Integrales+Multiple

__**INTEGRALES MÚLTIPLES **__




 * INTRODUCCIÓN **

Se llaman integrales múltiples a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.

Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa. Se emplea el estudio de coordenadas cilíndricas y esféricas, debido a que se emplearán en aplicaciones posteriores.

Este tema se inicia con la definición de integral doble de una función de dos variables definida en una región rectangular cerrada R2. Después se emplea esta definición para el desarrollo de una función definida en una región de integración plana más general. También se muestra como se emplean las integrales iteradas para evaluar integrales dobles y por ultimo la definición y la aplicacion de integrales triples.

Las coordenadas cilíndricas y esféricas, son dos nuevos sistemas de coordenadas para el espacio tridimensional, los cuales simplificaran el trabajo en varios casos del presente tema integral multiple.
 * COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS **

El sistema de coordenadas cilíndricas es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones. Su representación para un punto P es (r, ∅, z), donde r y ∅ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano polar hasta P.
 * COORDENADAS CILÍNDRICAS **

**EJEMPLO:**  Dibuje la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes expresadas en coordenadas esféricas, donde c es una constante.  a) p = c ˄ c >0; b) ϴ = C ; c) **Ø ** = C ˄ 0 < C < π

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a) Todos los puntos P de la gráfica de p=c tienen el mismo valor para p, puede ser cualquier numero y <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">0 < **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">Ø **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;"> < π <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">. Esto deduce que la gráfica es una esfera de radio c.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">SOLUCIÓN: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">b) Para cualquier punto P de la gráfica de <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">ϴ <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 11pt;"> = C <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, p puede ser cualquier numero no negativo, **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">Ø **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">esta <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">0 < **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">Ø **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;"> < π y ϴ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">es constante. Por tanto la gráfica es un semiplano que contiene el eje z.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">c) De la gráfica **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">Ø ** = C ˄ 0 < **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">C **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;"> < π <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">contiene todos los puntos P para los cuales p es cualquier numero no negativo <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">ϴ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">es cualquier numero y **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">Ø **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">es constante. La gráfica es la mitad de un cono cuyo vértice es el origen y cuyo eje es el eje z. Las figuras a y b muestran un semicono donde <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">0 < **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">C **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;"> < π/2 ˄ π/2 < C < π <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">respectivamente.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Las coordenadas esféricas se utilizan frecuentemente cuando en un problema físico se tiene un punto como centro de simetría.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si se colocan un sistema de coordenadas esféricas y uno de coordenadas cartesianas como en la gráfica anterior se puede deducir la siguiente relación. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">|OQ|= p Sen Ø ˄ |QP|= Cos Ø <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, las ecuaciones anteriores se transforman en: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Al elevar al cuadrado cada una de las ecuaciones y sumando los miembros correspondientes se tiene:

En la práctica una integral doble se calcula mediante dos integrales simples llamadas integrales iteradas. Definición <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 150%;">f es integrable en R= [ a,b ] x [ c,d ] , Estas expresiones indican que el valor de la integral doble es independiente del orden elegido para calcular las integrales iteradas.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 150%;">INTEGRALES ITERADAS **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 150%;">INTEGRALES DOBLES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En el estudio de integrales múltiples, en el cual se tratan funciones de varias variables, se hará referencia como primer punto a las integrales dobles. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dos puntos diferentes A(a1, a2) y B(b1, b2), tales que a1<=b1y a2<=b2 determinan un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Los puntos A y B se denominan vértices del rectángulo. Los segmentos de recta que unen dos vértices consecutivos se denominan lados del rectángulo. El conjunto de todos los puntos interiores del rectángulo recibe el nombre de región rectangular abierta y el conjunto de todos los puntos de un rectángulo abierto junto con los puntos de los lados se denomina región rectangular cerrada.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se puede dividir la región R en una partición interior Δ formada por n subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en R. La norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las n subregiones. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si denotamos el ancho de la i-ésima subregión por ΔiX unidades y su longitud por Δiy unidades entonces el área de la i-ésima subregión rectangular será <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">Δ**i** A

<span style="display: block; font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt; text-align: center;">Δ**i** A = Δ**iX** Δ**iy**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 21.111112594604492px;">(u <span style="font-family: Calibri,sans-serif;">i, <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 21.111112594604492px;">v <span style="font-family: Calibri,sans-serif;">i <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 21.111112594604492px;">) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">un punto arbitrario de la i-ésima subregión y sea f <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">(ui , vi) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">el valor de la función en ese punto. Considere el producto f <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">(ui, vi) Δi A <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">. Asociado con cada una de las n subregiones se tiene uno de estos productos, y su suma es <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 26pt;"> Σ <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;"> f(ui, vi) Δi A



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta aproximación mejora a medida que el número n de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual a L si y sólo si para todo ε existe un δ > 0 tal que para toda partición Δ de la región R (que satisfaga ||Δ|| < δ, y para todas las elecciones posibles de (x1 **<span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">i **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x2 **<span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">i **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...,xn **<span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">i **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) en la i-ésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral doble.

//<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 14px; text-align: justify;">**DEFINICIÓN:** // <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 18px;">S <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">ea f una función de dos variables definida en una región rectangular cerrada R. La integral doble de f en R, denotada por: <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">Esta dada por: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">Siempre que el límite exista. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La doble integral como el volumen bajo una superficie: La región rectangular abajo de la figura es el dominio de integración, mientras que la superficie es la gráfica de la función de dos variables de la integral.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivadas de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Varias propiedades de la integral doble son análogas a las propiedades de la integral definida de una función de una variable. Las más importantes se dan en los siguientes cinco teoremas.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">PROPIEDADES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**1.** Si c es una constante y la función f es integrable en una región cerrada R, entonces cf es integrable en R y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**2.** Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R, entonces la función f + g es integrable en R y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**3.** Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R y además f(x, y) >= g(x, y) para todo (x, y) de R, entonces
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">4. **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;"> Sea f una función integrable en una región cerrada R, y suponga q m y M son dos números tales que m<= f(x, y) <= M para todo (x, y) de R. si A es la medida del área de la región R, entonces:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**5.** Suponga que la función f es contínua en la región cerrada R y que la región R se compone de dos subregiones R1 y R2 que no tiene puntos en común excepto algunos puntos de sus fronteras. Entonces:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Cuando se aplicaron las integrales simples para determinar el centro de masa de una lámina, se consideraron únicamente láminas homogéneas, excepto en casos especiales. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A una partición de R en n rectángulos. Si (ui, vi) es cualquier punto del i-ésimo rectángulo que tiene área ΔiA unidades cuadradas, entonces una aproximación de la medida de la masa total del i-ésimo rectángulo es p(ui, vi) ΔiA, y la medida de la masa total de la lámina está aproximada por

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">Al tomar el límite de la suma anterior conforme la norma Δ tiende a cero, la medida M de la masa de la lámina puede expresarse como:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">La medida del momento de masa del i-ésimo rectángulo con respecto al eje x está aproximada por vip(ui, vi) ΔiA. Entonces la suma de las medidas de los momentos de masa con respecto al eje x de los n rectángulos será aproximada por la suma de n términos de éstos. La medida Mx del momento de masa con respecto al eje x de la lámina completa está dada por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De manera análoga, la medida My de su momento de masa con respecto al eje y está determinada por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">El centro de masa de la lámina se denota por el punto (x,y) donde:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si deseamos integrar f una función definida dentro de una región R generalmente lo haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares r2 = x2 + y2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región R está definida como <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">el diferencial de área se definiría como <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> y la integral quedaría como: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Algunas Integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardioide o de pétalo de rosa.

> > <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Resolviendo: O btenemos
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: **
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 140%;">Determinar el volumen del sólido acotado por el plano z= 0 y el paraboloide z= 1 - x2 – y2

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;"> Después de Integrar: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 180%; text-align: center;">INTEGRAL TRIPLE <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La región más simple en <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 18px;">R3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">es un paralelepípedo rectangular limitado por seis planos: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f una función de tres variables y suponga que f es continua en una región S de este tipo. Una partición de esta región se forma al dividir S en cajas rectangulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una condición suficiente para que exista la integral triple de f en S es que f sea continua en S. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Así como una integral doble es igual a una integral iterada doble, la integral triple es igual a una integral iterada triple. Cuando S es el paralelepípedo rectangular descrito anteriormente, y f es continua en S, se tiene entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**EJEMPLO:**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Evalúe la integral triple <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si S es el paralelepípedo rectangular limitado por los planos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**SOLUCIÓN:** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La figura muestra el paralelepípedo rectangular S.





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Sea S la región tridimensional cerrada y limitada por los planos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> los cilindros <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> las superficies <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde estas funciones son lisas <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si esta suma tiene un límite conforme <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">||Δ|| <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">tiende a cero, y si el límite es independiente de la elección de los planos de la partición y de los puntos arbitrarios <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">(ui, vi, wi) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">en cada paralelepípedo, entonces el límite se denomina integral triple de f en S, y se escribe: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se puede demostrar, en Cálculo avanzado, que una condición suficiente para que el límite exista, es que f sea continua en S. Además, con la condición impuesta a la funciones <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">de que sean lisas, también es posible demostrar que la integral triple puede evaluarse mediante la integral iterada
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Forme la suma **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Así como la integral doble puede interpretarse como la medida del área de una región plana cuando f(x,y) = 1 en R, la integral triple puede interpretarse como la medida del volumen de una región tridimensional. Si f(x,y,z) = 1 en S, entonces se transforma en: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De modo que la integral triple es la medida del volumen de la región S.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro, el plano x+z+y=8 y el plano xy.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">EJEMPLO: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El sólido se mustra en la figura. Los límites de z para la integral iterada son de 0 a 8 (y-z). Los límites de y se obtienen de la frontera de la región del plano xy, la cual es la circunferencia.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">SOLUCIÓN: **





<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">**INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">//**PARTICIÓN CILÍNDRICA**// <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si una región S de R3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">tiene un eje de simetría, las integrales triples en S son más fácil de evaluar si se emplean coordenadas cilíndricas. Si la región es simetrica con respecto a un punto, entonces conviene elegir el punto como origen y emplear coordenadas esféricas. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Los elementos de la partición construida se encuentra completamente en S. A esta partición se le denomina partición cilíndrica. La medida de la longitud de la diagonal más grande de todas las subregiones es la norma de la partición. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean n el número de subregiones de la partición y sean <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">Δ**i**V <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">unidades cúbicas el volumen de la i-ésima subregión. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El área de la base de la i-ésima subregión es <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Si la norma de tiende a cero, se puede demostrar, con ciertas condiciones sobre S, que el límite de esta suma existe. Este límite se denomina integral triple en coordenadas cilíndricas de la función s en S, y se escribe

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De modo que pueda evaluarse una integral triple por medio de una integral iterada. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Existen otras cinco integrales iteradas que pueden emplearse para evaluar la integral triple ya que se tiene seis permutaciones posibles de las tres variables. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las integrales triples y las coordenadas cilíndricas son útiles especialmente cuando se calcula el momento de inercia de un sólido con respecto al eje z debido a que la distancia desde el eje z a un punto del sólido esta determinada por la coordenada r.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**EJEMPLO:** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Un sólido homogéneo tiene la forma de un cilindro circular recto cuyo radio de la base mide 2m y cuya altura es de 4m. Calcule el momento de inercia del sólido con respecto a su eje. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**SOLUCIÓN:**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Elija los planos coordenados de modo que el plano xy coincida con la base del sólido y el eje z sea el eje del sólido. La figura muestra la porción del sólido en el primer octante junto con la i-ésima subregión de la partición cilíndrica. Al emplear coordenadas cilíndricas y tomar el punto <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 11pt;">( <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">ϴi, **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">Ø **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">i, <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">pi <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> de la i-ésima subregión con k kilogramo-metro cuadrado es el momento de inercia del sólido con respecto al eje z, entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se tiene seis órdenes posibles de integración. En la figura se muestra el orden <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">(dz, dr, d <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 9pt;">ϴ) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">. Al emplear este orden se tiene: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En la primera integración se suman los bloques desde z= 0 hasta z= 4, por lo que los bloques se transforman en una columna mostrada en la figura. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En la segunda integración se suman las columnas desde r=0 hasta r=2, de modo que las columnas se transforman en una rebanada del cilindro en forma de cuña, también mostrada en la figura. En la tercera integración se gira la cuña desde <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">ϴ=0 hasta ϴ= π/2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, esto hace que la cuña se desplace por toda la región tridimensional del primer octante. Después se multiplica por 4 para obtener el volumen completo. Al realizar la integración se obtiene <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**EJEMPLO:** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Determine el centro de masa de una semiesfera solida de radio a metros de radio si la densidad voluminica en cualquier punto delo solido es proporcional a la distancia del punto al eje x, y se mide en kilogramos por metro cubico.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**SOLUCION:** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Conclusión: el centro de masa se encuentra sobre el eje del sólido a una distancia de 16 a/15metros sobre el plano de la base.

//**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> PARTICIÓN ESFÉRICA **// <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una participación esférica de la región tridimensional S se forma al trazar planos que contengan su vétice en el origen y el eje z, y conos circulares que tengan su vértice con el origen y el eje z como. La figura 6 muestra una subregión típica de la partición. Si <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 16pt;">Δ**i**V <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">unidades cúbicas es el volumen de la esima subregión, y es un punto <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 11pt;">( <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">ϴi, **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">Ø **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">i, <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">pi <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">en ella, puede obtenerse una aproximación de al considerar la región como si fuese un paralelepípedo rectangular y tomando el producto de las medidas de las tres dimensiones. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Estas medidas son: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> En consecuencia: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> La integral triple en coordenadas esféricas de una función en esta definida por: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> La integral triple puede evaluarse mediante una integral iterada. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> **EJEMPLO**: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un sólido homogéneo está limitado superiormente por la superficie p=a e inferiormente por el cono <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">ϴ= <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 14pt;">a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, donde 0 < α < 1/2 π. C <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">alcule el momento de inercia del solido con respeto al eje Z. La densidad volumínica en cualquier punto del solido es K kilogramo por cúbico.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**SOLUCIÓN:** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En la figura se muestra el sólido. Considere una partición esférica y sea <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 11pt;">( <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">ϴi, **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">Ø **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">i, <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">pi <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> un punto de la i-esima subregión. La medida de la distancia del punto <span style="font-family: Calibri,sans-serif; font-size: 11pt;">( <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">ϴi, **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">Ø **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">i, <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">pi <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 11pt;">) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">al eje z es <span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">P1 Sen **<span style="color: #252525; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 10.5pt;">Ø1 **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">. En consecuencia si kilogramo-metro cuadrado es el momento de inercia del solido con respeto al eje z, entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Fubini afirma que si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral múltiple dará el mismo resultado que la integral iterada
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En particular, esto se producirá si |f(x, y)| es una función acotada y A y B son conjuntos acotados .Si la integral no es absolutamente convergente, se debe tener cuidado de no confundir los conceptos de integral múltiple y reiterado integral, sobre todo desde la misma notación que se utiliza a menudo para ambos conceptos. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La notación <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 15.555556297302246px;">significa, en algunos casos, un reiterado integral en lugar de una integral doble verdad.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En un reiterado integral, el exterior integral <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">es la integral con respecto ax de la siguiente función de x: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una integral doble, por otra parte, se define con respecto a la zona en el plano xy. Si la integral doble existe, entonces es igual a cada una de las dos integrales iteradas (ya sea "dy" o "dx dy") y con frecuencia se calcula mediante el cálculo de cualquiera de las integrales iteradas. Pero a veces las dos integrales iteradas existen cuando la integral doble no, y en algunos casos, las dos integrales iteradas son números diferentes, es decir, uno tiene <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">