.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Consecuentemente se tiene que g-1 es estrictamente creciente.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(La inversa de una función estrictamente creciente es estrictamente creciente y la inversa de una función estrictamente decreciente es estrictamente decreciente)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La representación gráfica de g-1 se deduce de la representación gráfica de g por una simetría con respecto a la bisectriz de los dos ejes, es decir, respecto a la recta y=x puesto que si M = (x,g(x)) ∈ g, y=g(x) ⇔ x= g-1 (y) entonces:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">N = (y, g-1 (y)) ∈ g-1 y se ve que los puntos M y N son simétricos con respecto a la bisectriz del primer cuadrante, ya que el punto medio del segmento MN es el punto de coordenadas ((x+y)/2,(x+y)/2).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Observación: La función f : R → Rx → f(x) = xn para n>2 no es general biyectiva, pues si n es par xn siempre es positivo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces la raíz n-ésima es definida para los reales positivos o el cero y el resultado es un número mayor o igual a cero.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sin Embargo si n es impar, la función f es biyectiva de R en R y podemos definir su función inversa en todo R. Asi:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f -1 : R → R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y → f -1(y)=x= y^(1/n)



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Notaremos también que:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f -1(y)=x= y^(1/n), pues cuando y>=0, f -1(y)=g-1 (y)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces, podemos hablar de la raíz n-ésima de un número negativo siempre y cuando n sea impar.


 * =====**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">FUNCIÓN POLINOMIAL Y RACIONAL **=====

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DEFINICIÓN <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Llamamos función polinomial o polinomio de grado n a una función del tipo:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLOS

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. f es una función polinomial de grado 3, definida por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Donde:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.Una función afín es una función polinomial de grado 1.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. Una función potencial positiva es una función polinomial de grado n.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">OBSERVACIÓN <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una función monomio m es el producto de una función constante por una función potencia. Es decir:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por lo tanto una función polinómica es la suma de funciones monomios.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DEFINICIÓN <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Llamamos función racional a una función que es el cociente de dos funciones polinómicas.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La función q definida por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">es una función racional puesto que se puede escribir en la forma:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">PROPOSICIÓN: El dominio de una función racional es igual al conjunto de los números reales salvo los valores que anulan el denominador.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Demostración: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dom (p1)=R, Dom (p2)=R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Luego Dom (p1/p2) = Dom (p1) ∩ Dom (p2) - {x/P2(x)=0}; es decir: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dom (q) = R - {x/P2(x)=0} <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En el ejemplo: P2(x)=0 ⇔ x² -4= 0 o x² = 4 ⇔ x=2 o x=-2. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Luego Dom (q) = R - {-2, 2}


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">FUNCIÓN PARTE ENTERA DE X **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DEFINICIÓN: Sea x ∈ R, "parte entera" de x que se nota [z] es el mayor entero menor o igual que x.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.[1/2]=0 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.[2]=2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.[-3]=-3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.[-3.5]=4

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">OBSERVACIÓN: Si n ≤ x < n+1, n ∈Z, entonces [x] = n. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir que[ ]: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">R→R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x→[x] = y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Su gráfica es la siguiente: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;">