Vectores

__**ÁLGEBRA VECTORIAL**__
 * VECTORES DE ℝ n **


 * Definición 1 **

ℝ n  ={(x 1 , x 2 ,...,x n  ) / (x 1 , x 2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...,x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) ∈ ℝ } (n-uplas de los reales)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definimos en este conjunto 2 operaciones:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Suma:** Para cualesquiera 2 elementos, ( x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...,x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">), (y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...,y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> (x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...,x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ) + (y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) = (x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Producto por un escalar:** (.ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ) λ.(x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) = (λx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, λx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., λx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El conjunto ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial y por ello sus elementos pueden ser llamados vectores.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">{ (x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) : x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">i <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∈ R, ∀ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">=1, 2, ... n )}


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definición 2 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El vector V ∈ ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> se dice que es combinación lineal de los vectores v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...., v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si existen escalares (números reales) c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...., c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">tal que v = c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">+c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">+......+c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> el vector (5,13,2) es combinación lineal de los vectores (2,1,2) y (1,4,0) pues existen los dos números: 1 y 3 tales que (5,13,2) =1.(2,1,2) +3.(1,4,0), por lo tanto el primer vector es combinación lineal de los otros dos.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definición 3 **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Los vectores v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...., v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ∈ ℝ n se dicen linealmente independientes (l.i.) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(o bien, que la familia de vectores {v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...., v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">} es libre)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si cualquier combinación lineal de ellos igualada a “0” obliga a que todos los escalares sean cero, es decir Si c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> +......+ c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">o (vector nulo de ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) ⇒ c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">=.....= c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">=0.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si la familia de vectores no es libre, se dice que los vectores v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...., v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> son linealmente dependientes o que la familia {v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,...., v <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">r <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> } es ligada.

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ESPACIO VECTORIAL **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Espacio euclidiano o Espacio vectorial: Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, tambien conocido por espacio n-dimencional y de denota por R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> este es una sucesión de n números reales ejemplo (a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) donde los vectores R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> se clasifican así: R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> espacio unidimensional, línea recta real. R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> espacio bidimensional, pares ordenados. R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> espacio tridimensional, terna ordenadas. R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> espacio n-dimencional, n-adas ordenadas. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Operaciones Basicas con Vectores en R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 :**


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. Suma de vectores y multiplicación por un escalar: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">X + Y = (x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) + (y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) = (y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) + (x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) y la multiplicación por un escalar se define H(x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) = (Hx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, Hx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las propiedades que cumple la suma de vectores son las misma que cumplían las estructuras algebraica de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La de cierre bajo la multiplicación Hx,


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La asociativa (HI)x = H(Ix), y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. Operaciones Básicas con Vectores en R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las operaciones básicas con vectores en R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-esimos vectores ejemplo:
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para suma de vectores

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">X + Y = (x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, ..., x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) + (y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, ... , y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">).


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para multiplicación de un vector por un escalar

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">H(x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, ... , x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) = (Hx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> , Hx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, ... , Hx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">).

media type="youtube" key="q6IQJA8qvok" width="560" height="315" align="center"


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">0 = (0, 0, 0, ..., 0 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0,

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Espacios Vectoriales: **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**1.** Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n o R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**2.** Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**3.** Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación ,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**4.** Cuerpo:
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sub cuerpo: Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ESPACIO VECTORIAL EN <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 16px;">ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El conjunto <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 16px;">ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> es el producto cartesiano de <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 16px;">ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">consigo mismo n veces; es decir que:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 16px; text-align: center;"><span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 16px; text-align: center;">ℝ<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n = { (x<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1, x<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 ,..., x<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n ) : x<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">i ∈ ℝ, ∀ i = 1, 2, ... n ) }

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">Observación si n = 1, R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; line-height: 1.5; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;"> y en ese caso, para todo número real a, (a) se escribe a.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n = 2 R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> =R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> y todo elemento de R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> es un par ordenado de los números reales (x,y); es decir que:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> = { (x, y) : x, y ∈ ℝ }


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">OPERACIONES EN EL CONJUNTO R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En el conjunto R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> definiremos dos operaciones entre sus elementos, las mismas que cumplen ciertas propiedades que hacen que tal conjunto tenga una estructura algebraica llamada espacio vectorial y por lo tanto podremos referirnos a R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> no solamente como el conjunto R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> sino como el espacio vectorial R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Adicción: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean X = ( x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) ∈ R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> y Y= ( y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,... y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) ∈ R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, se define la suma de A y B de la siguiente manera :

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,... x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) + (y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,... y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) = (x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,... x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">)  <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">Geométricamente, la suma de vectores viene descrita por la siguiente figura:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicación por un número real: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean A = ( a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; vertical-align: sub;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ) Є R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> y λЄ R. definimos el producto del número real λ por el elemento A de Rn que lo notaremos λ. A o simplemente λ A de la manera siguiente:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aλ = ( a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">λ, a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">λ,..., a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">λ ) Є R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">PROPIEDADES: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean X = ( x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,..., x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) ∈ R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">; Y= ( y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,... y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">) ∈ R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">; Z= ( z <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, z <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">,... z <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ) ∈ R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">elementos cualesquiera del conjunto de números reales. Se verifica que:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**1.** Ley conmutativa de la suma de vectores.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x + y = y + x

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**2.** Ley asociativa de la suma de vectores

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">( x + y ) + z = x + ( y + z )

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**3.** Existe un vector O

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">x + o = o + x, donde o = ( 0 , 0 , 0 , 0 , , , 0 )

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**4.** Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo para todo X = ( x<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1, x<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 ,..., x<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n ) ∈ R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n existe un elemento Y = ( y<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 , y<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 ,... y<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">n ) ∈ R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n , tal que x + y = o.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se puede verificar que X= ( -x1, -x2,... -xn ) ∈ Rn <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**5.** El producto es distributivo respecto a la suma en reales.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">α ( X + Y ) = αX + αY

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**6.** El producto posee asociatividad mixta.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">( αβ ) x = α ( β x )

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**7.** El producto es distributivo respecto a la suma en K.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">( α + β ) x = αx + βx

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**8.** 1 x = x ( 1 se conoce como neutro multiplicativo)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1 X = X

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**9.** La suma de vectores es ley de composición interna.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para todo x Є R y para todo y Є R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> x + y Є R

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**10.** El producto es ley de composición externa.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para todo x Є R y para todo a Є k x.a Є R


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">SUBESPACIOS VECTORIALES **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un subconjunto no vacio W de Rn se dice que es un subespacio de Rn si W con las operaciones de suma y producto por un número real es un espacio vectorial. Para verificar que W es un subespacio vectorial de Rn sólo es suficiente verificar que se satisfacen las dos leyes de clausura. Es decir: Si //v//, w Є W entonces //v + w// Є W y si λ Є ℝ entonces λ//w// Є W, cualquiera que sean //v, w// Є W y cualquiera que sea λ Є ℝ.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> Subconjuntos de ℝ<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">W = { ( x, y, z ); x - y + 3z = 0 } <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">Z = { ( x, y, z ); y = ax, z = bx, x Є ℝ, con a y b fijos }

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Son ejemplos de subespacios vectoriales de ℝ <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio

 * 1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si x Є H y y Є H, entonces x + y Є H
 * 2) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si x Є H, entonces αx Є H para todo escalar α.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que x + y y αx están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La anterior prueba contiene un hecho importante que merece la pena ser mencionado:Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.Esto, con frecuencia, facilitará ver si un subconjunto de V en particular no, es un subespacio de V. Es decir, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio. Observe que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V.

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 1 **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea U el subconjunto de R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> que consta de todos los vectores de la forma (a, 0, 0) (con ceros en el segundo y tercer componentes). Demuestre que U es un subespacio de R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean (a, 0, 0) y (b, 0, 0) dos elementos de U y sea k un escalar. Se tiene

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">(a, 0, 0) + (b, 0, 0) = (a + b, 0) Є U <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">k(a, 0, 0) = (ka, 0,0 ) Є U

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La suma y el producto de un escalar pertenecen a U. Por lo tanto, U es un subespacio de R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Desde el punto de vista geométrico, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el ejercicio se observa que la suma de los vectores se encuentra en el eje x y también la multiplicación por un escalar de cualquiera de estos vectores. **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 2 ** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea W el conjunto de vectores de la forma (a, a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, b). Demuestre que W no es un subespacio de R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">W consta de todos los elementos de R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> en los que la segunda componente es el cuadrado de la primera. Así, por ejemplo, el vector (2, 4, 3) se encuentra en W, mientras que el vector (2, 5, 3) no. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean (a, a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, b) y (c, c <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, d) elementos de W. Se obtiene

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">(a, a2, b) + (c, c2, d) = (a + c,a2 + c2,b +d)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: center;">≠(a + c,)(a + c)2, b+ d)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por consiguiente, (a, a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, b) + (c, c2, d) no es un elemento de W. W no se encuentra cerrado bajo la adición. W no es un subespacio.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El subespacio trivial **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector cero nada más, es un subespacio ya que 0 + 0

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">0 y α00 para todo número real α. Esto se conoce como el subespacio trivial.Un espacio vectorial es un subespacio de sí mismo. Para cada espacio vectorial V, V es un subespacio de sí mismo.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Los vectores generan el espacio vectorial, si todo elemento se puede expresar como combinación lineal de. Es decir siu para todoexisten escalares tales que

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a)A1 = ( 1, 3 ), A2 = ( 4 , 1 ) generan R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solucion: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Veamos si cualquier vector A= (x,y) de R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> se puede expresar como combinación lineal de A <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Y A <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Así:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A = α A <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> + αA <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> à (x,y) = α ( 1, 3 ) + β ( 4 , 1 ) à x = α + 4β ,y = 3α + 4β

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Resolviendo el sistema para α y β se encuentra que α = 4y – x /11, β = 3 x - y /11

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Como α y β existen cualesquiera que sean los valores de x e y, se concluye que todo vector de se puede expresar como combinación lineal de A<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1 Y A<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2. Es decir <A<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">1, A<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 > R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 o A<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: sub;">2 = R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">b) En R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">2 ,¿Cuál es el subespacio generado por el vector v = ( 1, 3 ) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">< ( 1 , 3 ) > <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;">{wɛ:R <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; line-height: 1.5; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; line-height: 1.5;"> w = λv, λɛ R} <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Como la ecuación vectorial w = λv, con λ ɛ R es equivalente a ( x , y ) = λ ( 1 , 3 ), se sigue que x = λ y y = 3λ .Eliminando el parámetro λ obtenemos que y = 3x,que es una recta que pasa por el origen.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE SUBESPACIO <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones ( la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S y la ley de composición externa (* ) con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores.un espacio vectorial también llamado espacio muestral es el que denomina el falso y el verdadero. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si :


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">S no es un conjunto vacío.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">S es igual o está incluído en V.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La suma es ley de composicón interna.
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El producto es ley de composición externa.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Consecuencias inmediatas.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1. El conjunto { 0 } es un subespacio de Rn.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2. Todo subespacio de Rn contiene al elemento 0.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3. Si B = (v1,….vk) es un conjunto no vacío de vectores de Rn, entonces la familia L(v1,….vk) formada por todas las combinaciones lineales de elementos de B es un subespacio vectorial generado por B.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">4. Todo subespacio admite una base, esto es, un sistema generador formado por vectores linealmente independientes.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">5. El número de vectores de una base de un subespacio es fijo, y se llama dimensión del subespacio. Por convenio se establece que la dimensión del subespacio {0} es cero.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">6. Si S1, S2 son subespacios de Rn con S1 Ƈ S2 y dim S1 = dim S2, entonces S1 = S2.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Dados dos subespacios, S1, S2 con bases B1 y B2 respectivamente, la suma de S1 y S2 es el subespacio generado por B1 U B2.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">S1 + S2 = L(B1 U B2).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Nota: El subespacio vectorial que contiene únicamente el vector nulo se llama subespacio trivial.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Los vectores generan el espacio vectorial, si todo elemento se puede expresar como combinación lineal de. Es decir siu para todoexisten escalares tales que

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">a)A1 = ( 1, 3 ), A2 = ( 4 , 1 ) generanSolucion:Veamos si cualquier vector A= (x,y) de se puede expresar como combinación lineal de A1 Y A2.Así:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A = α A1 + αA2 à (x,y) = α ( 1, 3 ) + β ( 4 , 1 ) à x = α + 4β ,y = 3α + 4β

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Resolviendo el sistema para α y β se encuentra que

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">α = 4y – x /11, β = 3 x - y /11

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Como α y β existen cualesquiera que sean los valores de x e y, se concluye que todo vector de se puede expresar como combinación lineal de A1 Y A2. Es decir <A1, A2 >o A2 =

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">b) En,¿Cuál es el subespacio generado por el vector v = ( 1, 3 )

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">< ( 1, 3 ) >{wɛ: w = λv, λɛ R}

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Como la ecuación vectorial w = λv, con λ ɛ R es equivalente a ( x, y ) = λ ( 1 , 3 ), se sigue que x = λ y y = 3λ .Eliminando el parámetro λ obtenemos que y = 3x,que es una recta que pasa por el origen.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea U el subconjunto de R3 que consta de todos los vectores de la forma (a, 0, 0) (con ceros en el segundo y tercer componentes). Demuestre que U es un subespacio de R3.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sean (a, 0, 0) y (b, 0, 0) dos elementos de U y sea k un escalar. Se tiene

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La suma y el producto de un escalar pertenecen a U. Por lo tanto, U es un subespacio deR3.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Desde el punto de vista geométrico, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el ejex. Observe que la suma de los vectores se encuentra en el eje x y también la multiplicación por un escalar de cualquiera de estos vectores.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea W el conjunto de vectores de la forma (a, a2, b). Demuestre que W no es un subespacio de R3.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">W consta de todos los elementos de R3 en los que la segunda componente es el cuadrado de la primera. Así, por ejemplo, el vector (2, 4, 3) se encuentra en W, mientras que el vector (2, 5, 3) no.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sean (a, a2, b) y (c, c2, d) elementos de W. Se obtiene

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por consiguiente, (a, a2, b) + (c, c2, d) no es un elemento de W. W no se encuentra cerrado bajo la adición. W no es un subespacio.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**BASE** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un conjunto finito de vectores (v1, v2, …, vn) es una base para un espacio vectorial V si
 * 1) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">{ v1, v2, …, vn } es linealmente independiente.
 * 2) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">{ v1, v2, …, vn } genera V.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**DEFINICIÓN**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El conjunto de n vectores e que se define como:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">es una base para R<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; vertical-align: super;">n. Esta base recibe el nombre de base canónica para Rn. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Ejemplo:** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Demuestre que el conjunto {(1, 0, –1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)} es una base para R3. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea (x1, x2, x3) un elemento cualquiera de R3, se buscan escalares a1, a2 y a3, tales que <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(x1, x2, x3) = a1(1, 0, –1) + a2(1, 1, 1) + a3(1, 2, 4) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esta igualdad lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * a1 + a2 + a3 = x1
 * a2 + 2a3 = x2
 * –a1 + a2 + 4a3 = x3

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Este sistema de ecuaciones tiene la solución

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">
 * a1= 2x1 – 3x2 + x3,
 * a2= –2x1 + 5x2 – 2x3 ,
 * a3= x1 – 2x2 + x3

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Así, el conjunto genera el espacio.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ahora se demuestra que el conjunto es linealmente independiente. Considere la siguiente igualdad <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">b1(1, 0, –1) + b2(1, 1, 1) + b3(1, 2, 4) = (0, 0, 0)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Esto da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">b1 + b2 + b3 = 0 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">b2 + 2b3 = 0 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">–b1 + b2 + 4b3 = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Este sistema tiene una solución única, b1 = 0, b2 = 0 y b3 = 0. Por lo tanto, el conjunto es linealmente independiente. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se ha demostrado que el conjunto {(1, 0, –1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)} genera a R3 y es linealmente independiente. Por lo tanto, es una base para R3.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Teorema** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si {v1, v2, …, vn} es una base para V y si v Є V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2, …,cn tales que c1v1 + c2v2 + … + cnvn <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Teorema** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si {u1, u2, …, um} y {v1, v2, …, vn} son bases para un espacio vectorial V, entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**DIMENSIÓN** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Definición: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores, entonces la dimensión de V es n, que se denota como dim(V).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El conjunto de n vectores

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">constituye una base (la base canónica) de Rn. Por lo que la dimensión de Rn es n.Rn = n

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Note que se ha definido una base para un espacio vectorial como un conjunto finito de vectores que genera el espacio y es linealmente independiente. Dicho conjunto no existe para todos los espacios vectoriales. Cuando este conjunto finito existe, se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita. Si el conjunto no existe, se dice que el espacio vectorial es de dimensión infinita. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En Rn se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La de uso más común es la base canónica E = {e1, e2, …, en}. Estos vectores tienen dos propiedades:
 * 1) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1. ei · ej = 0 si i ≠ j
 * 2) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2. ei · ei = 1

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**DEFINICIÓN:** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Conjunto ortonormal en Rn.Se dice que un conjunto de vectores S = {u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si(1) ui · uj = 0 si i ≠ j

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">(2) ui · ui = 1

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si sólo se satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Demuestre que el conjunto {(1, 0, 0), (0,3/5, 4/5), (0,4/5, -3/5)} es un conjunto ortonormal.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Primero se demuestra que cada para de vectores del conjunto es ortogonal.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(1, 0, 0). ( 0, 3/5, 4/5) = 0; (1, 0, 0) . (0, 4/5, -3/5) = 0; (0. 3/5, 4/5) . (0, 4/5, -3/5) = 0 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Así, los vectores son mutuamente ortogonales. Resta mostrar que cada vector es unitario. Se tiene que

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**TEOREMA** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si S = {v1, v2, …, vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**TRANSFORMACIÓN LINEAL** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Antes de entrar a la definición de una transformación lineal se muestran el siguiente ejemplo. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Reflexión respecto al eje x.En R2 se define una función T mediante la fórmula. Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Fig.El vector (x, -y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x, y)

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Definición: Transformación lineal ** <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v Є V un vector único Tv Є W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α, T(u + v) = Tu + Tv yT(αv) = αTv

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Notas sobre la notación.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. Se escribe T:V→W para indicar que T toma el espacio vectorial V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo 1

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Una transformación lineal de R2 en R3.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea T: R2→R3 definida por

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por ejemplo. Entonces

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Pero

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Así

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">De manera similar <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Así, T es una transformación lineal.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo 2 <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Transformación de reflexión.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sea T: R2→R2 definida por

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es sencillo verificar que T es lineal. Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Los vectores son linealmente dependientes si existen escalaresno todos nulos tales que<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y X = 0
 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:
 * 1) <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Determinar si los vectores A1 = ( 1, 1, 3 ), A2 = ( 0, 0, 0 ), A3 = ( 4, 1, 0 ) son linealmente dependientes.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se tiene αA1 + βA2 + λA3 = 0 ⇔ α (1,1,3) + β (0,0,0) + λ(4,1,0) = (0,0,0)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">α + 4λ = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">α + λ = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3α = 0b

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">De donde se sigue que α = 0, λ=0 y β puede tomar cualquier valor.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Luego, existen infinitas soluciones de la forma (α,β, λ) = (0,β, 0), conβ є R. Es decir que <A1, A2, A3> = <A1, A3 >.


 * <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Los vectoresson linealmente independientes si

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La negación de dependencia lineal es la independencia lineal. De tal manera que una definición equivalente de independencia lineal es la siguiente:Los vectoresson linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

media type="youtube" key="hEwMcCd-57o" width="560" height="315" align="center"

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo:En determinar la dependencia o independencia de los vectores

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">1. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A1= A1=(1, 3,2), A2 = (1, 4,1), A3 = (1, 0,2).

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se tiene que αA1 + βA2 + γA3 = 0 ⇔ α (1, 3,2) + β (1, 4,1) + γ (1, 0,2) = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">α + β – γ = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">3α +4β = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">2α + β + 2γ = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Multiplicando por -3 a la primera ecuación y sumándola con la segunda, se tiene que <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Β = 3γ

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Multiplicando por -2 la primera ecuación y sumándola con la tercera se sigue que <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">β = 0

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">y en consecuencia <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y =0 α.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Luego los vectores A1, A2, A3, son linealmente independientes.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**COMBINACIÓN LINEAL** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Sean.Se denomina lineal de los vectores a toda expresión de la forma .Dondeson números reales cualesquiera.Escribiremos El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores es un subespacio vectorial de, el mismo que lo notaremos<A1, A2, A3, …, Ap> y que leeremos: “subespacio generado por los vectores.Es decir que:{A є: A = Σ αi Ai, con αi є Reales, ɏi = 1, 2, …, p.} = <A1, A2, A3, …, Ap>

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Ejemplo <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">1. En determinar si el vector A=(1,3) es combinación lineal de los vectores:a) A1= (1,1), A2 = (-1,3) Debemos ver si existen escaleres α y β tales que α A1 + βA2 = A. es decir tales que α (2,2) + β(-1,-1) = (1,3), de donde se obtiene el sistema1 = α - β 3 = α + 3β Cuya solución es α= 3/2, β=1/2 b) A1 = (2,2), A2 = (-1,-1) Veamos si existen escalaresα y β tales que α A1 + βA2 = A. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Es decir tale que α (2,2) + β(-1,-1) = (1,3), de donde se obtiene el sistema1= 2α – β 3 = 2α + β De dicho sistema se sigue que 1=3, lo cual es un absurdo. Consecuentemente, no existen escalares α y β tales que α A1 + βA2 = A, o lo mismo, el vector A no se puede expresar como combinación lineal de los vectores A1 y A2

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**ESPACIO VECTORIAL GENERADO** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un conjunto de n-vectores genera un espacio vectorial a partir de todas las combinaciones lineales de n-vectores.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO** <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Un uso importante del producto punto está en la determinación de las proyecciones. La proyección del vector A sobre B es el vector OC que se muestra en la figura.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Se tiene que C = λB y CA = A - λB. Por otra parte

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"><CA|B>0, ⇔ <A - λB|B> ⇔ <A|B> - λ<B|B>=

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De donde se obtiene el valor de λ:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">λ = <A|B>/<B|B>

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"><A|B>/ ||B||2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Consecuentemente la proyección del vector A sobre el vector no nulo B esta dada porProyBA

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">λB = (<A|B>/ ||B||2) B

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo:


 * 1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Hallar la proyección del vector A=(3,5) sobre el vector B=(1,2).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución.ProyBA = λB = (<A|B>/ ||B||2) B = (<(3,5)|(1,2)>/ ||(1,2)||2) (1,2) = 13/5(1,2) = (13/5, 26/5)


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">NORMA DE UN VECTOR **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientación) de la medición.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos ([|desigualdad triangular]: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado, también generalizada en la [|desigualdad de Cauchy-Schwarz]).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esto genera la siguiente definición matemática:



<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Para todo de

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">su norma ha de ser no negativa, y será cero si y sólo si es el vector cero: <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">si

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">y

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">si cumple:


 * 1) <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Para todo [[image:3.png]] de y para todo k de [[image:2.png]] se satisface que

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.
 * 1) <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Para todos [[image:3.png]] se cumple que [[image:35c69e96a5e1e7da986b170e6de2eeee.png]] ([|desigualdad triangular])

media type="youtube" key="FnZk-wXSRus" width="560" height="315" align="center"

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Dado el vector, la norma o longitud del vector x que la notaremos ||x|| esta dada por.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">En R2, ||x||=||(x,y)||= √( x2+ y2 ) y en R3, ||x||=||(x,y,z)||= √ (x2 + y2 + z2).

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">


 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Propiedades de la norma **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Un uso importante del producto punto está en la determinación de las proyecciones. La proyección del vector A sobre el vector B OC que se muestra en la figura siguiente
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO NULO **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Se tiene que C =λB y CA = A - λB. Por otra parte

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"><CA I B>

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">0 <> <A- λB l B >

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">0 <> <A l B> - λ <B l B> = 0

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">de donde se obtiene el valor de λ :

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">λ = <A l B> / <B l B> = <A l B> / llBll^2

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Consecuentemente la proyección del vector A sobre el vector no nulo B esta dada por

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Proy BA = λB = <A i B> / llBll^2. B

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">EJEMPLO:


 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Hallar la proyeccion del vector A = (3,5), sobre el vector B = (1,2)

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Solución:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Proy BA = <A l B> / llBll^2.B = <(3,5) l (1,2)> / ll(1,2)ll^2. (1,2)=13/5 (1,2)=(13/5, 26/5)

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Se nota al conjunto de todas de todas las n-uplas ordenadas de números reales

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Cada número real que conforma la n-upla se llama componentes de coordenadas de la u-upla y si estas guardan un orden se dice que xi es la i-esima coordenadas de para

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Por ejemplo:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

media type="youtube" key="m0aiAouzbRI" width="560" height="315" align="center"

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Dos vectores X, Y enson ortogonales si su producto punto es nulo; es decir,
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">VECTORES ORTOGONALES **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">si <X|Y>=0 y se nota X⊥Y

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Luego:X⊥Y ⇔ <X|Y>=0

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Teorema 1: (de Pitágoras). Sean X, Y vectores de. Entonces:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">X⊥Y⇔>= X + Y

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Definición: Un vector X es unitario si ll X + Y ll^2 = ll X ll^2 + ll Y ll^2.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Observación:Dado cualquier vector no nulo Y de; siempre es posible encontrar un vector unitario u en la misma dirección que el vector Y y ese vector es:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">u = Y / llYll

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">1.- Un vector unitario u en la dirección del vector v = ( (2) ^ 1/2, π ) es,

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">u = u / ll u ll =( (2 ^ 1/2 ) / (2 + π ^ 2 ) ^ 1/2, π / (2 + π ^ 2 ) ^ 1/2 )

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">2.- Un vector unitario u en la dirección de v= (1, 2^1/2, π)

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">v = v / ll v ll = ( 1 / ( 3 + π ^ 2 ) ^ 1/2, ( 2 ^ 1 / 2 ) / ( 3 + π ^ 2 ) ^ 1/2, π / ( 3 + π ^ 2 ) ^ 1/2 )

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">EJEMPLOS:1.- La base canónica {e1, e2, ..., en} de, donde ei = (0, 0, ..., 0, 1, 0), es una base ortonormal. Además, para todo

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Se tiene que:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">X = ( x1, x2 , x3 , ..., xn ) = ∑_( i = 1 ) ^ n xiei.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">2.- El conjunto { (1 / ( 2 ^ 1/2 ), 1 / ( 2 ^ 1/2 ) ), ( -1 / ( 2 ^ 1/2 ) ), 1 / ( 2 ^ 1/2 ) ) } es una base ortonormal de.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">3.- El conjunto { ( 1 / ( 6 ^ 1/2), 1 / ( 6 ^ 1/2), 2 / ( 6 ^ 1/2 ) ), ( 0 , 1 / ( 10 ^ 1/2 ), 3 / ( 10 ^ 1/2 ) ), ( 1 / ( 11 ^ 1/2 ), -3 / ( 11 ^ 1/2 ), 1 / ( 11 ^ 1/2 ) ) } es una base ortonormal de.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Teorema 2: Si A= {e1, e2, e3, ..., en} es una base ortonormal deentonces:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">ll a1e1 + a2e2+ a3e3, ..., anen ll^2 = (a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2+... + (an)^2,

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Teorema 3: Para todo a1, a2, a3, ..., an ∈ R.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Demostración:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">ll a1e1 + a2e2 + a3e3+ ...+anen ll ^2 = <∑_(i=1)^n aiei l ∑_(j=1)^n ajej>

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">= ∑_(i=1)^n∑_(j=1)^n aiaj

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">=∑_(i=1)^n aiai = =∑_(i=1)^n (ai)^2

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">= (a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2+... + (an)^2.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Teorema 4: Si A= {e1, e2, e3, ..., en} es una base ortonormal deentonces, para todo v ∈

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">,v= <v,e1>e1 + <v,e2>e2 + ... + <v,en>en

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Teorema 5: ll v ll^2 = <v,e1>^2 + <v,e2>^2 + ... + <v,en>^2.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Demostración: Si v= x1e1 + x2e2 + x3e3 +... + xnen, como = 0 si i≠j y =1 si i=j, es evidente que =xi y en consecuencia v=∑_(i=1)^n xiei =∑_(i=1)^n ei.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Además:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">ll v ll ^2 = = <∑_(i=1)^n xiei l v >

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">= ∑_(i=1)^n = ∑_(i=1)^n xi = ∑_(i=1)^n =∑_(i=1)^n ^2.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">A continuación probaremos que si A y B son vectores no nulos en, entonces
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Consideraremos un triangulo cualquiera, como el que se indica en el gráfico siguiente

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Se tiene que :

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Por otra parte, por el teorema del coseno :

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">De la igualdad

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Se deduce que

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Esta expresión es a menudo usada para encontrar el angulo θ entre dos vectores.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">DEFINICION:Dados dos vectores X y Y de Rn, el coseno del angulo θ que forman los dos vectores está dado por :

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">cos (θ) = <XIY> / II XII IIYII, IIXII no = 0 ^ IIYII no = 0

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">donde 0 <= θ <= 2 pi (360 grados)

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">EJEMPLO:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">El producto punto de los vectores a = (1,3,-2) y b = (-2,4,-1) dees :

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"><a I b>= 1 (-2) + 3(4) + (-2)(-1) = 12

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Usando la igualdad <a I b>= II aII IIbII cos θ = (14)^1/2. (21)1/2 cos θ

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">lo que implica que θ = 45,6 grados.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Un uso importante del producto punto es que sirve como prueba para determinar cuando dos vectores son o no ortogonales. Dos vectores son ortogonales si el angúlo entre ellos es 90 grados.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Usando este hecho y que <a I b>= II aII IIbII cos θ vemos que el producto punto de dos vectores ortogonales es cero.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Reciprocamente, la única forma para que el producto escalar sea cero es que el angulo entre los dos vectores sea 90 grados (o trivialmente si uno o lois dos vectores es el vector nulo). Por lo tanto, dos vectores no nulos tienen el producto punto nulo si y solamente si ellos son ortogonales.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Notación:1. |Los elementos, se llaman vectores, y se suelen denotar por las letras de “nuestro” alfabeto u, v, w,….. Por ejemplo Nos referimos en principio, a los números, como las componentes del vector2. Los elementos del cuerpo se llaman escalares, y se suelen denotar por las letras del afabeto griego  …. Estos son los numeros reales.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Si A es un punto de la recta y v su vector director y además P es el punto exterior, la distancia de P a r es:
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Siendo el numerador el módulo del producto vectorial.

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">EJEMPLO:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Hallar la distancia del punto P(1, 0, -2) a la recta r: (A, v), siendo el punto A(4, 2, -1) y el vector director de la recta v(0, 1, -1)i j k

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">(4-1 ,2-0, -1+2)|AP x v|= (0 1 -1) | -3i+3j+3k | =(√9+9+9 3√3d)(P, r) = |v| √(02+12+12) √2 √2 √2


 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Sea el plano π: Ax+By+Cz+D=0 y P(p1, p2, p3) es el punto exterior, la distancia de P a π es:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Ejemplo:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">Hallar la distancia del punto P(2, -3, 4) al plano π : x + 5y – 6z + 6 = 0

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">La distancia es:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">|1.2 + 5.(-3)+(-6).4 + 6|= |2 – 15 – 24 + 6|= 31 31. √62d(P, π)

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">=√(12+52+(-6)2) √(1+25+36) √62 62= √62 / 2


 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">PRODUCTO CRUZ **

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;"> <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">En adelante, abusando de la notacion, usaremos el simbolo del producto usual para la operación externa esto es:



<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyadirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%;">El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">Ejemplo: <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3) y  = (−1, 1,

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">Dados los vectores y, hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y.

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">El producto vectorial de es ortogonal a los vectores  y.

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">**Producto Mixto**

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">El producto mixto de tres vectores equivale al desarrollo de un determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">Ejemplos <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">Calcular el producto mixto de los vectores: <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 130%; text-align: justify;">

media type="youtube" key="8-kJy-ayWSQ" width="560" height="315" align="center"

<span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; text-align: justify; top: 21444px; width: 1px;">Como si “ multiplicasemos” un numero real y un vector, pero en realidad lo que hacemos con esta operación es **operación externa**, no lo olvidemo <span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; text-align: justify; text-indent: -18pt; top: 21444px; width: 1px;">4. <span style="height: 20px; left: 0px; margin-left: 366px; margin-top: 3px; position: absolute; width: 90px; z-index: 251664384;"> El vector nulo se denota por la letra griega esto