Polinomios

**POLINOMIOS**

===DEFINICIÓN ** ALGEBRAICA **===



Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios, constituida por la siguiente fórmula:

donde: término independiente.

**GRADO DE UN POLINOMIO **
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

 **P(x) =** 2
 * **Polinomio de grado 0**

 **P(x) =** 3x + 2
 * **Polinomio de primer grado**

 **P(x) =** 2x 2 + 3x + 2
 * **Polinomio de segundo grado**

 **P(x) =** x 3 − 2x 2 + 3x + 2
 * **Polinomio de tercer grado**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> **P(x) =** x 4 + x 3 − 2x 2 + 3x + 2
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Polinomio de cuarto grado**

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CLASES DE POLINOMIOS **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Polinomio Nulo

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Polinomio Homogéneo

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Polinomio Heterogéneo

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Polinomio Completo

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Polinomio ordenado



**<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Adición de polinomios **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.




 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: **




 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicación por polinomios **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera X, Y, Z, se cumplirá que:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**a).** Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**b).** Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**c).** Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**d).** Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**a).**Multiplicación de monomios. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**b).** Multiplicación de un polinomio por un monomio <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**c)**. Multiplicación de polinomios

**<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicación de monomios **
<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicar <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Solución:
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicar <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Solución:
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: **

**<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicación de un polinomio por un monomio **
<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos. <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicar:
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Solución:

**<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicación de polinomios **
<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicar:
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Solución: Se multiplican los dos primeros términos



<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.



=<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">División de polinomios =

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">


 * <span style="font-family: 'Verdana','sans-serif'; font-size: 16.6667px;">División de un monomio por otro **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

**Ejemplo:** Dividir Solución:

**Ejemplo:** Dividir Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**a).** Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**b).** Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Ejemplo:** <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Dividir


 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">División de un polinomio por un monomio **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">. **Ejemplo:** Dividir Solución: **Ejemplo:** Dividir Solución:


 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">División de un polinomio por un polinomio. **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**1).** Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**2).** Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**3)**. Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**4).** Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**5).** El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**6).** Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto. <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10pt; text-align: justify;">**EJEMPLO:** <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: justify;">Dividir <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: justify;">SOLUCIÓN:

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10pt; text-align: justify;">**EJEMPLO:** <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: justify;">Dividir <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: justify;">SOLUCIÓN:


 * División Sintética **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a.

**Ejemplo:** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir.

**P(x)=** 4x 5 - 5x 3 - 40x ente x + 2 Solucion.

x + 2 = x - (-2), o sea que y = -2

**P(x) =** 4x 5 - 15x 3 - 40x = 4x 5 - x 4 - 15x 3 + x 2 - 40x + 0



Por tanto el cociente es **Q(x) =** 4x 4 - 8x 3 + x 2 - 2x - 36 un residuo es R = 72

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**1).** El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**2).** El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**3).** El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**4).** El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo. **Ejemplo:** Dividamos **x** ** 3 - 5x 2 ** **+ 3x + 14** entre **x - 3** <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 16.6667px; text-align: justify;">Solución



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">** Diferencia de cuadrados ** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aquí tenemos un producto notable podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados.

**EJEMPLO:** Factorizar

**EJEMPLO:** Factorizar
 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;"> Trinomio cuadrado perfecto por adición y **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 17px; line-height: 25.5px;">**sustracción**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se identifica por tener tres términos,dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie x 2 + xy + y 2 =x 2 + xy + y 2 + (xy - xy) = x 2 + 2xy + y 2 - xy = (x+y) 2 - xy


 * Trinomio de la forma x 2 + bx + c **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. <span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 13pt; margin: 0cm; text-align: justify;">Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">** Suma o diferencia de potencias a la n **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar). <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Quedando de la siguiente manera:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">** Trinomio de la forma [[image:im7.png width="139" height="39"]] **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">**Raíces de un polinomio** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La raiz de un polinomio es un numero el que hace el valor del polinomio valga cero, es decir, cuando se resuelve un polinomio a cero, las soluciones serán las raíces del polinomio.Por ejemplo:<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">al igualarlo y resolverlo a cero tenemos:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">** Cubo perfecto de Tetranomios **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">x2 + x - 12 = 0 Igual a cero.(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando. x = - 4 Solucion 1x = 3 Solucion 2 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">Puesto que **x1 = - 4** y **x2 = 3** son soluciones de **f(x)** entonces **f( -4 )= 0** y **f( 3 )= 0**. Decimos entonces que **x = - 4** y **x = 3** son **raíces** del polinomio **f(x)= x2 + x - 12**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">**Factorización de polinomios** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> Factorización



Multiplicación

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">METODOS DE FACTORIZACION



 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Sacar factor común**:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes. <span style="border: medium none; display: block; font-family: Arial; font-size: 10pt; letter-spacing: 2pt; line-height: 120%; padding: 0cm; text-align: justify; text-transform: uppercase;">**Ejemplo: factorizar**
 * =====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">** Factor común monomio ** =====




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">** Factor común polinomio **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.un ejemplo:
 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Factor común por agrupación de términos **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un ejemplo numérico puede ser:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">** Trinomio cuadrado perfecto **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA DE HORNER
<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Hay polinomios cuya evaluación puede ser complicada. El método de Horner sirve para evaluar un polinomio de forma anidada, esto es un paso previo para localizar los ceros de un polinomio con métodos como el de Newton-Raphson. Este método requiere solo de n multiplicaciones y n sumas para evaluar un polinomio de grado n. El teorema de Horner es el siguiente: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dado el polinomio: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde son números reales, queremos evaluar el polinomio a un valor específico de, digamos. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para llevar a cabo el procedimiento, definimos una nueva secuencia de constantes como se muestra a continuación: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces es el valor de. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para ver como funciona esto, nótese que el polinomio puede escribirse de la forma

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Después, sustituyendo iterativa mente la //b////i// en la expresión, <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo** Efectuar la división polinómica expresada por :

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución : <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Los grados del cociente y residuo serán :

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">q° = D° – d° = S – 2 = 3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">Dividir **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;"> :

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">__Solución :__

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">q° = D° – d° <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">q° = 5 – 2 = 3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">r° = d – 1 = 2 – 1 = 1

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> **g(x) = x** ** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 15px; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + 4x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 15px; vertical-align: super;">2 **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> **+ x - 6** ( cociente obte <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">nido ) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">R(x ) = 3x – 1 ( residuo obtenido)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Funciones Polinómicas**
<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Las funciones polinómicas son funciones que se basan en expresiones de tipo polinomio. Una función polinómica puede definirse como la operación resultante de substituir la letra x en un polinomio en esa variable por un número. La funciones polinómicas reales son funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos). <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillos de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolcación polinómica o para integrar numercamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de horner.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">** Ejemplos de funciones polinómicas **
<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: center;">Polinomio de grado 2



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: center;">Polinomio de grado 3

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: center;">Polinomio de grado 4

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: center;">Polinomio de grado 5 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">** Regla de Descartes **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Supongamos que tenemos el polinomio. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si igualamos a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del 3 al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando al número de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio, tendríamos entonces que en este caso.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En conclusión, Rene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esta regla dice lo siguiente: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">"El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x) es igual al número de cambios de signo de término a término de <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">f(x)". <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por ejemplo el polinomio:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;"> tiene dos raíces positivas <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Representación gráfica de las raíces de un polinomio **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas). <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio graficado. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A continuación presentamos algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas:


 * = [[image:analisisfigempa/Imagen1.png width="157" height="36" align="center"]]



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<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;"> Teorema fundamental del Álgebra


<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡a los 20 años de edad !, Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Todo polinomio de grado n tiene n raíces.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es decir que la ecuación: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">tiene n soluciones. Recordemos que es esta página sólo tendremos polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la función, las raíces y la gráfica y verifica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">De este modo para factorizar, podríamos escribir

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Demostración:Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es. De esta manera la factorización completa es. Donde es el MFC.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. SiP(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, queP(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P(0)=P0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces Cr es:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; margin: 12pt 0cm; text-align: justify;">Sea además P(Cr) la imagen a través de P de Cr, i.e., P(Cr)={ P(z) : |z|=r }. Observar que P(Cr) es una curva cerrada. ¿Por qué? Observar también que si r es suficientemente pequeño (cuán pequeño dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces todo elemento de P(Cr) estará muy cerca de P0 en el plano complejo y el origen del plano complejo estará en el "exterior" de la curva P(Cr). ¿Por qué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y r=0.75, entonces P(Cr) es:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; margin: 12pt 0cm; text-align: justify;">Por el contrario, si R es suficientemente grande (nuevamente, cuán grande dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces P(CR) se parecerá a n círculos del plano complejo centrados en P0 y el origen del plano complejo estará en el "interior" de P(CR). ¿Porqué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y R=8.0, entonces P(CR) es:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si hacemos que µ varíe entre r y R en forma contínua y estamos dispuestos a aceptar que en dicho caso P(Cµ) varía en forma contínua desde P(Cr) a P(CR), tendremos que el origen pasa de estar al "exterior" de la curva inicial al "interior" de la curva final --- necesariamente en alguno de los valores intermedios de µ, tiene que suceder que P(Cµ) pasa sobre el origen, i.e., existe un valor de z para el cual el polinomio P(z) se anula o lo que es lo mismo, P(z) posee una raíz. Se concluye que el TFA aplica a P(z) como queríamos comprobar.

<span style="border: medium none; display: block; font-family: Arial; font-size: 10pt; height: 1px; left: -40px; letter-spacing: 2pt; line-height: 120%; overflow: hidden; padding: 0cm; position: absolute; text-align: justify; text-transform: uppercase; top: 10846px; width: 1px;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Arial; font-size: 11pt; height: 1px; left: -40px; line-height: 120%; overflow: hidden; position: absolute; text-align: justify; top: 10846px; width: 1px;">Factorizar

<span style="border: medium none; display: block; font-family: Arial; font-size: 10pt; height: 1px; left: -40px; letter-spacing: 2pt; line-height: 120%; overflow: hidden; padding: 0cm; position: absolute; text-align: justify; text-transform: uppercase; top: 10846px; width: 1px;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Arial; font-size: 11pt; height: 1px; left: -40px; line-height: 120%; overflow: hidden; position: absolute; text-align: justify; top: 10846px; width: 1px;">Factorizar

<span style="display: block; font-family: Verdana,sans-serif; font-size: 13pt; height: 1px; left: -40px; line-height: 107%; overflow: hidden; position: absolute; text-align: justify; top: 12844.5px; width: 1px;">se cumplirá que