Límites+y+continuidad

**LÍMITES Y CONTINUIDAD**

LIMITES
El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se acerca o dirige una función en un determinado punto o en el infinito.

En cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la gráfica de la figura y fijémonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:
 * DIFINICIÓN DE LIMITE **



¿Qué ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x?

Tomemos algunos valores como 2,1 ; 2,01 ; 2,001.

Vemos en la figura que en este caso las imágenes de dichos puntos sobre la curva, f(2,1), f(2,01), f(2,001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1,9 ; 1,99 ; 1,999 en este caso las imágenes f(1,9), f(1,99), f(1,999) se acercan también al mismo valor, y =3.

Concluimos que el límite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cuál expresamos

lím f(x) = 3 x→2

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el límite de una función en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la función, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

Sin embargo la expresión matemática de límite es algo más compleja: Definición: Dada una función f(x) y un punto x = a, se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L; y se expresa como:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">lím f(x) = L <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x→a

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cuando: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) también está muy próxima a L.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">"El límite de f (x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε > cero existe un número real δ mayor que cero tal que para todo x tal que la distancia entre xy c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de L es menor que ε unidades".

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f(x)=mx +b donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 1. Límite de una función lineal **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 1 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 2. Límite de una función constante **
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 2 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f(x)=x, entonces <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo 3** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 3. Límite de una función identidad **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si ^, entonces

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean, y →,  y
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 4: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si entonces:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 6. Límite del producto de dos funciones **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si y, entonces

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean, y entonces,
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 6 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 7. Límite del producto de n funciones **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si entonces

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">Teorema 8 . Límite de la n-ésima potencia de una función
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si y n es cualquier número entero positivo, entonces



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea, entonces,
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 8 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">Teorema 9 . Límite del cociente de dos funciones
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si y, entonces

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean, y entonces,
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 9. **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n es un número entero positivo y, entonces

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> con la restricción que si n es par, L > 0.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea, entonces
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 10 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema 11. Límite del logaritmo de una función.
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 11 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcule: aplicando el teorema 2.12.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Apliquemos el teorema exigido:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sin aplicar el teorema:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LIMITES TRIGONOMÉTRICOS **


 * 1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/f/5/d/f5d270a54744ab8a3288d26b05c653ba.png]]
 * 2) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/7/9/7/79717ee6798df7174e4651ee960be19e.png]]
 * 3) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/1/f/1/1f153265cbe7669a44dcff2073d41763.png]]
 * 4) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/9/b/0/9b0b95e7953cd5158f969919c495f089.png]]
 * 5) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/3/5/f/35f7a3e43c7fd4badb3a1fcea1c04103.png]]

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 1.LIMITE POR LA DERECHA **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L| < ε

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 2.LÍMITE POR LA IZQUIERDA
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ > 0 tal que si x (a − δ, a), entonces |f (x) − L| < ε

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El límite de una función en un punto si existe, es único




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO


 * 1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:gasdydaa.png]]





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LIMITE INFINITO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f(x) ||
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">100 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1,0x10-4 ||
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.000 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1,0x10-6 ||
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">10.000 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1,0x10-8 ||
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">100.000 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1,0x10-10 ||
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.000.000 || <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1,0x10-12 ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DEFINICIÓN DE LIMITE INFINITO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LIMITE CUANDO X TIENDE AL INFINITO

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LIMITE CUANDO X TIENDE A MENOS INFINITO

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLOS

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">








 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">OPERACIONES CON LIMITES AL INFINITO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Debemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Debemos tener claro que infinito no es un número.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">No distinguimos entre +∞ y −∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La regla de los signos y que a-n = 1/a n

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. SUMAS CON INFINITO **
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito más un número
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito más infinito

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞ + ∞ =∞


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito menos infinito

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞ - ∞→ Ind

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 2. PRODUCTOS CON INFINITO **

 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito por un número

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞.(±k)=±∞ Si k ≠0


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito por infinito

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞.∞=∞


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito por cero

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 0.∞→ Ind

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 3. COCIENTES CON INFINITO Y CERO **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 0/k=0
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cero partido por un número

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> k/0=∞
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un número partido por cero

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> k/∞=0
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un número partido por infinito

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞/k=∞
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito partido por un número

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 0/∞=0
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cero partido por infinito

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞/0=∞
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito partido por cero

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 0/0→ind
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cero partido por cero

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞/∞→ind
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito partido por infinito

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4. POTENCIAS CON INFINITO Y CERO **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> k⁰=1
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un número elevado a cero

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 0⁰→ind
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cero elevado a cero

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∞⁰→ind
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito elevado a cero

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cero elevado a un número
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un número elevado a infinito
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cero elevado a infinito

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Infinito elevado a infinito
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Uno elevado a infinito


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CALCULO DE LÍMITES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cálculo del límite en un punto <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sin embargo sí podemos calcular, porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CALCULO DEL LIMITE EN UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si coinciden, este es el valor del límite. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si no coinciden, el límite no existe

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En x = −1, los límites laterales son: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por la izquierda:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por la derecha:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En x = 1, los límites laterales son:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por la izquierda:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por la derecha:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CALCULO DE LIMITES CUANDO X TIENDE ∞ **

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LIMITE DE FUNCIONES POLINÓMICAS EN EL INFINITO **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLOS <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LÍMITE DE LA INVERSA DE UN POLINOMIO EN EL INFINITO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si P(x) es un polinomio, entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO X → −∞ **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLOS: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LÍMITE DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caso 1: Si a > 0

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caso 2: Si 0 < a < 1



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLOS:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LÍMITE DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caso 1: Si a > 0



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caso 2: Si 0 < a < 1

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">INDETERMINACIONES **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">COMPARACIÓN DE INDEFINIDOS **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3 f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Hallar los límites por comparación de infinitos:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LÍMITE DE UN NÚMERO PARTIDO POR CERO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El límite puede ser +∞, −∞ o no tener límite.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcular el límite:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el límite por la izquierda será: +∞.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el límite por la derecha será: −∞.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x → −1

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> CONTINUIDAD **

 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.




 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.Que el punto x = a tenga imagen

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∃f(a)∃

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Que exista el límite de la función en el punto x = a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Estudiar la continuidad de

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. La función tiene imagen en x = 2.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f(2)= 4

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 3. En x = 2 la imagen coincide con el límite <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> En la gráfica podemos comprobar que es continua




 * ===<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> CONTINUIDAD LATERAL ===

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> CONTINUIDAD POR LA DERECHA **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> CONTINUIDAD DE FUNCIONES
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. Toda función polinómica es continua en los reales

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Las funciones racionales son continuas salvo en los puntos que anulan al denominador.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 3. Las funciones seno, coseno, exponenciales y logarítmicas son continua en sus dominios respectivos



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b). <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f es continua en a por la derecha: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Consecuencia

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Ejemplo

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Estudiar la continuidad de en el intervalo [0, 4].

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f(x) es continua por la izquierda en x = 0, ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es continua en toda.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f(x) es continua por la derecha en x = 4, ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f(2)= 4 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> TEOREMA DE WEIERSTRASS **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Ejemplo <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> TEOREMA DE BOLZANO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Ejemplo <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1]. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f(0) = −1 < 0 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> f(1) = 1 > 0 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c ∈ (0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Propiedad de Darboux **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> También podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Funciones definidas a trozos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> La función es continua en. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Operaciones con funciones continuas <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Si f y g son continuas en x = a, entonces:
 * 1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f + g es continua en x = a.
 * 2) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f - g es continua en x = a.
 * 3) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
 * 4) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">f ο g es continua en x = a.

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si la función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y si f(a) ≠ f(b), entonces para cada valor de k entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que f(c) = K.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA DEL CERO INTERMEDIO
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si la función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe un número c entre a y b, tal que f(c) = 0. Es decir c es un cero de f.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">· La función Seno es continua en cero.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">· La función Coseno es continua en cero.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">· Las funciones Seno y Coseno son continuas en cada número real.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">· Las funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante son continuas en sus Dominios.


 * ===<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">CONTINUIDAD DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ===

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se supondrá que usted estudió trigonometría previamente; sin embargo, debido a la importancia de las funciones trigonométricas en Cálculo, se presenta un breve repaso de ellas. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En un curso de trigonometría, las gráficas de las funciones trigonométri­ cas se dibujan mediante consideraciones intuitivas, debido a que dos conceptos de Cálculo, continuidad y diferenciación, son necesarios para una presenta­ ción formal de dichas gráficas. En esta sección se tratará la continuidad de las funciones trigonométricas, se dedicará a la diferenciación de estas funciones. En el estudio de la continuidad de las funciones trigonométricas se considerará el límite siguiente: = = <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Observe que la función definida por f(x) no existe cuando t=0 pero existe para todos los otros valores de t. A fin de tener una idea intuitiva acerca de la existencia del límite (1), primero se trazará la gráfica de f en el rectángulo de inspección de [-10, 10] <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">por [-1, 2], mostrada en la figura. Como f(0) no existe, la gráfica tiene un agujero en el eje y. De la figura, se sospecha que probablemente el límite de (1) existe y es igual a 1. A fin de examinar el límite a mayor profundidad, se calculan los valores de la función para conformar las tablas 1 y 2. De las dos tablas, se sospecha otra vez que si el límite en (1) existe, puede ser igual a 1. El hecho de que el límite exista y sea igual a 1 se demuestra que el valor de f(x) cuando tiende a 0 es igual a 1, pero en la demostración de este teorema se necesita el siguiente teorema, al cual se hará referencia como el teorema de estricción. Este último no sólo es importante en la demostración del teorema, sino que también se utiliza en la de­mostración de teoremas importantes en secciones posteriores


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Algunas funciones continuas importantes **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Continuidad en un valor real **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y = f(x). Se escribe J = f (I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El mayor elemento de J' se llama elmáximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DISCONTINUIDADES
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una discontinuidad es un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, la función se considera que tiene una discontinuidad removible en x = 3.

====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por qué la llamamos 'removible'? Porque, si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener f(x) = x + 3, excepto en x = 3. Si hacemos que f(x) sea 6 en ese punto, obtenemos la función continua: ====

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Pero x + 3 = 6 para x = 3, y así podemos simplificar la función a g(x) = x + 3. (Esta no es la misma que la función original, en la cual hay un punto extra en (3,6)). Así el límite en x = 3 es 6. De hecho, esta clase de simplificación es siempre posible con una discontinuidad removible en una función racional. Cuando el denominador es cero, podemos redefinir la función para obtener una función que es igual a la anterior, salvo por los nuevos puntos, donde previamente teníamos una división por 0. Y arriba se probó que el límite de esta función (puesto que es continua) es igual al límite de la función antigua.