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 *  TRUCOS PARA RESOLVER INTEGRALES **

OBJETIVOS:
 * Aquí veremos sólo los casos particulares de integración y que necesitan mayor explicación.
 * Conocer las reglas de integración para casos especiales de integración.
 * Aplicar correctamente estas reglas a través de sustituciones según el caso lo a merite.

CONTENIDO:

1. Métodos de integración 1.1. Directa 1.2. Cambio de variable 1.3. Reglas de Integración 1.3.1. Regla de Barrus 1.3.2. Regla de cadena

2. Integrales por partes 2.1. Integración por partes I 2.2. Integración por partes II 2.3. Integración por partes III <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.4. Integración por partes IV

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. Integrales racionales <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.1. El denominador tiene sólo raíces reales simples <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.2. El denominador tiene sólo raíces múltiples <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.3. El denominador tiene raíces complejas simples

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4. Integrales por sustitución <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.1. Integrales por camio de variable <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.2. Cambio de variable x= a sent <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.3. ambio de variable x= a tan t <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.4. Cambio de variable x= a sec t <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.5. Integrales irracionales racionales <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.6. Integrales irracionales con distintos índices <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.7. Integrales racionales (sen x, cos x) pares <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.8. Integrales racionales (sen x, cos x) no pares

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5. Integrales trigonométricas <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.1. Potencias pares de sen x o cos x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.2. Potencias impares de sen x o cos x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.3. El exponente impar se transforma en un par y en un impar <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.4. Productos tipo sen (nx).cos(mx) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.5. Si sen x, cos x es par <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.6. Si sen x, cos x no es par


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">INTEGRALES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Primeramente debemos tener claras las reglas de derivación para lo cual tenemos la siguiente tabla de derivadas muy útil para resolver integrales:




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.Tècnicas de integraciòn: **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.1Metodo de Integración directa **

====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva. ==== <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti-derivada. ====


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcular la integral <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcular la integral

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">.Una fórmula estándar sobre derivadas establece que

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">. De este modo, la solución del problema es


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **
 * 1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/img27.gif align="middle"]]que la función [[image:http://upload.wikimedia.org/math/b/1/e/b1e6a3a2e75b9b06b2bb87293b1eaf9a.png]] esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Algunas integrales no es posible resolverlas aplicando directamente las reglas de integraciòn para lo cual es necesario hacer un cambio de variable para lo cual podemos ocupar la regla de la cadena que es la siguiente: ====

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.3 Método de integración por sustitución
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Pasos para integrar por cambio de variable



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos té rminos :



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3º Se vuelve a la variable inical:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para este método ocuparemos las siguientes reglas:

====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En cálculo integral, la regla de Barrow o segundo teorema fundamental del cálculo integral es una propiedad de las funciones continuas y que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. ==== ====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dada una función f(x) contínua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces ====
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.3.1 Regla de Barrow **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo 1

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Supongamos que la integral a resolver es:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[[image:http://upload.wikimedia.org/math/e/0/f/e0f39df3ed666b4291fb1c1a097c8407.png]] (1)
====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ahora necesitamos sustituir también para que la integral quede sólo en función de : ==== ====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Tenemos que por tanto derivando se obtiene  ==== ====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se despeja y se agrega donde corresponde en (1): ==== <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Simplificando:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. ====

====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo. ====

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. ====
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.3.2 Regla de la cadena **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Regla de la cadena.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. ==== <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Pasos para integrar por cambio de variable

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3º Se vuelve a la variable inical:




 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1)Note que <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) **Regla de la cadena**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Otros tipo de sustituciones **


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Integraciòn por partes **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**2.1** El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.









<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.-

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**2.2** Si al integrar por partes tomamos u = xn hay que repetir el proceso n veces.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**2.3** Si tenemos una integral en la que sólo aparece un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando:v' = 1.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**2.4** Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * 2.-**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral, siendo P(x) y Q(x) polinomios.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. Integraciòn de funciones racionales **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**3.1** El denominador tiene sólo raíces reales simples

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La fracción puede escribirse así: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo


<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se efectúa la suma:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.







<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se calculan las integrales de las fracciones simples:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Otra forna de hallar los coeficientes es realizando las operaciones e igualando coeficientes.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Igualamos coeficientes: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**3.2** El denominador tiene sólo raíces reales múltiples

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La fracción puede escribirse así:



**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo I **






<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivamos y volvemos a sustituir por menos −3:


<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Volvemos a derivar:







<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">También podemos hallar los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo II **








<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.











<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**3.3** El denominador tiene raíces complejas simples

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La fracción puede escribirse así:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo I **








<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Igualamos los coeficientes de los dos miembros.





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La primera integral es de tipo logariítmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que serán de tipo logarítmico y tipo arcotangente. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicamos por 2 en la segunda integral para ir preparádola.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El 2 del numerador de segunda integral lo tranformamos en 1 + 1.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Descomponemos la segunda integral en otras dos.





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las dos primeras integrales son de tipo logarítmico.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La integral que nos queda es de tipo arcotangente. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.











**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo II **


<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sumamos y restamos 3 en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor común 3.



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Multiplicamos y dividimos en la primera fracción por 2.







<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Realizamos un cambio de variable.








 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena. **



====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.1** El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla. ==== <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.2** Cambio de variable x = a sen t

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.3** Cambio de variable x = a tg t <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.4** Cambio de variable x = a sec t

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.5** Integrales irracionales racionales

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[|Integramos por partes]. **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se realiza la [|integral racional].

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Aplicamos las [|propiedades de los logaritmos].

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.6** Integrales irracionales con distintos índices ====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices. ====

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.7** Integrales racionales (sen x, cos x) pares

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si es par

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se realiza el cambio t = tg x. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">T <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ambién se utiliza este cambio para toda función racional de tg x.













<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.-
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios **













<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**4.8** Integrales racionales (sen x, cos x) no pares. Si no es par <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se realiza en cambio.











<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicios **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5. Integrales trigonomètricas **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**5.1** Potencias pares de sen x o cos x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El seno y coseno del ángulo mitad son:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n es par, entonces se pueden escribir senn y cosn en forma de potencias de y respectivamente.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El seno y el coseno están relacionados mediante la fórmula: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si n es impar, entonces se pueden escribir senn x como: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">sen x · (1 − cos2 x)n − 2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y cosn x en forma de: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">cos x · (1 − sen2 x )n − 2
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.2 Potencias impares de sen x o cos x **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**5.3** El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">También se puede hacer por el cambio de variable t = sen x o t = cos x

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.-.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">5.4 Productos de tipo sen(nx) · cos(mx) **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se transforman los productos en sumas: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4.- <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">cos (-4x) = cos 4x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**5.5** Si es par <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es decir: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se realiza el cambio t = tg x. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">También se utiliza este cambio para toda función racional de tg x. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">



**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**5.6** Si es impar <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se realiza en cambio. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

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