Números+Reales

**NÚ  MEROS REALES   **

El conjunto de los números reales está constituido por los diferentes conjuntos numéricos:


Los naturales (N), el cero y los enteros negativos son subconjuntos de los números Enteros (Z); la unión de los enteros y los números fraccionarios son subconjuntos de los numeros racionales(Q).

La unión de los números racionales (Q) con los irracionales (I) son subconjuntos de los  números reales   (R) y estos a la ves son un subconjunto de los numeros complejos al igual que los numeros imaginarios.


 * Conjunto de los números Naturales (N): **

Los números Naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar y estan conformados por los números positivos sin parte decimal.

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, n}

Conjunto de los números Enteros (Z):
La unión de los números Naturales, sus opuestos y el cero que no es positivo ni negativo, conforman los números Enteros.

Z= {-n,…,-3, -2,-1, 0, 1, 2, 3,…, n}

Conjunto de los números Racionales (Q):
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos Enteros (Z) con denominador  distinto de cero   (0); se pueden representar con números con coma,cuyas cifras después de la coma son finitas (decimales) o infinitas periódicas. === ===

Conjunto de los números Irracionales (I):
Los números Irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras después de la coma que no siguen un periodo definido. De este modo puede definirse al número irracional como número con coma indefinido, no periódico. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales los tres principales son los siguientes:


 * Numero “pi” (∏): 3.14159…; es la relación entre el periodo de una circunferencia y su diámetro.
 * Numero “e” ( e): 2.7182...


 * Numero “áureo” (ɸ): 1.6180…



**Propiedades de los números reales **

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 * AXIOMAS DE CUERPO: **

Junto con el conjunto de los números reales; admitiremos la existencia de dos operadores, llamada adición y multiplicación ; tales que para cada par x e y de números reales x+y es un nuevo número real así como también lo es x * y ; dichos números reales, están determinados unívoca mente por x e y. A tales operaciones que al operar en un par de elementos de un conjunto ,nos dan un nuevo elemento del mismo conjunto ; se les llama operaciones internas en el conjunto. Los siguientes ejemplos nos aclaran este hecho.


 * EJEMPLOS **

En el conjunto de números naturales definimos la operación (+) como:

x+y= x+y+1

En donde x,y e 1 son números naturales ; nótese que el símbolo (+) del segundo miembro es la operación de adición usual que conocemos. Veremos que esta operación (+) en el conjunto de los números naturales es interna en NI; una demostración rigurosa de este hecho no la realizamos. A manera de visualización tomemos dos números naturales cualesquiera; por ejemplo el 2 pertenece a NI y el 3 pertenece a NI y tenemos por la definición de (+) que : 2+3 = 2+3+1 = 6 y 6 pertenece NI.


 * AXIOMAS DE ORDEN: **

Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad". Esta relación es del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro si está contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra. Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos dirá si un número es mayor o menor que otro.

Se dirá que sólo si  es menor que. O dicho de otra forma, si es mayor que Se dan a continuación los Axiomas de Orden.




 * AXIOMAS DE CUERPO: **

Asumimos la existencia de dos operaciones internas denominadas suma (+) y producto ( *). Ser operación interna implica que si “x” e “y” ς R, entonces (x + y) ς R, y (x y) ς R también. Se verifica que:

Existe **conmutatividad** en la suma y en el producto: x + y = y + x; x y = y x. Existe **asociatividad** en la suma y la multiplicación: (x + y) + z = x + (y + z); (x y) z = x (y z). Existe **distributividad** del producto respecto a la suma: x (y + z) = x y + x z.

Dos números reales x e y poseen un número z ς R y = z + x. A “z” se le designa por “y – x”. El número real x – x = 0 se puede demostrar que es independiente de “x”, y al número real 0 – x = – x se le denomina opuesto de “x”.

Existe un número real distinto de 0. Dados “x” e “y” ς R, siendo x ≠ 0, existe un único z ς R y = z x. A “z” se le designa como “y / x”. El número real x / x = 1 se puede demostrar que es independiente de “x” si x ≠ 0. El númeo 1 / x se designa por “x^-1″, y se denomina inverso o recíproco de “x”. Si “x” ≠ 0: x x^-1 = 1.


 * AXIOMAS DE ORDEN: **

Admitimos la existencia de una relación “<” entre los números reales, que establece un ordenamiento de los mismos. Se verifica: Dados dos números reales “x” e “y” se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: x < y, x > y ó x = y. Sean “x” e “y” dos números reales x < y, se deduce que: para todo z ς R: x + z < y + z.  Considerados dos números reales tales x” e “y” x > 0 e y > 0, entonces x y > 0. Considerados tres números reales “x”, “y” y “z” x < y ∩ y < z, se cumple que: x < z.


 * PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN **

Todos los números que usamos en nuestra vida diaria son números reales. Conocer sus propiedades te ayudará a resolver gran cantidad de problemas cuantitativos en cualquier disciplina, ya sea en matemática pura, ciencias experimentales, ciencias sociales, etc.


 * PROPIEDAD CONMUTATIVA **

La propiedad conmutativa para la adición y la multiplicación dice que puedes cambiar el orden de los sumandos o de los factores y el resultado será siempre el mismo. Por ejemplo:






 * Importante: **

La propiedad conmutativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.






 * PROPIEDAD ASOCIATIVA **

La propiedad asociativa para la adición y la multiplicación nos permite hacer sumas o multiplicaciones parciales agrupando los sumandos o los factores para después sumar o multiplicar los resultados parciales para facilitar el cálculo de una expresión. Por ejemplo:






 * Importante: **

La propiedad asociativa NO aplica para la substracción o la división, pues el resultado se altera.






 * PROPIEDAD DISTRIBUTIVA **

La propiedad distributiva tiene que ver con reordenar o reorganizar las operaciones de adición y multiplicación en una expresión, con el fin de facilitar las operaciones aritméticas.




 * PROPIEDAD DE IDENTIDAD (ELEMENTO NEUTRO) **

La propiedad de identidad para la adición dice que existe un número (llamado elemento neutro de la adición) que al ser usado como sumando no cambia el resultado de la suma: , el elemento neutro de la adición es el número CERO.

La propiedad de identidad para la multiplicación dice que existe un número (llamado elemento neutro de la multiplicación) que al ser usado como factor no cambia el resultado de la multiplicación: El elemento neutro de la multiplicación es el número UNO.


 * PROPIEDAD DEL INVERSO **

La propiedad del inverso aditivo, dice que existe un número que al ser usado como sumando hace que el resultado de la suma sea igual a CERO.

el inverso aditivo para esta suma es el número -28

La propiedad del inverso multiplicativo, dice que existe un número que al ser usado como factor hace que el resultado de la multiplicación sea igual a UNO.

28(1/28) = 1, el inverso multiplicativo para esta multiplicación es 1/28


 * REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES **

Una manera de representar geométrica mente los números reales, consiste en tomar una recta generalmente en forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha.Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real y viceversa, a cada número real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma, una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto "es" un número real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de los números reales, se seguirá llamando: RECTA REAL, ó, también, RECTA NUMÉRICA. Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, como punto de partida el 0, llamado origen; como números positivos los puntos quese dan a la derecha del origen y negativos, los que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos números reales.




 * INTERVALOS **

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Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados : a y b// que se llaman extremos del intervalo.

Definición 1.
Sean a y b números reales; los siguientes conjuntos se denominan intervalos con extremos a y b.

i)Intervalo Abierto:



ii) Intervalo Cerrado:



iii) Intervalos semiabiertos:





Si a es un número real cualquiera los intervalos infinitos son los siguientes:









**Nota.-** los símbolos +∞ y -∞ son simplemente símbolos y no son números reales.

A continuación resolvemos algunas inecuaciones utilizando las propiedades de las desigualdades:

1.





2.

Debe cumplirse que, sea, por lo que -1/2 y 5 no pertenecen al dominio de la incógnita.

De donde se tiene que S =



= = ** CONJUNTOS ACOTADOS **

Definición 1:
Sea A un subconjunto de R diferente del vacío. Un número real b tal que b ≥ a para todo a ϵ A; se denomina una cota superior de A, y un número real c tal que c ≤ a para todo a ϵ A se denomina una cota inferior de A.

Decimos una cota superior pues cada número mayor que b es también una cota superior; similarmente decimos una cota inferior; pues cada número menor que c es también una cota inferior.

El conjunto A se dice que es acotado superiormente si el conjunto de las cotas superiores es diferente del vacío; y que es acotado inferiormente si el conjunto de las cotas inferiores es diferente del vacío.

Si A es acotado superior e inferiormente decimos que A es acotado.


 * EJEMPLO: **
 * 1) Dado el intervalo [0, 1] el real 2 es una cota superior, también 1 es una cota superior pues 1 ≥ x para todo x ϵ [0, 1]; en cambio -1 es una cota inferior como también lo es - 0.5 o el 0. Como el conjunto de las cotas superiores de [0, 1] es diferente del vacío, entonces decimos que [0, 1] es un conjunto acotado superiormente y más aun; como el conjunto de las cotas inferiores también es diferente del vacío, entonces [0, 1] es un conjunto acotado inferiormente y en consecuencia [0, 1] es un conjunto acotado.
 * 2) En general cualquier intervalo abierto o cerrado; que sea de extremos finitos es un conjunto acotado.
 * 3) El conjunto {1, 1/2, 1/3,…} es acotado; pues 1 es una cota superior y 0 es una cota inferior
 * 4) R+ es acotado inferiormente pues 0 es una cota inferior; pero no es acotado superiormente pues no existe un real x tal que x ≥ y para todo y ϵ R+.
 * 5) Generalmente cualquier intervalo infinito no es acotado, pero es acotado superior o inferiormente, con excepción del intervalo ]-∞,+∞[ que no es acotado superior ni inferiormente.

Definición 2:
Si una cota superior b de un conjunto A, es además un elemento de A; b se denomina elemento máximo y se nota b= máx A. Si existe tal elemento b; este es único. Si una cota inferior c de un conjunto A; pertenece al conjunto A; se dice que c es un elemento mínimo y se nota c= mín A.

Preposición: El máximo y el mínimo de un conjunto, si existen, son únicos.


 * EJEMPLO: **
 * 1) El intervalo [0, 1[ es acotado pues 0 y 1 son cotas inferior y superior respectivamente y el cero es el elemento mínimo de [0, 1[ .Además este intervalo carece de elemento máximo.
 * 2) El conjunto {1, 1/2, 1/3,…} tiene elemento máximo y es el 1, pero carece de elemento mínimo.

Sea A un subconjunto de R no vacío y acotado superiormente.
 * Definición 3: **

a) Un número real b se dice el supremo de A si: i) b es cota superior de A.  ii)Si c es una cota superior de A entonces b ≤ c.

b)Un número real b se dice ínfimo de A si: i)b escota inferior de A.  ii)Si c es una cota inferior de A entonces b ≥ c.

El extremo superior de un conjunto A lo notaremos por: sup A, y el extremo inferior por: ínf A

Teorema:El extremo superior de un conjunto, si existe, es único.

**Demostración:** Sea A un conjunto acotado superiormente y supongamos que a y b son los supremos de A; esto es, satisfacen las condiciones i) y ii) de la parte a de la definición anterior.

De i) se sigue que a y b son cotas superiores de A. De ii) se tiene que a ≤ b y b ≤ a; luego a=b.


 * EJEMPLO: **


 * 1) Si A= [0, 1] se tiene que el elemento máximo 1 es también el supremo. El 0 es el ínfimo del conjunto.
 * 2) Para el conjunto A={1, ½, 1/3,…}, sup A= 1 e inf A=0
 * 3) Si S=[0, 1[ el supremo es 1; aun cuando S no tiene elemento máximo.

** AXIOMA DE COMPLETITUD **

A continuación enunciaremos el último axioma que satisfacen los números reales; el cual nos permite diferenciar los números reales de los racionales e intuitivamente nos asegura que los reales son completos; esto es que en la recta real, todos los puntos corresponden a un número real; lo cual no sucede con los racionales.

**AXIOMA:**Todo conjunto S de R, no vacío y acotado superiormente admite un supremo, es decir, existe un número real b tal que b = sup. S.


 * EJEMPLO: **

Sea A= {x ϵ : x 2 < 2}es obvio por definición del conjunto A qué A ϵ Q. Además A es acotado superiormente y tenemos que b= sup. A es tal que b = 2. Pero antes habíamos probado que no existe ningún racional tal que b = 2. Esto prueba que Q no es completo; pues para serlo, el extremo superior de cualquier subconjunto de Q no vacío y acotado superiormente debería ser también un número racional.

**Teorema**:Todo conjunto no vacío S acotado inferiormente posee extremo inferior.

Demostración: Sea –S el conjunto de los números opuestos a los de S. Entonces –S es no vacío y acotado superiormente. Por el axioma de completez -S tiene un extremo superior. Sea b= sup (-S), se deduce entonces que –b es el inf S.

Entonces por el axioma de completez y el teorema enunciado tenemos que cualquier conjunto no vacío acotado superior posee supremo.

** EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS ** media type="youtube" key="vu0jlqzNjUw" height="480" width="640" align="center"

Nosotros trataremos al conjunto de los números enteros como un subconjunto especial de R; antes de definirlos consideremos los conjuntos inductivos.

**Definición 1:** Un subconjunto A de R se dice que es un conjunto inductivo si:

i)1 є A ii)Si x є A entonces x+1 є A

EJEMPLO:

El conjunto de los números reales, R, es un conjunto inductivo; también lo es R+

Un número real se denomina entero positivo si pertenece a todos los conjuntos inductivos. Al conjunto de los enteros positivos se lo designa por Z+.
 * Definición 2: **

En otras palabras Z+ es el menor conjunto inductivo; a esta propiedad se la conoce con el nombre de principio de inducción; que trataremos más adelante.

Para ver cómo son elementos de Z+ ; vemos que por lo dicho anteriormente es el conjunto inductivo más pequeño y por la definición 1 tenemos que 1 є Z+.

Por otra parte de ii) se sigue que 1+1 є Z+, al elemento 1+1 lo notaremos con el símbolo 2. Igualmente, por la parte ii): 2+1 є Z+ y lo notaremos por 3 y así sucesivamente. Resulta entonces que:

Z+ = {1,2,3,4,5,…}

El conjunto de los opuestos aditivos de Z+ lo notaremos por Z- y sus elementos los llamaremos enteros negativos; es decir que: -Z= {…, -3, -2, -1}

El conjunto:Z = -Z U {0} U Z+

Se denomina el conjunto de los números enteros.

Es claro que si el conjunto Z definimos dos operaciones, la adición (+) y la multiplicación (x) entre enteros, estas dos operaciones vemos que son internas en Z pues si x, y ϵ Z también los son x + y o x. y

**<span style="color: #050000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN **

El principio de inducción está muy relacionado con el conjunto **Z+** y es de gran utilidad para las demostraciones relacionadas con este conjunto.

Una idea intuitiva de este principio es la siguiente: supongamos que tenemos una hilera de postes tales que la altura de cada poste es mayor que la distancia que los separa; entonces, esta claro que si se cae el primer poste caeran los demás.

Si enumeramos los postes y notamos por P (n) la condición " el poste n-ésimo se cae"; lo anterior podemos afirmar diciendo que si P(1) ("el poste 1 se cae") se cumple si tenemos que P(k) implica P(k+1) ("si el poste k-ésimo también se cae) entonces P(n) se cumple para todo **N** ϵ **Z+**.

**Teorema (Principio de Inducción):** // Sea **A** un subconjunto de los enteros positivos tal que si: // **i)** 1 є A**ii)** Si k є A entonces (k+1) є A

Entonces **A = Z+**

**Demostración**

Como **A** satisface las condiciones **i)** y **ii)**; tenemos que **A** es un conjunto inductivo. Por definición de **Z+, Z****+** es el más pequeño conjunto inductivo, luego **Z+c A** y como por hipótesis **A c Z+** entonces **A = Z+.** El principio de inducción lo podemos expresar de la siguiente manera:

Sea P(n) una condición en **//n//** є **Z**+,tal que: **2.** P (k) implica P (k+1). EntoncesP(n)es verdadera para todon є Z+.
 * 1. ** P(1) es verdadera.

A pesar de ser tan sencillo el principio de inducción, suele ser de difícil comprensión para el estudiante. A través de los siguientes ejemplos,esperamos que el estudiante comprenda y maneje adecuadamente el principio de inducción.

<span style="color: #050000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">EJEMPLOS

**1.**Probar que “la suma de los n primeros números enteros consecutivos está dada por “n(n+1) /2". En otras palabras tenemos que demostrar que ɏ n є z+, se tiene:

1 + 2 + 3+ …. + n = n (n+1) / 2 // Solución. // En este caso, la condición en n es:

P(n): 1 +2 + 3 + ….. + n = n (n+1) / 2

Para aplicar el principio de inducción tenemos que ver que P (1) es verdadero. En este caso tenemos que P (1) es la proposición ´´la suma del primer entero está dada por:1 (1+1) / 2 ´´

Como: 1 = 1 (1+1) / 2 Se sigue que P (1) es verdadera.

Para continuar aplicando el principio de inducción tenemos que probar que P (k) implica P (k+1) supuesto que P (k) es verdadera para algún entero k ≥ 1.

Supongamos entonces que P (k) es verdadera; esto es “la suma de los primeros k enteros positivos consecutivos viene dada por: k (k+1) / 2

En otras palabras suponemos cierto que ɏk ≥ 1 se tiene:

1 + 2 + 3+…. + k = k (k+1) / 2

Como en los **Z** hemos supuesto como verdadera podemos realizar cualquier operación en los dos miembros de **Z** así por ejemplo, sumemos k +1:

1 + 2 + 3+…. + k + (k+1) = k (k+1) / 2 + (k+1)

1 + 2 + 3+….+ (k+1) = (k+1) {k/2 + 1}

O que es lo mismo:

1 + 2 + 3+…. + (K+1) = (k+1) (k+2) / 2

Pero observamos que el principio de inducción no es más que la proposición P (k+1). Con lo que P (k) implica P (k+1). Luego hemos probado P(n) para todo **n** є **Z+** .Esto es:

1 + 2 + 3+…. + n = n (n+1) / 2, ɏn є Z+

2. Demostrar que para todo **//n//** є **Z+** : 1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n2

Solución. Resulta evidente que la condición se cumple para n = 1 pues 1 = 12.Supongamos que P (k) es verdadera. Es decir:

1 + 3 + 5+……+ (2k – 1) = k2.

Luego sumando (2k + 1) a los dos miembros tenemos:

1 + 3+……+ (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)

1 + 3+……+ (2k + 1) = (k + 1)2 .

Que nos dice que P (k + 1) es verdadera.

Como la condición 1 + 3 + 5 +……+(2n –1) =n2, se cumple para n=1 y supuesto que P(k) es verdadera, P(k+1)también es verdadera, el principio de inducción nos permite concluir que: 1 + 3 + 5+……+ (2n – 1) = n2, Es verdadera para todo **//n//** є **Z+**

**<span style="color: #050000; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 140%;">LOS NÚMEROS RACIONALES Y LOS NÚMEROS IRRACIONALES ** media type="youtube" key="yX97MMWh944" height="480" width="640" align="center"

El cociente de dos enteros a y b, que lo notamos a/b, con b ≠ 0, se denomina número racional y al conjunto constituido por estos cocientes se denomina el conjunto de los números racionales y se lo nota por **Q**.

Puesto que para todo entero //n//, se tiene: //n// = //n///1, es obvio que **Z c Q**.

Es fácil comprobar que **Q** satisface los axiomas de cuerpo y de orden que estudiamos en **R**. Por otra parte habíamos visto que **Q** no es completo, puesto que existen números reales que no son racionales, al conjuntos de dichos números se los denomina irracionales; por ejemplo los números, π,√2, e, etc; son irracionales. **VALOR ABSOLUTO**

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**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">Definición: ** <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">Sea x un número real cualquiera, el valor absoluto de x que lo notaremos por ΙxΙ está definido por: <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: center;">ΙxΙ = x, si x ≥ 0ΙxΙ = -x, si x < 0 <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">De la definición se sigue que el valor absoluto de un número es siempre mayor o igual a cero **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">Teorema 1: **//<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">Sea a ˃ 0, entonces ΙxΙ = a si y solo si x = a ó x = -a1 // <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">**Demostración** Supongamos que ΙxΙ = a, entonces si x ≥ 0, x = ΙxΙ = a; o si x < 0, x = - ΙxΙ = -a, luego x = a ó x = -a

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">Recíprocamente tenemos que: <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">Si x = a ˃ 0; entonces x ˃ 0 luego ΙxΙ = x = a o si x = –a; entonces x < 0 y por tanto ΙxΙ = -x = a. En consecuencia ΙxΙ = a

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">**Teorema 2:** //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">Sean x, y números reales. Entonces: //

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">i) ΙxΙ = 0 si y solo si x = 0

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">ii) ΙxyΙ = ΙxΙ ΙyΙ

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">iii) Ι-xΙ = ΙxΙ

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">iv) Ιx/yΙ = ΙxΙ / ΙyΙ

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">v) √x2 = ΙxΙ

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">**Demostración** <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; line-height: 1.5; text-align: justify;">Las partes i) y ii) son consecuencias inmediatas de la definición de valor absoluto; demostremos la parte ii):

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">Si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces: ΙxyΙ = xy = ΙxΙ ΙyΙ <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; line-height: 1.5; text-align: justify;">Si x ≤ 0 e y ≤ 0 entonces xy ≥ 0 y ΙxyΙ = xy = (-x) (-y) = ΙxΙ ΙyΙ <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; line-height: 1.5; text-align: justify;">Si x ≤ 0 e y ≥ 0 entonces xy ≤ 0 y ΙxyΙ = -(xy) = (-x) y = ΙxΙ ΙyΙ <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; line-height: 1.5; text-align: justify;">Si x ≥ 0 e y ≤ 0 entonces xy ≤ 0 y ΙxyΙ = -(xy) = x (-y) = ΙxΙ ΙyΙ

**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">Teorema 3: ** //<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">Sea a ˃ 0 entonces: // <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">i) ΙxΙ ≤ a si y solo si –a ≤ x ≤ a <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; line-height: 1.5; text-align: justify;">ii) ΙxΙ ≥ a si y solo x ≥ a ó x ≤ -a

<span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">**Demostración** <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">Sea x ≥ 0. Supongamos que ΙxΙ ≤ a. Por definición de valor absoluto ΙxΙ = x, luego –a ≤ x ≤ a, recíprocamente, si –a ≤ x ≤ a. Como x ≥ 0 entonces ΙxΙ = x ≤ a. <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; text-align: justify;">Sea x < 0. Supongamos que ΙxΙ ≤ a, entonces tenemos que x = - ΙxΙ ≥ a, luego –a ≤ x ≤ a; recíprocamente si –a ≤ x ≤ a entonces –a ≤ x y como x < 0, ΙxΙ = -x ≤ a.

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