La+derivada

__** LA DERIVADA  **__


 * DEFINICIÓN DE DERIVADA: **

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local; es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
 * DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO **





Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2

La derivada de una función se relaciona con la recta tangente un punto por lo tanto en (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) siempre que el límite exista y se determina por:



Ejercicio:
Considera la gráfica de y = 3 - x² 1) Halla la fórmula de la pendiente de la gráfica. 2) Indica cuál es la pendiente en los puntos (0,3) y (-2,-1). 3) Halla la ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos anteriores.

Nota: Algunas curvas podrian no tener tangente en cada punto.

NOTACIÓN
Se llama derivada de f en x (supuesto que el límite existe) y se denota por f’(x). La notación f’(x) se lee "f prima de x".



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">También se utiliza la notación:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">que se lee " la derivada de y respecto a x".

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Hallar la derivada de: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Nota: En cualquier punto donde la tangente es vertical, la pendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVACIÓN
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ya hemos calculado derivadas a través de la definición de la derivada como límite, este procedimiento resulta en muchas ocasiones largo y tedioso, por tanto existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites, estas son:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivada de una constante: La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivada del producto por un escalar: Si cf(x) es una función diferenciable, entonces



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivada de la suma: La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas. Esto es, si f y g son funciones diferenciales, entonces:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivar las siguientes funciones y evaluarla en los casos indicados.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si la función y= f(x) es diferenciable con respecto de x, entonces, es diferenciable con respecto de y, y se verifica la siguiente relación: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLOS: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- Determine la derivada de la función f(x)= arc cos x

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución: si y= arc cos x entonces x=cos y y aplicando la relación tenemos:

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por ejemplo, si f(x) = 6x³ - 5x², entonces la: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">primera derivada es : f’(x) = 18x² - 10x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">tercera derivada es : f’’’(x) = 36 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">cuarta derivada es : f(4)(x) = 0. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos para discusión: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) Si f(x) = -x4 + 2x³ + x + 4, halla f’’’(-1). <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) Halla las primeras cuatro derivadas de:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Nota: Si f’(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la gráfica de f’. Así también, f’’’(x) representa la pendiente de la gráfica de f".

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVACIÓN PARA PRODUCTOS Y COCIENTES
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Producto: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. Esto es: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos para discusión: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) F(x) = (3x - 2x²)(5 + 4x) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) G(x) = (1 + x-¹)(x - 1)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cociente: La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador. Esto es:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde g(x) es diferente de cero.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si y =[u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un número real, entonces:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios:





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVADA DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las fórmulas de derivación para las funciones hiperbólicas se deducen fácilmente aplicando las reglas de derivación de la función exponencial.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las derivadas de las funciones hiperbólicas lo resumimos en la siguiente proposición, dejando al lector la verificación correspondiente.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las funciones hiperbólicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x) = senh x, entonces, f´(x) = cosh x
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x) = cosh x, entonces, f´(x) = senh x
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f (x) = tgh x, entonces, f’(x) sech²x
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x) = cotgh x, entonces, f´ (x) = - cosch²x
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x) = sech x, entonces, f´(x) = - sech x tgh x
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x) = cosch x, entonces, f´(x) = - cosch x cotgh x

<span style="color: #0a0000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

 * [[image:analisisfigempa/Nueva_imagen12123.png align="center"]] || ====[[image:analisisfigempa/Nueva_imagen_(12453435).png align="left"]]==== ||
 * [[image:analisisfigempa/Nueva_imagen_(23542).png align="center"]] || [[image:analisisfigempa/Nueva_imagen_(37).png align="left"]] ||
 * [[image:derivada de tg.jpg width="142" height="37"]] || [[image:analisisfigempa/Nueva_imagen_(5).png]] ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) y = 3 sen x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) y = x + cos x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4) y = x - tan x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5) y = x sec x

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVACIÓN IMPLÍCITA
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las ecuaciones:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2x + y = 4xy =1

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x² + y²= 9 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">estas no se encuentran en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita, se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para entender cómo hallar la derivada de y con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva como de costumbre, pero al derivar términos con y se aplica la regla de la cadena.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) 4x² <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) 2y³ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3) x + 2y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4) xy³

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">REGLA DE LA CADENA
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable y:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si definimos como función de función: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">resulta que: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">MOTIVACIÓN FÍSICA DE LA DERIVACIÓN **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Velocidad y Aceleración
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definición de velocidad: Si s(t) representa la función posición de un objeto en el tiempo t que se mueve a lo largo de un recta, la velocidad del objeto en el instante t, está dada por:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s(t) = t² + 2t + 10, donde s se mide en pies y t en segundos. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) Completa la tabla de valores e ilustra en una recta numérica el movimiento del objeto. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) Halla la velocidad del objeto cuando t = 1,2,3,4. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si s(t) = t² + 2t + 10, entonces v(t) = s’(t) = 2t + 2. Por tanto:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">t || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4 ||
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">s(t) || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">12 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">18 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">25 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">34 ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v(1) = 4 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v(2) = 6 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v(3) = 9 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v(4) = 10

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Nota: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La velocidad puede ser negativa. Para el movimiento horizontal consideramos la velocidad negativa cuando el objeto se mueve hacia la izquierda y positiva cuando el objeto se mueve hacia la derecha. La velocidad es cero cuando el objeto invierte su sentido de dirección.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cuando el objeto se lanza al aire verticalmente, consideramos la velocidad positiva mientras el objeto se está elevando, cero cuando alcanza su altura máxima y negativa cuando cae.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definición de aceleración: Si s(t) es la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta, la aceleración del objeto en el instante t, está dada por a(t) = v’(t) = s"(t), donde v(t) es la velocidad en t tiempo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se dispara un proyectil directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad de 400 pies/seg. Su distancia sobre la superficie de la tierra después de t segundos está dada por la ecuación s(t) = -16t² + 400t.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) Halla el tiempo cuando el proyectil toca la superficie de la tierra. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3) ¿Cuál es la aceleración en cualquier tiempo? <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Nota: La derivada de una función se puede interpretar de dos maneras:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) Interpretación geométrica: Donde f’(c) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto (c,f(c)).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) Interpretación física: Cuando la posición de un objeto en t tiempo está dada por s(t), entonces s’(t) es la velocidad instantánea del objeto en t.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x0) ≥f(x) para cada x cerca de x0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0, diremos que f alcanza un máximo local o un máximo relativo en x0.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x0) ≤ f(x) para cada x cerca de x0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0, diremos que f alcanza un mínimo local o un mínimo relativo en x0.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f (x0) > f(x) para cada x cerca de x0, entonces el máximo local es estricto.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f (x0) < f(x) para cada x cerca de x0, entonces el mínimo local es estricto.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A un máximo y a un mínimo local se les llaman valores extremos.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f es continua en un intervalo que contiene a x0 y si f´ cambia de signo en x0, es decir, si en un intervalo de la forma (x1, x0) f´ tiene un signo y en (x0, x²) el otro, entonces en x0 hay un valor extremo, de hecho: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si no cambia de signo la derivada, entonces la función no tiene valor extremo.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f´ pasa de positiva a negativa, hay un máximo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser creciente a ser decreciente.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f´ pasa de negativa a positiva, hay un mínimo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicio <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cálculo de los máximos y mínimos relativos

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(x) = x³ − 3x + 2

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f'(x) = 3x² − 3 = 0 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x = −1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x = 1.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f''(x) < 0 Tenemos un máximo. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f''(x) = 6x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f''(−1) = −6 Máximo <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f'' (1) = 6 Mínimo

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Máximo(−1, 4) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Mínimo(−1, 0)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Observemos que f”(x) > 0 en un intervalo entonces f´(x) es creciente en dicho intervalo, por lo tanto, al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe presentar forma de taza. Ya que la inclinación de la tangente crece en sentido directo diremos que la función es cóncava. En este caso la gráfica está encima de sus tangentes y debajo de sus secantes.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Observemos que f”(x) < 0 en un intervalo entonces f´(x) es decreciente en dicho intervalo; entonces al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe presentar forma de gorra. Ya que la inclinación de la tangente decrece en sentido directo diremos que la función es convexa. En este caso la gráfica está debajo de sus tangentes y encima de sus secantes.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Concretando: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 1. Si f´(x0) = 0 y si f” (x0) > 0, en x0 hay un mínimo local. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 2. Si f´(x0) = 0 y si f”(x0) < 0, en x0 hay un máximo local. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se llama punto de inflexión de f a un punto donde la segunda derivada de la función es cero y en el punto cambia de signo, esto es, la segunda derivada pasa de ser positiva antes del punto a ser negativa después del punto, o viceversa, siendo continua la función en dicho punto. En ellos la función pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La función (curva) y = f (x) es cóncava en el intervalo I si f”(x) > 0 para cada xϵI.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La función (curva) y = f (x) es convexa en el intervalo I si f”(x) < 0 para cada xϵI.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De aquí surge el criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos locales:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Regla de L'Hopital **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La Regla de L’Hopital establece que bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funcionesf(x)/g(x)coincide con el límite del cociente de sus derivadas.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, excepto posiblemente en el propio c. Supongamos que g’ (x) ≠ 0 para todo x en (a,b), excepto en el propio c. Si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Este resultado es válido también si el límite de f(x)/g(x) produce cualquiera de las formas indeterminadas ∞/∞, (-∞)/∞, ∞/ (-∞), o (-∞)/ (-∞).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 1. Un límite aplicando la regla de L'Hôpital <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcular <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución: Observe que la regla dice que tenemos un límite: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">es decir, se toma el numerador como una función f(x) y el denominador como otra función g(x).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En este caso <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(x) = cos 3x + 4x - 1 y g(x) = 3x.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Además <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(0) = cos 3 · 0 + 4 · 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 y también g(0) = 3 · 0 = 0. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Todo esto significa que se puede aplicar la regla de L'Hôpital porque el límite es de la forma 0/0. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ahora bien, la regla dice que tenemos

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir, se derivan el numerador y el denominador separadamente (no se deriva como un cociente). En el caso que nos ocupa tendríamos entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 2. Aplicando dos veces la regla de L'Hôpital <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcular: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución: Tomamos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(x) = ex + e-x – 2 y g(x) = 1 - cos2x, <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(0) = e0 + e-0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 y g(0) = 1 - cos2 · 0 = 1 - 1 = 0 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y se puede aplicar la regla de L'Hôpital: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Observando el límite de la derecha nos damos cuenta que también es de la forma0/0.Volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital (derivando el numerador y derivando el denominador): <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Concluimos que <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 3. Uso de la regla de L'Hôpital <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcular <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución: Tenemos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">por lo que estamos ante un límite de la forma ∞/∞. Entonces, según la regla de L'Hôpital tenemos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Finalmente, hacemos notar que siempre hay que verificar que el límite es de la forma 0/0 o ∞/∞ puesto que de lo contrario aplicar la regla de L'Hôpital puede inducir a errores.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 4. Un caso en que la regla de L'Hôpital no es aplicable <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Suponga que tenemos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como usted puede ver, este límite se puede obtener por simple evaluación: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la regla de L'Hôpital. ¿Qué sucedería si no nos damos cuenta de ello o aun dándonos cuenta insistimos en aplicarla? En ese caso haríamos lo siguiente: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y esto es un error puesto que el límite es 8/7 y no 2.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivación como tasa de variación **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El concepto de velocidad en el movimiento rectilíneo corresponde al concepto mas general de tasa de variación; esto es, la tasa de variación de s por unidad de variación de t es la derivada de s con respecto a t. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si la relación funcional entre y y x esta dada por y=f(x), la tasa promedio de variación de y conforme x varia es:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definición de tasa de variación instantánea **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si y=f(x), entonces la tasa de variación instantánea de y por unidad de variación de x en x1 es f´(x1) o, equivalentemente, la derivada de y con respecto de a x en x1, si existe.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 1
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea V(x) centímetros cúbicos el volumen de un cubo cuyas aristas miden x centímetros. Obtenga la tasa de variación de V(x) con respecto a x conforme x varia de a) 3.00 a 3.200; b) 3.00 a 3.100; c) 3.00 a 3.010; d) 3.00 a 3.001; e) Cual es la tasa instantánea de variación de V(x) con respecto a x cuando x=3.00



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 2.
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Suponga que R(x) dólares es el ingreso total por la venta de x mesas, y que:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Determine: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a) la función de ingreso marginal <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">b) El ingreso marginal cuando x=40 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">c) El ingreso real por la venta de la mesa 41



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. Sea A(x) centímetros cuadrados el área de un cuadrado cuyos lados miden x centímetros, medidos con cuatro cifras significativas. En la calculadora obtenga la tasa promedio de variación de A(x) con respecto a x cuando x varía: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(a) de 4.000 a 4.600 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(b) de 4.000 a 4.300 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(c) de 4.000 a 4.100 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(d) de 4.000 a 4.050 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(e) ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de A(x) con respecto a x cuando x=4.000

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Un sólido consiste de un cilindro recto y una semiesfera en cada extremo, y la longitud del cilindro es el doble de su radio. Sean r unidades el radio del cilindro y de las semiesferas y V(r) unidades cúbicas el volumen del sólido. Determine la tasa instantánea de variación de V(r) con respecto a r.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. Se lanza una piedra a un charco, generándose ondas circulares concéntricas. Determine la tasa de variación del área de la superficie afectada cuando su radio es <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(a) 4 cm, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(b) 7 cm.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Tasas de variación relacionadas.
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Estos problemas involucran tasas de variación de variables relacionadas para valores de t, donde t es una medida de tiempo, esta relación se expresa mediante una ecuación, la cual representa un modelo matemático.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una escalera de 25 pie de longitud está apoyada contra una pared vertical como se muestra en la figura. La base de la escalera se jala horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s. Suponga que se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pie de la pared.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 2
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m³/min hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta ha alcanzado 5 m de profundidad?



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicio
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dos automóviles, uno va hacia el este a una tasa de 90 km/h, y el otro hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la intersección de dos carreteras. ¿A qué tasa se están aproximando uno al otro en el instante en que el primer automóvil está a 0.2 km de la intersección y el segundo se encuentra a 0.15 km de dicha intersección?

<span style="display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">** AP **** LICACIONES DE LA DERIVADA **

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