Integral+definida


 * __ ** INTEGRAL DEFINIDA ** __

INTRODUCCIÓN
media type="youtube" key="8QccEGEBBTM" height="315" width="420" align="center"

media type="youtube" key="cEdciwfl2gw" height="315" width="420" align="center"

Antes de empezar esta sección es necesario conocer algunos parámetros para determinar geometricamente la definición de integral definida.



Área bajo una curva
Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], con f(x)> 0 para todo x en [a, b], y que R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. Divida el intervalo [a, b] en n sub-intervalos, cada uno de la longitud Δx, y denote el i-ésimo sub-intervalo por [a,b ]. Entonces si f (x) es el valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo sub-intervalo.

La medida del área de la región R está dada por:

Esta ecuación significa que para cualquier є > 0 existe un número //**N**//>0 tal que si //**n**// es un numero entero positivo y si **//n//** > **//N//** entonces: **( 2. 3 -1)**

En el siguiente vídeo ayudara a tener un entendimiento mas claro sobre el tema tratado:

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 * SUMA DE RIEMANN **

Es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Calculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemman consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande. Consideremos lo siguiente:
 * DEFINICIÓN **

donde D es un subconjunto de los [|números reales]
 * una [|función][[image:http://upload.wikimedia.org/math/2/9/3/293bb52f0a89d73cc4f24b6308e7471c.png caption="f:[D]rightarrowmathbb{R}"]]
 * I = [a, b] un [|intervalo cerrado] contenido en D.

crean una [|partición] de IP = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]} Si //P// es una partición con //n// elementos de //I//, entonces la suma de Riemann de //f// sobre //I// con la partición //P// se define como [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/4/7/b477e400396c711c60c4302bbbd888ae.png caption="S = sum_{i=1}^{n} f(y_i)(x_{i}-x_{i-1})"]]donde //x////i//-1 ≤ //y////i// ≤ //x////i//. La elección de //y////i// en este intervalo es arbitraria.Si //y////i// = //x////i//-1 para todo //i//, entonces denominamos //S// como la suma de Riemann por la izquierda.Si //y////i// = //x////i//, entonces denominamos //S// como la suma de Riemann por la derecha.Promediamos las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.
 * Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.




 * INTEGRAL DE LEBESGUE **

Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(//A//) de un intervalo //A// = [//a//, //b//] es su ancho, //b// − //a//, así la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland: "Para calcular la integral de Riemann de //f//, se parte de el dominio [//a//, //b//] en sub-intervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está partiendo es el recorrido de //f//".

Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica de un conjunto medible //A// por:



Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito //n//, de valores diferentes no negativos:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">Donde la imagen de //A////i// al aplicarle la función escalonada //s// es el valor constante //a////i//. Así, si //E// es un conjunto medible, se define



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">Entonces, para cualquier función medible no negativa //f// se define:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">Es decir, se establece que la integral de //f// es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que //f//. Una función medible cualquiera //f//, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">Finalmente, //f// es Lebesgue integrable si:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: left;">y entonces se define la integral por:



__** DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA **__

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Sea una función continua en el intervalo, tal que  toma solo valores NO negativos en dicho intervalo.

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Nos planteamos el siguiente problema: ¿Como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y, la grafica de la función  y el eje X? El área que queremos calcular corresponde a la superficie coloreada de azul en la figura de abajo:



<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Este area es el valor de la integral entre y  de  y la denotamos por: <span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Esta integral se trata de una //**integral definida**//. Una integral definida es, por tanto, un número, mientras que una [|integral indefinida] es una familia de funciones ( el conjunto de primitivas de la función que se integra ).

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Veamos una manera de dar una solución aproximada al problema que nos planteabamos ( el calculo de dicha area ).

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Dividimos el intervalo en  intervalos de la misma longitud. Los limites de estos intervalos mas pequeños son: <span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">donde.

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Para contruyamos el rectangulo cuya base es el intervalo  y cuya altura es de longitud.

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Haciendo esto para, terminamos con rectangulos. La suma de sus areas es una aproximación al area bajo la grafica de que queremos calcular.

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">En general, cuanto mayor sea mejor aproximación sera la suma de las areas de los rectangulos a.

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Así, cuando :



<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">uno podria esperar que la aproximación obtenida sea peor que si se considera un número mayor de rectangulos, por ejemplo :



<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Llamemos a la suma de los rectangulos así construidos. Se tiene que:

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Es decir, tiende a  cuando el número de rectangulos,, tiende a infinito.

<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">En todo lo que hemos visto hasta ahora hemos supuesto que la función toma valores NO negativos en el intervalo. ¿Que pasaría si tomase valores NO positivos en dicho intervalo? En este caso, ¿como podemos calcular el area comprendida entre las rectas verticales de ecuaciones y, la grafica de la función  y el eje X?



<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">Casi todo lo dicho con anterioridad para el caso seria aplicable al caso , pero ahora: <span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">y el area sobre la grafica de la función es

==<span style="background-color: #ffffff; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11px;">siendo la integral definida NO positiva porque. ==


 * NOTACIÓN Y SIMBOLOGÍA **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 1. Si k es un número real constante, y f es una función integrable en el intervalo cerrado [a; b], entonces:
 * Propiedades de la Integral definida **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 2. Si f y g son dos funciones integrables en [a; b] entonces f + g también es integrable en [a; b] y:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 3. Si f y g son dos funciones integrables en [a; b] (con a < b) y además <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">entonces:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Podemos ilustrar geometricamente esta propiedad como sigue:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f(x) > 0 y g(x) > 0 para x [a; b], además g(x), f(x) para cada x [a; b], como se muestra en la figura siguiente:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Note que el área del trapecio curvilíneo a Q R b es mayor que el trapecio curvilíneo a R S b, por lo que:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> 4. Si M y m son los valores máximo y mínimo respectivamente de la función f(x) en el intervalo [a; b], con a < b, y además f es integrable en [a; b] entonces:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Puede ilustrarse esta propiedad geométricamente como sigue: sea f(x) ¸ 0 para x [a; b] (a < b) y consideremos la siguiente representación gráfica :



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Note que el área del trapecio curvilíneo a Q T b está comprendida entre las áreas de los rectángulos a P U b y a R S b. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(El área del rectángulo a P U b es m(b - a), la del rectángulo a R S b es M(b - a) y la del trapecio curvilíneo es:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Consideremos la región limitada por la curva con ecuación y = x2 + 1 y las rectas cuyas ecuaciones son x = 1; x = 3; la representación gráfica es la siguiente:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Note que el valor mínimo que toma la función es 2 y el máximo es 10. El área del rectángulo a P S b es <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4 (ul)2, la del rectángulo a Q R b es 20 (ul)2 y la del trapecio curvilíneo a P R b es:




 * TEOREMA DE ROLLE **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/6/1/6/616fb717ed0ab1dbf5ded834a72ae83e.png]]es una función continua definida en un intervalo cerrado
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/6/1/6/616fb717ed0ab1dbf5ded834a72ae83e.png]]es derivable sobre el intervalo abierto (a,b)
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/f/3/4/f340162bcc0fb0cfb12a6d9cd4250424.png]]

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJERCICIOS: **

EJEMPLO 1 Sea f(x) = Dec(x) = x - [x] y f:[0,1]--->R. f no es continua en b = 1. Se cumplen las condiciones (2) y (3) y es f´(x) = 1 en (0,1), por lo que no existe tal punto.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f es una función continua en el intervalo [a; b], entonces existe en éste un punto tal que se verifique la siguiente igualdad:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">TEOREMA DEL VALOR MEDIO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una función f tal que <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">para todos los valores de x en el intervalo [a; b].

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces Es el área de la región limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y las rectas con ecuaciones x = a; x= b



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Establece que existe un número a en [a; b] tal que el área del rectángulo a Q S b, cuya altura es f  y que tiene ancho de (b - a) unidades, es igual al área de la región a P R b. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El valor de  no es necesariamente único <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Aunque el teorema no establece un método para determinar, sí garantiza que existe un valor de , lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Determinar, en cada caso, el valor de tal que: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Luego el valor de <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">que satisface el teorema del valor medio para integrales es

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Gráficamente se tiene:




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">REGLA DE BARROW **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

__**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 150%;"> Análisis Matemático de funciones **__ <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Antes de entrar en el estudio de áreas y volúmenes generados por funciones, es necesario tener en cuenta los lugares en el plano que delimitan dichas funciones. Es así que a continuación se procederá a recordar algunos aspectos básicos para obtener la gráfica y facilitar la resolución de un determinado problema, ademas de ser conceptos bastante fundamentales dentro de la ingeniería. Para ello consideraremos los siguientes aspectos
 * ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA FUNCIÓN **


 * DOMINIO DE FUNCIÓN **

<span style="background-color: #ffffff; color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. <span style="background-color: #ffffff; color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">D = {x / f (x)}


 * ‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍INTERSECCIONES CON EL EJE "X"‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍ **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para hallar las intersecciones con el eje x o raíces de la función, igualamos a cero y resolvemos con el método apropiado la ecuación que se presente.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se tiene que 2 y 4 son raíces, es decir los puntos en los cuales la función interseca al eje "x"


 * PUNTOS CRÍTICOS **

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dentro de una función, entiéndase por puntos críticos a los puntos máximo, mínimo y los extremos.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, hallamos la primera derivada de dicha función. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una vez encontrada la primera derivada, igualamos a cero y resolvemos la ecuación formada. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ahora bien, encontradas la raíces de esta ultima ecuación, dibujamos una línea y colocamos los puntos sobre la línea lo cual nos delimitará regiones dentro de las cuales escogeremos un número de prueba de cada una de las regiones formadas y lo reemplazamos (dy/dx)=0, haciendo lo mismo con el resto de los puntos de prueba. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A continuación nos fijamos en el signo obtenido siguiendo el orden de la región de izquierda a derecha en la línea y nos fijamos en los signos obtenidos antes de las raíces de la ecuación así:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si los signos van de positivo a negativo, entonces tenemos un MÁXIMO (max). <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si los signos van de negativo a positivo, entonces tenemos un MÍNIMO (min).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Hallamos la ordenada de dichos puntos críticos y obtenemos un punto por donde pasa la gráfica.

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 * PUNTOS DE INFLEXIÓN (CONCAVIDADES) **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para hallar cuales son los puntos donde la curva cambia de trayectoria, ahora encontramos la segunda derivada de la función que estamos analizando y a continuación igualamos a cero, resovemos la ecuación y procedemos a dibujar una recta con los respectivos puntos, al igual que en el caso anterior tomamos punto de prueba entre los intervalos formados <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">y analizamos el signo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">si el punto es positivo antes del punto punto fijo (resultado de resolver la ec anterior), y a continuación existe uno negatico entonces hay un punto de inflexión en dicho punto. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Calculamos la ordenada de dicho punto y terminamos el procedimiento.




 * PUNTOS DE INTERSECCIÓN (SI EL ÁREA DESEADA SE ENCUENTRA ENTRE DOS A MÁS CURVAS) **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En esta caso hacemos un sistema de inecuaciones entre las curvas relacionadas y obtendremos los puntos de intersección de las mismas los cuales nos servirán de limites para poder calcular el área deseada.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ahora con los puntos encontrados anteriormente, realizamos un sistema de coordenadas y obtenemos una visualización del lugar geométrico que estamos analizando.




 * TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f es una función continua en [a, b]: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">entonces verifica A' (x)  f(x) para todo x del intervalo.
 * Primera Parte **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Queremos calcular: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Pero según la definición de A(x) resulta: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De aquí el numerador: (1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por propiedades de la integral definida <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Reemplazando en (1), surge <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Demostración: **


 * APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA **


 * ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean f y g funciones integrables en [a, b]; con la condición: f≤ g en [a, b]. Consideremos entonces los siguientes casos.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir, únicamente sabemos que f y g satisfacen (fig.1) y nada más. Procedemos entonces de la siguiente manera. Sea C un número tal que:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caso general f ≤ g **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ya estamos entonces en el primer caso y utilizando dicho resultado tenemos:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Expresión que es exactamente la misma que la del caso 1.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Nota: Si f < 0, para determinar el área de Q, se debe considerar a la función g como la función nula; es decir, g (x) = 0,



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Luego:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Resumiendo:



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 * VOLUMEN DE REVOLUCIÓN **






 * MÉTODO DE DOS CILINDROS MACIZOS **






 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">MÉTODO DE LOS CILINDROS HUECOS **





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje, la región limitada por la gráfica de: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">i-ésimo rectángulo que al rotar alrededor del eje X genera un disco circular en forma de cilindro circular recto. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El volumen del i-ésimo disco circular es: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La suma de aproximación del volumen: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El volumen del sólido está dado por:



<span style="color: #800080; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">**LONGITUD DE UNA CURVA**
<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">S <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ea f∈ (a,b) <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">entonces: <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y su longitud L de (a, f(a)) hasta (b, f(b)) es:



media type="youtube" key="QLFhBPOtF4s" height="315" width="420" align="center"


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN **

<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para una función f(x) : <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A) si rota en el eje x con límites de superficie (a, b) en el eje x entonces la superficie está dada por:



<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">B) Si rota en el eje (y) y tiene los limites (a, b) en el eje x




 * INTEGRACIÓN NUMÉRICA **

<span style="color: #000000; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función contínua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo.El problema en la práctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la antiderivada requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Existen diversos métodos numéricos que nos permitirán obtener aproximaciones bastante exactas a integrales como la mencionada anteriormente.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Las fórmulas de Newton-Cotes están conformadas por las bien conocidas reglas del trapecio y de Simpson (regla de un tercio y de tres octavos). Haciendo uso de algunos programas computacionales (por ejemplo, en Mathematica) es posible discernir sobre las cualidades y defectos de cada uno de los métodos mencionados arriba.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Estas fórmulas se basan en la idea de integrar una función polinomial en vez de f(x):
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">FORMULAS DE INTEGRACION DE NEWTON-COTES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es un polinomio de interpolación de grado n para ciertos datos de f(x) que se escogen apropiadamente. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es importante observar que estas fórmulas se pueden aplicar inclusive a una tabla de datos, ya que lo que se usa es un polinomio de interpolación, el cual puede ser calculado con la tabla. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes, existen las formas cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los valores de f(a) y f(b); en caso contrario, se llaman formas abiertas. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Nosotros nos remitiremos a estudiar únicamente las formas cerradas, y por lo tanto, siempre suponemos que conocemos los valores f(a) y f(b).


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">REGLA DEL TRAPECIO **

<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f una función continua en el intervalo cerrado. La integral definida de f en es el límite de la suma <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">de Riemann; esto es:

<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La suma de Riemann se interpreta geometricamente como la suma de las áreas de los rectángulos que están entre la curva y el eje x. <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para aproximar la medida del área de una región se emplearan trapecios en lugar de rectángulos, se utilizara particiones regulares y valores de función en puntos igualmente espaciados. <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Asi para integral definida se divide el intervaloen n subintervalos, cada uno de longitud cada uno de longitud. esto proporciona los siguientes puntos: <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces la integral definida puede expresarse como la suma de n integrales definidas así:

<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Geometricamente se pude interpretar con el gráfico:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La integral es la medida del area de los trapecios formados desde las rectas x=a hasta x= b, para el primer trapecio por la formula de la geometria elemental se tiene:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De igual manera para los demas trapecios se tiene la integral:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Resolviendo el miembro derecho se tiene:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta formula se conoce como la regla del trapecio y establece en el siguiente teorema: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema de la regla del trapecio <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si la función f es continua en el intervalo y los números forman una aparición regular de, entonces:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**EJEMPLO** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aproxime con tres cifras decimales el valor de



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Consideremos a n=6 ,como, entonces:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; line-height: 23.399999618530273px;">SOLUCIÓN **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por tanto

<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Donde ,para la facilidad del calculo se realiza una tabla de valores,donde se muestra lasuma de los valores entre corchetes:



<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Luego,



<span style="color: #000000; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La regla de Simpson tiene mayor aproximación que regla de los trapecios. En la regla de los trapecios los puntos sucesivos de la gráfica y = f(x) se unen mediante líneas que forman los trapecios, en la regla de Simpson los puntos se unen mediante segmentos de parábolas. Antes de desarrollarse establecerá un teorema que se necesitara:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;"> REGLA DE SIMPSON (REGLA PARABÓLICA ) **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f una función continua en el intervalo cerrado, considere una partición regular del intervalo en n subintervalos, donde n es par. La longitud de cada subintervalo está dada por = (b-a)/n. denote los puntos de la partición de la curva y=f(x) por Po(Xo, Yo),…..,Pn(Xn, Yn).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para el primer segmento de curva de Po a P2 se aproxima mediante el segmento de la parábola que pasa por los puntos Po, P1 y P2, entonces por el teorema el área de la región limitada por el segmento de la parábola que pasa por los puntos Po, P1 y P2, el eje x y las rectas x=xo con h=y x= x2 está dada por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De igual manera se hace para los demás medidas de áreas hasta que haya n/2 regiones y el área de la última región está dada por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como la integral definida está dada por la suma de las áreas desde las rectas x= a hasta x = b y el eje x entonces se tiene:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Donde = (b - a)/n. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta regla recibe el nombre de la regla de Simpson y se expresa en el siguiente teorema:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aproxime con cuatro cifras decimales el valor de:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aplicamos la regla de Simpson con n=4, se tiene:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; line-height: 23.399999618530273px;">SOLUCIÓN **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por tanto si f(x)= 1/(x+1), entonces:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para un mejor desarrollo se utilizara una tabla de valores



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En consecuencia



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Al redondear el resultado a cuatro cifras decimales se tiene:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Al calcular el valor exacto de la integral definida se tiene:




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Suponemos que tenemos los datos:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde Xm es el punto medio entre a y b. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En este caso se tiene que:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde f2(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de Lagrange. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Así, tenemos que: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si denotamos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Simplificando té rminos : <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x-a)(x-b)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Así, calculamos la siguiente integral por partes: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">por lo tanto, <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de f2(x).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Debido al factor 1/3h se le conoce como la regla de Simpson de un tercio.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En la práctica, sustituimos el valor de h para obtener nuestra fórmula final: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Este caso corresponde a n=3, es decir, <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde es un polinomio de interpolación para los siguientes datos:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS **

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">====Y donde a=X0, b=X3 y X1, X2 son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo a,b.

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula: <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde h. Debido al factor 3/8h es que se le dió el nombre de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener: <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

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 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 140%;">INTEGRACIÓN EN INTERVALOS DESIGUALES **

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico: <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1 .- Simpson 3/8 <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esta se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados. <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2 .- Simpson 1/3 <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esta se aplica si falla (1) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados. <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3 .- Regla Trapezoidal <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solo se aplica si no se cumple.

** COORDENADAS POLARES **


<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Este sistema es importante debido a que ciertas curvas tienen ecuaciones más simples en coordenadas polares. Además, las tres cónicas (elipse, parábola e hipérbola) pueden representarse mediante una ecuación. Esta ecuación se aplica en física para deducir las leyes de Kepler, y en astronomía en el estudio de movimiento de planetas. Las coordenadas cartesianas son números, la abscisa y la ordenada, que representan la distancia dirigida a partir de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo de dirección en relación a punto fijo y un rayo fijo (o semirrecta). El punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa mediante la letra O. El rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se prolonga indefinidamente hacia la derecha (FIGURA 1).

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea P cualquier punto del plano diferente de O. Sea ϴ la medida en radianes del ángulo dirigido AOP, positivo cuando se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su rayo final el rayo OP. Si δ es la distancia no dirigida de O a P (esto es, δ = │ │), un conjunto de coordenadas polares de P está dado por δ y ϴ, y se denotan estas coordenadas como (δ, ϴ). <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A menudo el ángulo se mide en radianes: de modo que en un conjunto de coordenadas polares de un punto es un par ordenado de nú meros reales. Para cada par ordenado de números reales existe un único punto al que le corresponde este conjunto de coordenadas polares. Sin embargo, se ha visto que un punto particular puede representarse mediante un número ilimitado de pares ordenados de números reales. Si el punto P no es el polo, y δ y ϴ se restringen de modo que δ > 0 y 0 ≤ ϴ ≤ 2π, entones P tiene un único conjunto de coordenadas polares.

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En ocasiones se desea hacer referencia a las coordenadas cartesianas rectangulares y coordenadas polares de un punto. Para lograr esto, se considera el origen del primer sistema como el polo del segundo sistema, el eje polar como la parte positiva del eje x y el rayo para el cual ϴ <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">½ π como la parte positiva del eje y.

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Suponga que P es un punto cuya representación en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares es (x, y), y (δ, ϴ) es la representación en coordenadas polares de P. Como caso particular, suponga que P está en el segundo cuadrante y δ > 0, como lo indica la FIGURA 7. Entonces:

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De este modo,



<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Estas ecuaciones se cumplen para P en cualquier cuadrante y δ positivo o negativo. De las ecuaciones no solo se pueden obtener las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto cuando se conocen las coordenadas polares, sino que también se puede obtener una ecuación polar de una curva a partir de su ecuación cartesiana rectangular.

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Con el fin de deducir las ecuaciones que proporcionen un conjunto de coordenadas polares de un punto cuando se conocen sus coordenadas cartesianas rectangulares, se elevan al cuadrado los miembros de cada ecuación (1), se iguala la suma de los izquierdos a la suma de los miembros derechos, y se resuelve para δ, obteniéndose: <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cuando se hace la siguiente relación se tiene que: <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">C y r son constantes


 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ϴ =C || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Recta que contiene al polo; forma un ángulo de C radianes con el eje polar. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ senϴ = b || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Recta paralela al eje polar; arriba del eje polar si b > 0; debajo del eje polar si b < 0. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ cosϴ = a || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Recta paralela al eje ½ π; a la derecha del eje ½ π si a > 0; a la izquierda del eje ½ π si a < 0. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = r || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Circunferencia, centro en el polo; radio r. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = 2r cosϴ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Circunferencia; radio r; tangente al eje ½ π, centro en el eje polar o en su prolongación. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = 2r senϴ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Circunferencia; radio r; tangente al eje polar, centro en el eje ½ π o en su prolongación. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = 4c tanϴsecϴ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Parábola, vértice en el origen, foco en el eje ½ π o en su prolongación; arriba del eje polar. ||

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Antes de discutir otras gráficas polares, se establecerán los siguientes criterios de simetría.

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una gráfica es:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">CRITERIOS DE SIMETRÍA **

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(i) Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente, cuando (δ, ϴ) se sustituye por (δ, -ϴ) ó (- δ, π - ϴ).

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(ii) Simétrica con respecto al eje ½ π si se obtiene una ecuación equivalente cuando (δ, ϴ) se sustituye por (δ, π - ϴ) o (-δ, -ϴ). <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(iii) Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando (δ, ϴ) se sustituye por (-δ, ϴ) o (δ, π + ϴ).

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De la ecuación δ = a + b cosϴ, donde a > 0 y b > 0:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">TIPOS DE CARACOLES **


 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TIPOS DE CARACOLES ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">0 < < 1 || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caracol con lazo, vea la FIGURA 9 ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">= 1 || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cardioide (forma de corazón), vea la FIGURA 10 ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1 < < 2 || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caracol con hendidura, vea la FIGURA 11 ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2 ≤ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Caracol convexo, vea la FIGURA 12 ||

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A partir de la ecuación de un caracol, también se puede determinar su simetría, y la dirección en la que apunta. <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a > 0 y b > 0


 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">SIMETRÍA Y DIRECCIÓN DE UN CARACOL ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = a + b cosϴ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Simetría con respecto al eje polar, apunta hacia la derecha. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = a - b cosϴ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Simetría con respecto al eje polar, apunta hacia la izquierda. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = a + b senϴ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Simetría con respecto al eje ½ π, apunta hacia arriba. ||
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">δ = a - b senϴ || <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Simetría con respecto al eje ½ π, apunta hacia abajo. ||




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE UNA REGIÓN PARA GRÁFICAS POLARES **

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Coordenadas rectangulares
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA **



<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f una función continua en [a, b]. La longitud de la curva entre (a, f(a)) y (b, f(b)) está dada por: <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">L = L1 + L2 + L3 +… + Ln <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 130%;">SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN **

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aplicaciones

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Área de una superficie de revolución <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si la curva está definida por las funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral



<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">siendo x(t) siempre positiva.

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución. Si la curva está definida por la función y = f(x), la integral se transforma en:



<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas,



<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas. Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva x(t) = sen(t) y y(t) = cos(t) cuando t toma valores en el intervalo [0,π]. Su área, por tanto, será



<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Geometría diferencial de superficies de revolución
 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:




 * <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: justify;">Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple: <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:analisisfigempa/Dibujo95.JPG]]

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución en el eje y la recta se denomina radio.

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: verdana,geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">CILINDRO **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">HOROESFERA **


 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">PSEUDOESFERA **




 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">SUPERFICIE DE DINI **




 * <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">__EJEMPLOS EXTRAS__ **

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">1. <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;"> <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">

<span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">2. <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;"> <span style="color: #1e0101; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif;">

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;">3. <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;">

<span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;">4. <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;"> <span style="color: #1e0101; display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; text-align: left;">
 * PARA COMPROBAR TUS RESULTADOS **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En esta pagina podrás obtener ayuda en la resolución de ejercicios básicos hasta muy complejos

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">SOLUCIONES PARA INTEGRAL DEFINIDA CON PASOS Y GRÁFICAS!!!

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Tienes que estar atento a la forma de ingrese los datos, para ello existen varios ejemplos. Esta es una de las herramientas mas potentes actualmente. PRUEBALO!!!!

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sitios en la WEB de interés para el estudio de la Integral Definida

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">INTEGRALES INDEFINIDAS

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJERCICIOS PROPUESTOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[|VISUALIZADOR DE INTEGRALES DIFINIDAS (INTERESANTE)]

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">media type="facebooklike" key="http%3A%2F%2Fanalisisfigempa.wikispaces.com%2FIntegral%20definida" width="450" height="80" align="right"