Números+Complejos

**EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS**


 * INTRODUCCIÓN **

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraica mente cerrada que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que R ⊂  C. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i, o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Por número complejo entenderemos un número de la forma α= a + bi, de donde a y b son números reales e. Al número real a se le llama la parte real de α y se nota por Re(α).Al número real b se lo llama la parte imaginaria de α y se nota por : Im (α ).A i se le llama unidad imaginaria.
 * DEFINICIÓN 1 : **
 * DEFINICIÓN 2 : **


 * Ejemplos: **

1. Si α = 2 + 3i tenemos que Re(α) = 2 e Im (α ) = 3. 2. Si α = 2 tenemos que Re(α) = 3 e Im (α ) = 0 <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">3. Si α = 4i tenemos que Re(α) = 0 e Im (α ) = 4 <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">4. El conjunto de los números complejos se lo notara por C, esto esC = {α <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 17.3333px;">∶ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;"> α = a + bi ; a,b <span style="font-family: 'Calibri','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">ϵ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">R; <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">}.Si la parte real de un numero complejo es igual a 0 ; es decir, si es de la forma bi ; se dice que el número complejo es imaginario puro.Es fácil ver que R <span style="color: #252525; font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 17.3333px;">⊂ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;"> C ; pues un número real no es más que un número complejo cuya parte imaginaria vale 0. Es decir: <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 17.3333px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">a <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 17.3333px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;"> R, a = a + 0 <span style="color: #252525; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">× <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;"> i. <span style="color: #252525; font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">En C definimos dos operaciones internas, una operación adición y una operación multiplicación de la siguiente manera : <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">Sean α , β <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 17.3333px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;"> C α = a + bi y β = c + di entonces

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">α + β = (a + c ) + ( b + d )i <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">α. β = (ac - bd ) + (ad + bc )i

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 17.3333px;">Note que las operaciones del primer miembro son entre números complejos; mientras que las del segundo miembro son entre números reales. Veremos a continuación que los números complejos con estas operaciones así definidas en un cuerpo.

**1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO CUERPO**

 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Teorema : **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">El conjunto C con las operaciones adicionales y multiplicación es un cuerpo. Es decir en C con las operaciones de adición y multiplicación se satisfacen los siguientes axiomas :

<span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 0px; overflow: hidden;">
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C1. **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α, β <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: α + β = β+ α.
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C2. **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α, β y γ <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: α + (β + γ ) = ( α + β) + γ.
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C3. **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∃ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">0 <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: tal que <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> α <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: α + 0 = 0 + α =α.}
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C4. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">( <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> α <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C) ( <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∃ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">β <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C) (α + β = 0).El elemento β se denomina el opuesto de α y se nota - α. Si α = α + bi entonces α = - α - bi.
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C5. **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α, β <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: α.β = β α
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C6. **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α, β y γ <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: α(β γ) = (αβ) γ.
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C7. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Existe 1 <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C tal que <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> α <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: α x 1 = α x 1= α.
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C9. **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∀ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α, β y γ <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C: α(β + γ ) = α β + αγ.

Demostración: <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Que las operaciones + y son internas, es decir, que la adición y multiplicación de dos números complejos es otro número complejo se sigue de la definición. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Que C satisface los axiomas **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">C1, C2, C5 ** y **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">C6 ** se deduce fácilmente de las propiedades de los números reales. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Probemos a manera de ejemplo los axiomas **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">C3, C4, C7, C8, C9 **. Sean α, β y γ números complejos con α = a + bi, β = c + di y γ = e+ fi. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α + 0 = ( a+ bi ) + ( 0+ 0i ) = ( a+ 0 ) + ( b+ 0 )i = a+ bi = α <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α + <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 17px;">α <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">' = 0 <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α + <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 17px;">α <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">' <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 17px;">= ( a+ bi ) + ( - a-bi ) <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">(a – a) + (b – b) i= 0+ 0i = 0 <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1.α = ( 1+ 0i ). ( a+ bi ) = (1.a -0b ) + (1.b+ 0.a )i = a+ bi = α <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α(β + γ ) = α β + αγ. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">α(β + γ ) =( a+ bi )(( c+ di ) + ( e+fi )) = ( a+ bi )(( c+ e )+ ( d+f )i ) <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">= (a( c+ e )-b ( d+f ) )+ (a( d+ f )+b ( c+e ) ) i <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">=(ac+ae -bd -bf )+ (ad+af=bc+be ) i <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">= (ac -bd)+( ad+bc ) i+ (ae-bf)+(af+be ) i <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">= α β + αγ. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Con lo que hemos probado que C es un cuerpo .Como R es también un cuerpo y por ser R <span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 16.6667px;">⊂ <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> C, se dice que R es un subcuerpo de C. Si α <span style="font-family: 'Cambria Math',serif; font-size: 16.6667px;">∈ <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">C, el opuesto aditivo de α se lo nota por –α y si α ≠0 al inverso multiplicativo se lo nota por
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C3 **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">.Es claro que el complejo 0= 0 x 0 x i, es el modulo para la suma pues:
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C4. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Sea α = a + bi entonces si <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 17px;">α <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">' <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 1.5;"> =- a – bi se sigue inmediatamente que:
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C7 **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">.Es claro que el complejo 1 es el modulo para la multiplicación pues :
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">C9 **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">. Debemos probar que :

**Ejemplo:**

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 18px;">Cálcular (z - i ) (z + i )
<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 18px;">Solución:

**2. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS**
<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Similarmente como nosotros representamos a los números reales como puntos de una recta, los números complejos pueden ser representados como puntos de un plano.En un eje representamos la parte real del número y en un eje perpendicular representamos la parte imaginaria como indica en la Figura .



<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Este plano XY se denomina plano complejo; con esta representación se puede obtener la suma de α + β por la regla del paralelogramo. Si α = a + bi y β = c + di tenemos que: γ= α+ β.

**3. VALOR ABSOLUTO O MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO**

 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Definición : **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Sea α = a + bi un numero complejo, el módulo de α es el número real no negativo |α | definida por: <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Gráficamente |α | representa la distancia del origen al punto α. <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Observación: Si α = a + bi entonces


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplos: **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Si α = 3 + 4i entonces <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">2. Si α = 2 entonces <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 1.5;">3. Si α y β son números complejos y si A y B son los puntos asociados en el plano complejo entonces |α-β | representa la distancia entre A y B. Es decir que: d(A, B)= |α-β |.


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Teorema . **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Sean α y β números complejos entonces: <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 0px; overflow: hidden;">


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Demostración: **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> Sea α = a + bi.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Si |α | =0; es decir si, se sigue que  y en consecuencia a=b=0 Recíprocamente, si a=0 entonces |α | =|0+ 0i | = 0.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">2. Si α = a + bi, entonces, <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">3. Si α = a + bi entonces , <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 0px; overflow: hidden;"> = = <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">4. Probemos ahora que: |α.β |=|α ||β |. En efecto:

<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> Es decir: <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> y extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros tenemos: |αβ |=|α ||β|.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">5. Probar que Re (α) ≤ |α | e Im (α) ≤ |α |. En efecto si α = a + bi tenemos que: <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> De similar manera se prueba que Im (α) ≤ |a |.


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplo: **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">Si α = 2 + 3 i y β = 4 - 2 i entonces: **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Por otra parte, <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">y obviamente:

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">2. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">Si α = 1 + i y β = 2 + 2 i entonces: ** <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Por otra parte, <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Luego, en este caso: |α+β | = |α |+|β |.Se deja como ejercicio para el lector, determinar en forma general, cuando se tiene la igualdad.

**4. LA FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO**
<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Podemos asignarle a cada número complejo Z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ. Ver la figura:



**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Nota: **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> El ángulo θ se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo puede venir expresado en unidades de grados o radianes. <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo lo rectángulo, con catetos a y b, hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es igual al módulo del complejo Z.



<span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Usando conocimientos de trigonometría en el triángulo anterior, se demuestran las relaciones <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">a = |Z|cosθ <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">b = |Z|senθ <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Conocidas como Fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas. Cualquier ángulo α, tal que senα = senθ y cosα = cosθ, se llama una amplitud o argumento para el complejo Z. Sabemos por trigonometría, que dos argumentos cualesquiera de Z difieren en 2π. El argumento θ, tal que −π ≤ θ ≤ π, se llama amplitud o argumento principal de Z. Está claro que si conocemos el argumento principal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas, de acuerdo a las fórmulas anteriores. Se tiene entonces la Representación de Z en Forma PolarZ = |Z| (cosθ + i senθ)Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de Z = a+bi, entonces |Z| y θ se calculan de acuerdo a las fórmulas |Z| = <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">θ = arc tag b/a <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">llamadas Fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplo. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">1. Un número complejo en el primer cuadrante Hallar la Forma Polar del complejo Z = 2 + 2i, y dar su representación geométrica en el plano. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Solución: ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo, para lo cual usamos las fórmulas. Luego <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Para calcular el ángulo, podemos usar la calculadora de mano <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">θ = arctg 2/2 = arctg1 = 45° Luego la representación polar de Z esLa representación de este número en el plano complejo aparece en la figura



**5. SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS**
<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ahora nos dedicaremos al estudio de las propiedades de los números complejos relacionadas con la suma de ellos.La operación suma de números complejos está basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Más precisamente sean <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">z1 = a1 + b1i y <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">z2 = a2 + b2i dos números complejos. Entonces la suma de z1 con z2, denotada por <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">z1 + z2 es el número complejo.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplo. **


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Para sumar z1 = 3 + 2i con z2 = −8 + 4i **


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Solución **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">:

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">z1 + z2 = (3 + 2i) + (−8 + 4i) = (3 − 8) + (2 + 4)i <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">z1 + z2 = −5 + 6i

**6. RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS**
<span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. Más precisamente: Sean Z = a + bi y W = c+di dos números complejos, entonces la diferencia o resta entre Z y W viene dada por Z − W = (a − c) + (b − d)i. Es decir, para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplo. **

** 1. Sean Z = 4 + 7i y W = 2 + 3i. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Z − W = (4 − 2) + (7 − 3)i = 2 + 4i

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales. **

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Propiedad de Cierre para la suma. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z y W son dos números complejos entonces tanto Z + W como Z − W son números complejos.

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">2. Propiedad asociativa. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene Z + (W + U) = (Z + W) + U

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">3. Propiedad Conmutativa. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z y U son números complejos, se tiene Z + U = U + Z

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">4. Propiedad del elemento neutro. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">El número complejo 0 = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene Z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = Z de la misma forma, se puede probar que 0 + Z = Z

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">5. Propiedad del opuesto. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z = a+bi es un número complejo, el opuesto de este es −Z = −a − bi, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface Z + (−Z) = (−Z) + Z = 0 <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en don de aparezcan suma y restas de números complejos **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplo. ** **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Calcule el valor de Z donde ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + [(6 + 3i) − (7 + 2i)]] <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + (−1 + i)] <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">= (5 + 12i) + (9 − 7i) <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">= 14 + 5i
 * **VIDEO DE SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS.**

media type="youtube" key="b0FFMwax2Oc" width="420" height="315" align="center"

**7. PRODUCTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS**
<span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Sean Z = a + bi y W = c + di definimos su producto, mediante la fórmula Z.W = (ac − bd) + (ad + bc) i <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de Z por W como si se tratara de expresiones algebraicas se obtiene <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Hemos usado la propiedad distributiva para la multiplicación, la relacióny un reagrupamiento de los términos. La multiplicación puede hacerse de dos maneras; o bien se aplica directamente la fórmula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución. **<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplo: ****<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Sean Z = 6 + 2i y W = 3 + 5i ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif';">Solución **: <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Para hallar Z.W hacemos Z.W = (6.3 − 2.5) + (6.5 + 2.3) i = 8 + 36i <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">**PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Propiedad de Cierre para el producto. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z y W son dos números complejos entonces Z.W es un número complejo.

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">2. Propiedad asociativa. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene Z.(W.U) = (Z.W).U

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">3. Propiedad Conmutativa. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z y U son números complejos, se tiene Z.U = U.Z

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">4. Propiedad del elemento neutro. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">El número complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Z.1 = (a + bi).1 = (a.1) + (b.1)i = a + bi = Z <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">De la misma forma, se puede probar que 1.Z = Z.

**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">5. Propiedad distributiva. ** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Si Z, W y U son numero ´ s complejos se tienen las relaciones <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Z(W + U) = Z.W + Z.U <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">(Z + W)U = Z.U + W.U

** 8. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS **

 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">¿Cómo se dividen entre si dos números complejos? **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. Por ejemplo: <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;"> 1 + i /4 = ¼+ (2/4)i = 1/ 4 + ( 1/ 2 ) i.

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Si Z y W son dos números complejos, y W 6= 0, podemos hacer la división de Z entre W de la forma siguiente Z/W = (Z/W) (W / W) = Z.W/W

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Tenemos entonces la regla para dividir números complejos:

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Para hacer la división de dos números complejos Z y W, primero se multiplica Z por el conjugado de W y este resultado se divide entre el módulo al cuadrado de W, el cual es un número real. Si hacemos Z = a + bi y W = c + di, tendremos <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">
 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Ejemplo. **


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">1. Sea Z = 3 + 4i y W = 2 + 3i. **

<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">Entonces <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">


 * **VIDEO DE LA MULTIPLICACION Y DIVISION DE NÚMEROS COMPLEJOS.**

media type="youtube" key="1LCiuis7rZE" width="420" height="315" align="center"

** 9.POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS. **
<span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">Puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un número complejo. Supongamos que Z= |Z|(cosθ+i senθ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;"> <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">Esta relación, que se conoce con el nombre de Fórmula de Moivre, nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier número complejo en forma polar.


 * <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">Ejemplo. **

<span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">1**. Sea Z = 2(cos30° + i sen30). Calcule la potencia de orden cinco de este número.**
 * <span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px;">Solución : **



** 10. <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 14pt;">Raíces N-ésimas **
<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Dado un numero complejo z ≠0 y un entero positivo n, se trata de encontrar los números complejos αtales que αn = z. estos números se conocen como las raíces n-ésimas de z y se los nota por. <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Notemos en primer lugar que si solo si existe un entero tal que  En efecto,  <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">es equivalente a:





<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Para algún entero k. por otra parte, del teorema de Moivre se sigue inmediatamente que cualquier número de esta forma elevado a la n es igual a z:

<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 0px; overflow: hidden;">

<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Finalmente, probaremos que las únicas raíces distintas de z son los números complejos.



<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Si k1 y k2 son enteros distintos en, entonces:

<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">No es múltiplo entero de ya que. <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Veamos ahora que cualquier raíz n-ésima de z es uno de los números para k= 0, 1, 2,…,n-1. Sea <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">, donde m es un entero cualquiera. De la división de m por n se sigue que existen enteros q y r, con <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">tales que m=qn+ r. Luego:

<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;"> <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Lo que demuestra la afirmación pues r es uno de los enteros 0, 1,2,…,n-1. Sea Z= 1- i. En su forma polar <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">. Las raíces cuartas de z son:, con k= 0, 1,2,3. Para estos valores de k se obtiene: <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 0px; overflow: hidden;">
 * Ejemplo :**

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<span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO CUERPO** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**Teorema :** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 13pt; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">El conjunto C con las operaciones adicionales y multiplicación es un cuerpo. Es decir en C con las operaciones de adición y multiplicación se satisfacen los siguientes axiomas : <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C1.** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ****α, β** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: α + β = β+ α .** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C2.** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ****α, β y γ** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: α + (β + γ ) = ( α + β) + γ .** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C3.** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∃ **0 **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: tal que** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ** **α** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: α + 0 = 0 + α =α.}** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C4. (****<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ** **α** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C) (****<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∃ ****β** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C) (α + β = 0).El elemento β se denomina el opuesto de α y se nota - α. Si α = α + bi entonces α = - α - bi.** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C5.** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ****α, β** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: α.β = β α** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C6.** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ****α, β y γ** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: α(β γ) = (αβ) γ.** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C7.Existe 1** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C tal que** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ** **α** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: α x 1 = α x 1= α .** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C8. (****<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ** **α** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C, con α ≠ 0)(****<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∃ ****β** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C)( α β = 1).El elemento β se denomina el inverso de α y se nota α^(-1).Si α = a + bi, con α ≠0, entonces** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**<span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 13pt;">α^(-1) = a/(a^2 + b^2 ) -b/(a^2 + b^2 ) i. ** <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 3489px; width: 1px;">**C9.** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∀ ****α, β y γ** **<span style="font-family: 'Cambria Math','serif'; font-size: 13pt;">∈ ** **C: α(β + γ ) = α β + αγ**.