Geometría+Analítica

Es la parte de la matemática que establece una conexión entre el álgebra y la geometría Euclidiana: estudia las propiedades de las figuras por procedimientos algebraicos y sujeta las cuestiones de geometría a métodos generales y uniformes, aplicables a todas las figuras.
 * Geometría Analítica **


 * Vector **

Es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos de un vector

1.-Dirección de un vector: es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

2.-Sentido de un vector: El sentido de los vectores el que va desde el origen A al extremo B.

3.-Módulo de un vector: es la longitud del segmento AB, se representa por: El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.


 * Coordenadas Rectangulares **

El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan desde el punto O ó también llamado origen del sistema. La recta horizontal del plano se la denomina eje X o eje de las abscisas, mientras que la recta vertical se la denomina eje Y o eje de las ordenadas.
 * Sistema de Coordenadas Rectangulares **

La distancia desde un punto al eje Y y la distancia desde un punto al eje X constituyen las coordenadas del punto en cuestión y se representa por el símbolo(X, Y).

• Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje Y, y negativas en caso contrario.

• Las ordenadas son positivas cuando el punto está por encima del eje X, y negativas en caso contrario.



La distancia (d) entre dos puntos P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2)
 * Distancia Entre Dos Puntos **



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r: <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">r=P1P/PP2
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Puntos de división **





<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La inclinación de una recta L (que no sea paralela al eje X) es el menor de los ángulos de dicha recta forma con el semieje X positivo y se mide desde el eje X a la recta en el sentido contrario a las agujas del reloj.
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Inclinación y Pendiente de una Recta **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación como lo indica en el gráfico.





<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es igual al reciproco de la pendiente de la otra con signo contrario. Esto es, llamando m1 a la pendiente de L1 y m2 a la de L2 se tiene: m1m2 = -1
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Rectas Paralelas y Perpendiculares **


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ángulo de dos rectas **



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La recta L1, con ecuación y = m1x + b1, se interseca con la recta L2, con ecuación y = m2x + b2, <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Se forman dos ángulos, el ángulo θ y su suplementario 180°- θ. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Para obtener el valor del ángulo θ procedemos en la forma siguiente: <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como "en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el": <span style="font-family: Arial,sans-serif;">α1 + β = α2

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Despejando: <span style="font-family: Arial,sans-serif;">β = α -α

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como β = θ para ser opuestas por el vértice queda, <span style="font-family: Arial,sans-serif;">θ = α2 – α1 <span style="font-family: Arial,sans-serif;">El problema lo resolveremos usando la función tangente; en consecuencia, podemos indicar que; tanθ = tan(α2 – α1). <span style="font-family: Arial,sans-serif;">En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de dos ángulos es; <span style="font-family: Arial,sans-serif;">tan(α2 – α1) = tan α2 - tan α1 / 1 + (tan α1)(tan α2) <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como: tan α2 = ɱ2 tan α1 = ɱ1 <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sustituyendo queda:
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">tan=m2-m1/1+(m1)(m2) **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Fórmula para obtener el valor del Angulo θ.


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Área de un Polígono en Función de las coordenadas de sus vértices **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sean P1, P2, P3 los vértices de un triángulo. El área A en función de las coordenadas de los vértices viene dada por la expresión:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;"> <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Lugar geométrico o gráfica de una ecuación de dos variables es una línea, recta o curva que contiene todos los puntos, y solo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada .Antes de representar gráficamente el lugar geométrico es muy conveniente para determinar su forma conocer algunas propiedades como:
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Lugar Geométrico **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Intersecciones con los Ejes: Son las distancias (positivas o negativas) desde el origen hasta los puntos en los que la línea del lugar corta a los ejes coordenados. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Para hallar la intersección con el eje X se hace Y=0 y se despeja X <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Para hallar la intersección con el eje Y se hace X=0 y se despeja Y

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">• Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si ésta es la MEDIATRIZ del segmento que los une. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">• Dos puntos son simétricos con respecto a otro punto, si éste es el punto medio del segmento que los une.
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Simetrías **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Analíticamente es una ecuación lineal de primer grado en dos variables, recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">La Línea Recta **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Formas de la Ecuación de la Recta **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Punto - Pendiente: La ecuación de la recta que pasa por un punto P1 (X1, Y1) y cuya pendiente sea m es:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Pendiente - Ordenada al Origen: La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto (0, b), siendo b la ordenada en el origen.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Cartesiana: La ecuación de la recta que pasa por los puntosP1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) es:




 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ecuación General de la Recta **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Una ecuación lineal o de primer grado en las variables X e Y es de forma Ax +By + C = 0, en donde A, B, C son constantes. La pendiente de la recta escrita en esta forma es:




 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ecuación Normal de la Recta **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La ecuación anterior (cartesiana) es la ecuación de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la X y Y de esa ecuación? Obsérvese que son las componentes del vector unitario z. Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal {i,j}, son el coseno y el seno del ángulo que forma con el vector i de la base. Así pues dando como resultado, la siguiente formula:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Siendo “D” el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas. Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo A y B entre k y para calcular dividimos a C entre k.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Debemos tener cuidado al calcular C, porque C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k. Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.




 * **<span style="font-family: Arial,sans-serif;">EJERCICIOS PROPUESTOS **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicio 1 <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (1, 2, 3) y P2 (0, 1, 2) dando la ecuación vectorial, la paramétrica y la cartesiana.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Respuesta: <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Podemos considerar, sobre un sistema de ejes cartesianos en el espacio, dos puntos P1 y P2 y un punto genérico P de la recta. Teniendo en cuenta la figura adjunta, resulta:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Y considerando que todo vector arbitrario P1P es combinación lineal del vector P1P2, la igualdad anterior nos queda:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Y sustituyendo por los valores de las coordenadas:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Que es la ecuación vectorial de la recta pedida. La anterior ecuación también e puede poner:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Que es la ecuación paramétrica de la recta.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Y en nuestro caso concreto:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicio 2

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Determinar la ecuación del plano que contiene a la recta:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Pasa por el punto (1, 2, 3)



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Respuesta:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si eliminamos denominadores, obtenemos la ecuación de la recta como corte de dos planos. Tomando las ecuaciones dos a dos, resulta:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">2•x – 1•y + 1 = 0 <span style="font-family: Arial,sans-serif;">1•y – 2•z + 1 = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Se define como haz de planos al conjunto de los planos que se cortan en una recta común. Todos los planos del haz se pueden obtener como combinación lineal de dos planos pertenecientes al haz. Obtenemos entonces la ecuación del haz que satisfacen los dos planos anteriores:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">2•x – y + 1 + l(y – 2.z + 1) = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como el plano que nos interesa debe contener al punto (1, 2, 3), la anterior ecuación debe quedar satisfecha por dicho valor:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">2•x – y + 1 + l(y – 2.z + 1) = 0 <span style="font-family: Arial,sans-serif;">2•1 – 2 + 1 + l(2 – 2.3 + 1) = 0 <span style="font-family: Arial,sans-serif;">l = 1/3

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Hemos obtenido de ese modo el valor del parámetro que satisface las condiciones pedidas. Sustituyendo en la ecuación y agrupando coordenadas, tenemos:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Podemos también resolver el problema en otra forma. Para ello obtenemos tres puntos que pertenezcan al plano y desarrollamos el determinante

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Necesariamente, el punto (1, 2, 3) debe pertenecer al plano, por lo que será uno de los puntos. Si tomamos complementariamente dos puntos de la recta, tendremos los necesarios. Considerando las dos primeras ecuaciones y dando valores a una de las coordenadas, obtenemos las otras dos:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Con lo que podemos formar el determinante:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Que resuelto por los adjuntos de la primera fila nos da:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Y desarrollando:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">3•x – 1•y + (-1)•z – (-2) = 0 ? <span style="font-family: Arial,sans-serif;">3•x – y – z = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicio 3

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Determinar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Respuesta:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">En la figura adjunta se tiene:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Por otro lado, el producto vectorial del vector director de la recta con el vector P0P se expresa:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Las coordenadas del vector director de la recta viene dadas por los denominadores de la ecuación continua v(1, 1, 2). Las coordenadas de un punto de la recta vienen dadas por los términos conocidos del numerador, es decir P0 = (1, 0, 1).

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">El vector P0*P tendrá entonces de coordenadas (x-x0, y-y0, z-z0) = (0, 2, 2). El módulo del producto vectorial será entonces:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">El módulo del vector director valdrá:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Con lo que, finalmente:





<span style="color: #ff0000; display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">La Circunferencia



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Una circunferencia, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.




 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">• La ecuación de la circunferencia de centro (h, k ) y radio r es: **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">(x - h)2 + (y - h)2 = r2

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">x2 + y2 = r2

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si escribimos esta ecuación en la forma:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">x2+ Dx + y2+ Ey + F = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">y sumamos y restamos los términos que se indican para completar cuadrados, se tiene,

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">x2 + Dx + (D2)/4 + y2+ Ey + (E2)/4 = (D2)/4 + (E2)/4 - F

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Bien se tiene así:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">(x + D/2)2 + (y + E/2)2 = (D2 + E2 - 4F)/ 4

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">El centro es el punto (-D/2, -E/2) y el radio r = (1/2) (D2 + E2 - 4F) (1/2) <span style="font-family: Arial,sans-serif;">• Si D + E - 4F > 0, la circunferencia es real. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">• Si D + E - 4F < 0, la circunferencia es imaginaria. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">• Si el radio es cero y la ecuación representa al punto.



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">EJERCICIOS PROPUESTOS

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicio 1

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2, 3) y radio 4.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">(x + 2)2 + ( y - 3)2 = 16 Ó x2 + y2 + 4x - 6y =3

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicio 2



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto (O, O), tenga de radio r = 13 y la abscisa de su centro sea - 12.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como la circunferencia pasa por el origen:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Resolviendo;



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Tendremos dos ecuaciones diferentes por el doble signo que tenemos

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Desarrollando;



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Tendremos dos ecuaciones diferentes por el doble signo que tenemos

<span style="color: #ff0000; display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">CÓNICAS

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fija es constante, recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">El punto fijo se llama, foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si e < l, la cónica se llama elipse.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si e = l, la cónica se llama parábola. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si e > l, la cónica se llama hipérbola.

<span style="color: #ff0000; display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">PARÁBOLA

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sean L'L y F la recta y punto fijos. Tracemos por F la perpendicular al eje x y sea 2ala distancia de F a L'L.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Por definición de parábola la curva debe cortar al eje x en el punto O, equidistante de F y L'L. El eje y se traza perpendicular al x por el punto O.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Las coordenadas de F son (a, O) y la ecuación de la directriz es x = -a, o bien, x + a = O. Sea P(x, y)un punto genérico cualquiera de manera que:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Entonces,



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Elevado al cuadrado, O bien:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">De la forma de la ecuación se deduce que la parábola es simétrica con respecto al eje X. El punto en que la curva corta al eje de simetría se denomina vértice. La cuerda C'C que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama latus rectum. La longitud del latus rectum es 4a, es decir, el coeficiente del término de primer grado en la ecuación. Si el foco está a la izquierda de la directriz, la ecuación toma la forma:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si el foco pertenece al eje y la forma de la ecuación es:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">En la que el signo depende de que el foco esté por encima o por debajo de la directriz.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Consideremos ahora una parábola de vértice el punto (h, k), de eje paralelo al de coordenadas x y cuyo foco esté a una distancia a del vértice y a la derecha de él.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La directriz, paralela al eje y y a una distancia 2a a la izquierda del foco, tendrá la ecuación x= h-a o bien, x - h + a = 0. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Llamemos P (w, y) un punto genérico cualquiera de la parábola. Como PF = PM,

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">EJERCICIOS RESUELTOS

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">1. Hallar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola 3y2 = 8x

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Desarrollo:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">De la ecuación de la parábola se deduce que 4a = 8/3 de donde a=2/3. El foco es el punto de coordenadas (2/3, 0 ) y la ecuación de la directriz es x = - 2/3

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (0, - 4/3) y por directriz la recta y - 4/3 = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Desarrollo:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sea P(x, y) un punto genérico cualquiera de la parábola. En estas condiciones,



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Elevando al cuadrado y simplificando, = 4a = 16/3



<span style="color: #ff0000; display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">LA ELIPSE

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Los dos puntos fijos se llaman FOCOS de la elipse. Designemos por F y F` los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos se la llama eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V y V`, llamados VERTICES.La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento V V`, se llama EJE MAYOR. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta vertical que pasa por el centro se la designa eje normal. EL segmento AA` se llama eje menor. B B` se llama cuerda, ya que une dos puntos cualesquiera de la elipse. E E` se la llama cuerda focal, debido a que es una cuerda que pasa por los focos.


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">ECUACION DE LA ELIPSE **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La canónica de la ecuación de la elipse Considerando el origen C (0,0), y cuyo eje focal coincide con el eje X. El punto O es el punto medio del segmento FF`, las coordenadas de los focos serán, (c,0) y (-c,0)respectivamente, siendo c una constante y (x,y) un punto cualesquiera de la elipse. Por la definición de curva, el punto P debe satisfacer las condiciones geométrica FP I + IF`PI = 2a ; si a>c desarrollando obtenemos la ecuación:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La cónica de la ecuación de la elipse con centro diferente al origen C ( x1,y1)



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada. La excentricidad E de una elipse está dada por:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como la elipse tiene dos focos también tendrá dos directrices. Las ecuaciones de las directrices D`D` Y DD son respectivamente: x+ a/E =0 Y x- a/ E = 0Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices serían:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">y+ a/E =0 Y y- a/ E = 0 Se denomina latus rectum de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor del eje mayor por uno de los focos: Su longitud es 2b²/a La ecuación general de la elipse es: Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0; donde A y B son del mismo signo.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicios resueltos: <span style="font-family: Arial,sans-serif;">1. Encuentre la ecuación de una elipse con vértices V (5,0) y V (-5,0) y focos F (2,0) y F´ (-2,0).

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Solución: Al ubicar las coordenadas de los vértices y de los focos vemos que estos están en el eje de las X por tanto el eje mayor es el eje X que también podemos decir que es el eje focal.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">De donde tenemos que a = 5 y c = 2 y luego b =2 y 25 - 4= 21 y así b = 21.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Por tanto la ecuación de la elipse tiene la forma



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sustituyendo los valores de a y b tenemos que la ecuación que estamos buscando es:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">x² / 25 + y²/21 = 1

<span style="color: #ff0000; display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">LA HIPÉRBOLA

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuyas diferencia de distancias a los puntos fijos F(c,0) y F`(-c,0) es constante e igual a 2a



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Los FOCOS están designados F y F`. La recta l que pasa por los focos se la llama eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos en dos puntos, V y V`, llamados VERTICES. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento V V`, se llama EJE TRANSVERSO. El punto C del eje transversal, se llama centro. La recta vertical que pasa por el centro se la designa eje normal. El eje normal no corta a la hipérbola; sin embargo, una porción definida de este eje, el segmento AA` que tiene C por punto medio, se llama eje conjugado. El segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">En particular si una cuerda pasa por unos focos se la llama cuerda focal.


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La canónica de la ecuación de la hipérbola considerando el origen C (0,0). El punto O es el punto medio del segmento FF`, las coordenadas de los focos serán, (c,0) y (-c,0) respectivamente, siendo c una constante y (x,y) un punto cualesquiera de la elipse. Entonces por la definición de la hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica siguiente, que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">I FP I - IF`PI = 2a ; donde a es una constante positiva y 2a<2c.Desarrollando obtenemos la ecuación:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La cónica de la ecuación de la hipérbola con centro diferente al origen C (h,k)



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia C de unidades del centro.



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">EN RESUMEN:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">1. El centro está en (h,k) <span style="font-family: Arial,sans-serif;">2. Los vértices están en (h+a,k) y (h-a,k) <span style="font-family: Arial,sans-serif;">3. Los focos están en (h+c,k) y (h-c,k)

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">1. El centro está en (h,k) <span style="font-family: Arial,sans-serif;">2. Los vértices están en (h+k,a) y (h-k,a) <span style="font-family: Arial,sans-serif;">3. Los focos están en (h+k,c) y (h- k,c)

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en (h,k) .El segmento recto de longitud 2b que une (h,k+b) y (h,k-b).

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los de coordenadas x e y es:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ax² - By² + Dx + Ey + F = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicios Resueltos

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicio 1

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9x2 – y2 – 36x – 6y + 18 = 0Completando cuadrados en ambas variables tenemos9(x2 – 4x + 4 – 4) – (y2 + 6y + 9 – 9) + 18 = 0

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">9(x – 2)2 – 36 – (y + 3)2 + 9 + 18 = 0 <span style="font-family: Arial,sans-serif;">9(x – 2)2 – (y + 3)2 = 9

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Dividiendo por 9 a ambos miembros de la igualdad queda:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">(x-2)² - ( y+3)²/9 = 1

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Por tanto, el centro está en (2, – 3). El eje transverso de la hipérbola es horizontal, a = 1 y b = 3.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como,



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Se tiene que c2 =10. Por lo tanto los vértices están en (1, – 3) y (3, – 3), en tanto que los focos se ubican en (2 + 10, – 3) y en (2 –10, – 3).

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La excentricidad es e = 10.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ejercicio 2

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en (3, – 5) y (3, 1), y las asíntotas son las rectas y = 2x – 8 e y = – 2x + 4. Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Por ser el centro el punto medio del segmento que une los vértices sus coordenadas son (3, –2). Además, la hipérbola tiene eje transverso vertical y el valor de a es 3. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">m=2 = a/b → b= a/2 → b= 3/2

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Por tanto, la ecuación canónica es:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">(y+2)² /9 - ( x-3)²/(9/4) = 1

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">El valor de c está dado por:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Los focos están en (3, -2- 45/4) y (3, -2+ 45/4) y la excentricidad es e²=5/4

**<span style="color: #ff0000; font-family: Arial,sans-serif;">Transformación de coordenadas **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">En la geometría analítica, al igual que en la física´, es muy importante elegir un sistema de coordenadas o referencia, adecuado con objeto de simplificar al máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello se realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo proceso general se pueda considerar reducido a dos movimientos, uno de traslación y otro de rotación.


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Traslación de ejes de coordenadas. **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen, O’ es el punto (h, k), y si las coordenadas de cualquier punto antes y después de la traslación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son: <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">x = x’ + h; x’ = x - h  <span style="display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">y = y’ + k; y’ = y – k


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Rotación de ejes de coordenadas. **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si los ejes coordenados giran un ángulo q entorno de su origen como centro de rotación y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema están dadas por: <span style="font-family: Arial,sans-serif;">x = x’cos(q) – y’sen(q); y = x’sen(q) + y’cos(q)



<span style="color: #ff0000; display: block; font-family: Arial,sans-serif; text-align: center;">COORDENADAS POLARES



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">En un lugar de fijar la posición de un punto del plano en función de sus distancias a dos rectas perpendiculares es preferible, a veces, hacerlo en función de distancia a un punto fijo y de la dirección con respecto a una recta fija que pase por este punto. Las coordenadas de un punto, en esta referencia, se llaman coordenadas polares.



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">El punto fijo O se denomina polo y la recta fija OA se llama eje polar. Las coordenadas polares de P se representan por (r,Θ), siendo:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">r = la distancia OP y Θ el ángulo AOP

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Si r y Θ están relacionados por una ecuación cualquiera, se pueden asignar valores a Θ y determinar los correspondientes de r. Los puntos que resultan constituyen una línea recta o curva, definida.


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">SIMETRÍAS **<span style="font-family: Arial,sans-serif;">, Igual que ocurre en el caso de coordenadas cartesianas, en las coordenadas polares también se dispone de criterios para averiguar las simetrías que puede representar un lugar geométrico cualquiera.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">• Una ecuación es simétrica con respecto al eje polar cuando al sustituir Θ por - Θ no se modifica. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">• La curva es simétrica con respecto a la perpendicular al eje polar que pasa por el polo cuando la ecuación no varía al sustituir Θ por π - Θ. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">• Una curva es simétrica con respecto al polo cuando la ecuación no varía al sustituir r por - r, o cuando se sustituye Θ por π + Θ.


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS RECTANGULARES Y POLARES **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Consideremos al punto P ( r, Θ ), suponiendo el eje polar OX y el polo O son, respectivamente, el eje x y el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean (x, y) las coordenadas rectangulares del mismo punto:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">EJERCICIOS RESUELTOS:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 30°) y es perpendicular al eje polar OX. Sea (r, Θ) un punto genérico cualquiera de la recta.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Se tiene; r cos Θ2 cos 30°2(31/2/2) o bien r cos Θ = 31/2



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">2. Un segmento de longitud 2a tiene sus extremos sobre dos rectas fijas perpendiculares. Hallar el lugar geométrico del pie de la perpendicular trazada desde el punto de intersección de las rectas al segmento.



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Se tiene OA = OP sec Θ = AB cos (90°- Θ)

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">r sec Θ = 2a cos (90°- Θ)

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Entonces : r = 2a sen Θ cos Θ, de donde , r - a sen 2Θ (Trebol de cuatro Hojas)


 * <span style="font-family: Arial,sans-serif;">TANGENTE Y NORMAL **

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La tangente a una curva en uno de sus puntos es:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sean P y Q dos puntos de la curva y trazamos la secante PQ. Si el punto Q se desplaza a lo largo de la curva hacia P, la secante PQ irá girando alrededor de P. <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Cuando Q tienda a P la secante PQ coincide, en el límite, con la recta PT que se llama tangente de la curva en P.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">La normal PN a una curva es perpendicular en el punto de la curva P.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Para hallar la pendiente de la tangente a la circunferencia en el punto P1(x1, x1)

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sea Q1 (otro punto de la circunferencia. La pendiente entre P y Q es k/h. Al girar la tangente alrededor de P1. El punto Q tiene hacia P1, y los valores de k y h lo hacen hacia cero.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Los puntos P1(x1, x1) y Q1(x1+h, y1+k) satisfacen la ecuación

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Sustituyendo: Restando (1) de (2)



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Entonces: el límite de esta expresión cuando h y k tienden a cero es -x1/y1, ósea, m= - x1/y1

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Como la tangente pasa por P1(x1,x1) su ecuación es:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">PROBLEMAS RESUELTOS:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">1) Hallar las ecuaciones de las rectas de pendientes m tangentes a la elipse:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ecuación de la recta: y= mx + k

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Igualando las ecuaciones se obtiene:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Las raíces de esta nueva ecuación deben ser iguales… su discriminante debe ser 0.

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Las ecuaciones de las rectas de pendiente m y tangentes a la elipse son:



<span style="font-family: Arial,sans-serif;">2) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse paralelas a la recta 3x + 8y = 7

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Solución:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Pendiente de la recta dada: -3/8

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Ecuación pedida :

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Igualando la ecuación pedida con la de la elipse y con la condición de que las raíces sean iguales:

<span style="font-family: Arial,sans-serif;"> <span style="font-family: Arial,sans-serif;">Entonces: <span style="font-family: Arial,sans-serif;">

<span style="font-family: Arial,sans-serif;">Estas serían las ecuaciones pedidas.