Álgebra+Lineal





La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando [|Hermann Grassmann] publicó su libro Die Lineale Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos importantes como los vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial, por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.

Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial.

Las operaciones básicas entre los vectores (Condiciones de linealidad) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.

•**Suma de vectores** DefiniciónLa suma de los vectores A=(a1,a2) y B=(b1,b2) es el vector A+B definido por A + B = (a1+b1,a2+b2)

•**Producto por escalar** DefiniciónSi c es un escalar y A es el vector (a1,a2), entonces el producto de c y A, denotado por cA, es el vector definido por: cA=c(a1,a2) cA= (ca1,ca2) La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si es menor de 0). Las funciones de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con las operaciones básicas para todo par de vectores y todo escalar. Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio que son las matrices de números reales de tamaño. El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**CONTEXTO GENERAL** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares) y vectores que satisfacen ciertas propiedades: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si A,B y C son tres vectores cualesquiera de V2, y c y d son dos escalares cualesquiera, entonces la adición vectorial y la multiplicación por un escalar satisfacen las siguientes propiedades: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">• A+B=B+A (ley conmutativa) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">•A+(B+C)=(A+B)+C (ley asociativa) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">•Existe un vector 0 en V2 para el cual A+0=A (existencia del identico aditivo) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">•Existe un vector -A en V2 tal que A+(-A)=0 (existencia del inverso aditivo y negativo) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">•(cd)A=c(dA) (ley asociativa) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">•c(A+B)=cA+cB (ley distributiva) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">•(c+d)A=cA+dA (ley distributiva) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">•1(A)=A (existencia del idéntico multiplicativo escalar) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad.



//Concepto// <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz fila**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz fila está constituida por una sola fila. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A=( 2 3 4 )
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz columna**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La matriz columna tiene una sola columna <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz rectangular**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz cuadrada**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz nulo**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En una matriz nula todos los elementos son ceros.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz triangular superior**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz triangular inferior**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden; text-align: justify;">


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz diagonal**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 0px; overflow: hidden; text-align: justify;">
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz escalar**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz identidad o unidad**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz transpuesta**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(At)t = A ; *La matriz transpuesta (At)t de la matriz transpuesta (At) es igual a la matriz A* <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(A + B)t = At + Bt <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(α ·A)t = α· At <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(A · B)t = Bt · At

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz regular**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz singular**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz singular no tiene matriz inversa.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz idempotente**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz, A, es idempotente si: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A^2 = A ; Si la matriz resultante de A*A es igual a la matriz A entonces se trata de una matriz idempotente.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz involutiva**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz, A, es involutiva si: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A^2 = I ; Si la matriz resultante de A*A=A^2 es igual a la matriz Identidad, se trata de la matriz involutiva.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz simétrica**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A = At ; La matriz A debe ser igual a la matriz transpuesta de A para que sea simétrica.
 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Matriz <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 23.399999618530273px;">anti-simétrica <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> o hemisimétrica **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A = -At ; *La matriz A debe ser igual a la matriz transpuesta de A negativa *
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Matriz ortogonal**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una matriz es ortogonal si verifica que: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A·At = I ; Si la matriz A por la matriz transpuesta de A es igual a la matriz inversa entonces queda verificado que se trata de una matriz ortogonal.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**•SUMA DE MATRICES** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**•Propiedades de la suma de matrices**// <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Interna:La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A + (B + C) = (A + B) + C
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Asociativa:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A + 0 = A
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Elemento neutro:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Elemento neutro:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A + (-A) = O

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Conmutativa:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A + B = B + A

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**•Producto de un número real por una matriz**//

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dada una matriz A = (aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">k · A=(k aij) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

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<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Propiedades** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a · (b · A) = (a · b) · A ; A Mmxn, a, b <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a · (A + B) = a · A + a ; BA,B Mmxn, a <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(a + b) · A = a · A + b ; A A Mmxn , a, b <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1 · A = A ; A Mmxn+

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**•PRODUCTO DE MATRICES** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Mm x n x Mn x p = M m x p

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.



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<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Propiedades del producto de matrices**
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**Asociativa:**//

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A * (B * C) = (A * B) * C


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**Elemento neutro:**//

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A * I = A <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**No es conmutativa por lo general:**//

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A * B ≠ B * A

__ *Nota: Existen matrices en las cuales el producto A*B si es igual al producto de B*A. __
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**Distributiva del producto respecto de la suma:**//

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A · (B + C) = A · B + A · C


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">//**Matriz inversa:**//

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A · A-1 = A-1 · A = I <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Cálculo por el método de Gauss <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1) Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La ampliamos con la matriz identidad de orden 3 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2) Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F2 - F1 ; se resta la fila dos de la fila uno.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F3 + F2 ; sumamos la fila tres con la fila dos.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F2 - F3 ; restamos la fila dos de la fila tres. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F1 + F2 ; sumamos la fila uno con la fila dos. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La matriz inversa es:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

media type="youtube" key="kYkwPFSuGQo" width="425" height="350" align="center"

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">RANGO DE UNA MATRIZEs el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Cálculo por el método de Gauss <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Podemos descartar una línea si:


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Todos sus coeficientes son ceros.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Hay dos líneas iguales.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una línea es proporcional a otra.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una línea es combinación lineal de otras.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F3 = 2F1; fila tres es igual a dos veces la fila uno. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F4 es nula; la fila cuatro es nula. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F5 = 2F2 + F1; la fila cinco es igual a la suma de la fila uno más dos veces la fila dos. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">r(A) = 2; por lo tanto el rango de la matriz B es igual a 2.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F2 = F2 - 3F1; Fila dos es igual a la fila dos menos tres veces la fila uno. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">F3= F3 - 2F1; Fila tres es igual a la fila tres menos dos veces la fila uno. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo tanto r(A) = 3; El rango de la matriz A es de tres.

media type="youtube" key="_Q48YyVkoNw" width="560" height="315" align="center"

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Cálculo del rango de una matriz por determinantes.Si tenemos la siguiente matriz B, entonces:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Comprobamos si tiene rango mayor o igual que 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">|2|=2≠0 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Tendrá rango mayor o igual que 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Tendrá rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Como todos los determinantes de las submatrices son nulos tiene rango menor que 3, por tanto r(B)= 2.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ..., Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ..., a1n y el término independiente C1, son constantes reales.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SISTEMA DE ECUACIONES <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En lo sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A X = C <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Entonces la matriz ampliada será:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONESEs un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">TEOREMAS SOBRE RANGOS

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En álgebra se demuestra que:


 * 1) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1. Para cualquier sistema, r(A) <= r(A, C)
 * 2) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2. Si r(A) < r(A, C) el sistema es inconsistente
 * 3) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3. Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es consistente

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Naturalmente, ninguna técnica práctica puede ser infinita. Lo que queremos decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de operaciones aritméticas.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por otra parte, un método indirecto requerirá en principio un número infinito de operaciones aritméticas para producir una solución exacta.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dicho de otra manera, un método indirecto tiene un error por truncamiento mientras que un método directo no lo tiene.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más cuidadosamente esta cuestión. En un sistema grande, mal comportado, los errores por redondeo de un método directo puede hacer que la "solución" carezca de sentido. A pesar de su error teórico por truncamiento, un método indirecto puede ser mucho más deseable porque en él los errores por redondeo no se acumulan.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación. Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra anteriormente a un sistema triangular equivalente como:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en esa ecuación para obtener:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la segunda ecuación (2) y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la tercera ecuación (2), y la ecuación resultante se resta de la misma para eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas las ecuaciones del conjunto excepto la primera, de manera que el conjunto adopta la forma:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que la siguen se denomina Ecuación Pivote.En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos previos).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">4. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación (8) se convierte en la ecuación pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esta reducción nos conduce a: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(9)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A continuación se utiliza la tercer ecuación (9) como ecuación pivote, y se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (9). Este procedimiento, utilizando diferentes ecuaciones pivote, se continúa hasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ecuación. (6).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">5. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn (ver ec. 6). Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de Xn-1, que a su vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor Xn-2 y así sucesivamente. Este es el procedimiento de sustitución inversa al que nos referimos previamente.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para ilustrar el método con un conjunto numérico, apliquemos estos procedimientos a la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X1 + 4 X2 + X3 = 7

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X1 + 6 X2 - X3 = 13 (10) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2 X1 - X2 + 2 X3 = 5

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Utilizando como ecuación pivote la primera ecuación (el coeficiente pivote es unitario), obtenemos:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X1 + 4 X2 + X3 = 7 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2 X2 - 2 X3 = 6 (11) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">9 X2 + (0) X3 = -9

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular de ecuaciones:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X1 + 4 X2 + X3 = 7

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2 X2 - 2 X3 = 6 (12) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">- 9 X3 = 18

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Finalmente mediante sustitución inversa, comenzando con la última de las ecuaciones. (12) se obtienen los siguientes valores:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X3 = -2

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X2 = 1 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X1 = 5


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">MÉTODO DE GAUSS - JORDAN

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El tercer renglón se normaliza dividiéndolo entre 10.010:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">INVERSIÓN DE MATRICESSea A una matriz cuadrada no singular, es decir, que su determinante sea diferente de cero lAl ≠ 0. Por definición de matriz inversa, se tiene que A -1 es la inversa de A si:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A * A -1 = I (13)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Haciendo X = A -1 y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A X = I (14) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Puede considerarse que esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones simultáneas, en donde no hay un solo vector de términos independientes sino n, los n vectores básicos que forman la matriz unitaria I. Además, no existe un solo vector de incógnitas, sino n, los que corresponden a cada columna de la matriz unitaria.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo anterior, es posible determinar la inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan de eliminación completa. Para lograrlo, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz ampliada (I, A -1) con lo que se tendrá la inversa buscada.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">EJEMPLO <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Invertir la matriz



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo tanto, la inversa es:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X = A -1 C

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Donde C es el vector de términos independientes. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">DETERMINANTES

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número que se obtiene operando de cierta forma con los elementos de la matiz. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se define determinante de una matriz de orden 2 como el número obtenido de la siguiente manera.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">det(A) = |A| = a11.a22 - a12.a21

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se define determinante de una matriz de orden 3 como el numero obtenido de la siguiente manera

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">det(A) = |A| = a1.a22.a33 + a21.a32.a13 + a12.a23.a31 - a13.a22.a31 - a11.a23.a32 - a21.a12.a33

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Regla de Sarrus:Es una regla mnemotécnica que permite obtener de manera sencilla el determinante de una matriz.

media type="youtube" key="XQ0meBmY8gQ" width="425" height="350" align="center"

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2) Si una matriz tiene una línea de ceros su determinante es 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3) Si permutamos dos líneas de una matriz su determinante cambia de signo.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">4) Si una matriz tiene 2 líneas iguales, su determinante es 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">5) Si multiplicamos cada elemento de una línea de una matriz por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese número.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">6) Si una matriz tiene dos líneas proporcionales su determinante es 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">7) Sean A, B y C 3 matrices cuadradas iguales excepto en una línea, de tal forma que la línea distinta en C sea la suma de sus correspondientes en A y B. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">|C| = |A| + |B|

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">8) Si una línea de una matriz le sumamos otra línea multiplicada por un número, el determinante de la nueva matriz es igual a la primera.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">9) Si una matriz cuadrada tiene una línea que es combinación lineal de las restantes, su determinante es 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">10) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">11) Si los elementos de una línea se multiplican por los adjuntos de otra paralela y se suman, el resultado es 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">12) Si los elementos de una línea se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados se obtiene el valor del determinante de la matriz.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esta última propiedad proporciona un procedimiento para obtener el desarrollo de determinantes de cualquier orden.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se llama submatriz de una matriz Aij a cualquier matriz que se obtiene suprimiendo cierto número de filas y cierto número de columnas de la misma matriz A.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se llama menor de orden n al determinante de una submatriz cuadrada de orden n.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se llama submatriz asociada a un elemento Aij a la submatriz que resulta de suprimir la fila i y la columna j.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se llama menor complementario del elemento Aij al determinante de una submatriz cuadrada asociada al elemento Aij.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se llama adjunto de una elemento al menor complementario de dicho elemento afectado del signo + o - según sea par o impar la suma de los subi­ndices i + j. se representa por Aij.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">De acuerdo con estas definiciones podemos anunciar las siguientes propiedades de los determinantes ( 11 y 12 ya puestas arriba ).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">CÁLCULO DE UNA MATRIZ INVERSA <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dada una matriz A se llama adjunta de A ( adjA) a la matriz que resulta de sustituir cada elemento de A por su correspondiente adjunto. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A tenga inversa, es que su determinante sea distinto de 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Existe A-1 ó |A| desigual a 0 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A-1 = (adj A)t/|A|

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR DETERMINANTES
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SISTEMA DE CRAMER

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Todos los sistemas de Cramer son compatibles y además el valor de cada incógnita Xi viene dado por la expresión: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">X = |Ai| / |A|

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Donde A es la matriz de coeficientes y Ai la matriz que resulta de sustituir en la matriz A la columna de coeficientes Xi por la columna de los términos independientes.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a11X1 + a12X2 + a13X3 = C1 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a21X1 + a22X2 + a23X3 = C2 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a31X1 + a32X2 + a33X3 = C3

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">AX = C ó X = A-1C

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">TEOREMA DE ROUCHÃ FROBENIUSLa condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible es que el rango de una matriz de coeficientes sea igual que el rango de una matriz ampliada.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sist. Compatible ó rgA = rgA*

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SISTEMAS HOMOGENEOS <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneos si todos los términos independientes son iguales a 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Estos sistemas siempre admiten la solución x = y = z = â€¦.esta es la llamada solución trivial.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Teorema: la condición necesaria y suficiente para que un sistema homogóneo tenga solución distinta de la trivial es que el rango de la matriz de coeficientes sea menor que el numero de incógnitas.



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En matemáticas, un vector de un [|espacio euclídeo] o espacio vectorial real de dimensión n es un conjunto ordenado de **n** números reales‍‍‍‍‍‍ <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Definición <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Así, un vector V perteneciente a un espacio se representa como:, donde.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como [|vector geométrico] (usando frecuentemente el espacio tridimensional ó bidimensional.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un vector fijo del plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir dos características:
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">dirección: la orientación de la recta
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">módulo: la longitud del segmento

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB, que indican su origen y extremo respectivamente.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Operaciones y propiedades:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Suma y resta de vectores <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Suma de Vectores <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La suma es una [|operación interna] <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Producto escalar de vectores

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El producto escalar de vectores es una [|operación externa]. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dados dos vectores.y

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se representa mediante un punto y se define como:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">También lo podemos expresar a partir de sus coordenadas como:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Producto de un escalar por un vector <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El producto escalar por un vector es una operación externa.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El producto de unnúmero escalar cualquiera por un vector se define como

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Fundamentales

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una vez definidas las principales, se muestran las propiedades fundamentales. Así, para todo <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a, b, c, u, v, perteneciente a

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">, y para todo perteneciente a, se tienen las siguientes propiedades:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Asociativa:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Conmutativa:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Elemento opuesto:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Elemento neutro:

media type="youtube" key="eubabOceV40" width="560" height="315" align="center"

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ESPACIO VECTORIALSea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">.Los vectores

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">{v1, ..., vn} ⊆ V, generan V <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">si y sólo sí:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">{v1, ..., vn}i = V

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En matemáticas un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío con una operación interna suma de vectores y una operación externa producto, entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

media type="youtube" key="L9K2YzLlNYQ" width="560" height="315" align="center"

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 19.2px; text-align: justify;">**Subespacio Vectorial**

En [|álgebra lineal], un subespacio vectorial es el subconjunto de un [|espacio vectorial], que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Definición de subespacio vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre K y U elementos de V no vacio, U es un subespacio vectorial de V si:




 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Independencia lineal

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de es decir:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Base de un espacio vectorial

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada [|combinación lineal]) de elementos de la base.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de [|independencia lineal]. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.

media type="facebooklike" key="http%3A%2F%2Fanalisisfigempa.wikispaces.com%2F%C3%81lgebra%20Lineal" width="450" height="80" align="right" <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 12pt;">Para regresar a indice click aqui home