Integral+Doble

__** INTEGRAL DOBLE **__

1) DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE 2) INTEGRALES ITERADAS 3) ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN 4) VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES 5) APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES 6) COORDENADAS POLARES


 * DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE **

Sea la integral definida de una función:  Llamada también suma de Riemann, que significa el área bajo la curva y=f(x) en un intervalo cerrado (a,b). Para obtener el área de la región de la función con dos variables, se trabajará en una región cerrada R.

En la región R, trazamos particiones. La ij-ésima partición tendrá forma rectangular. El área sería:  Así, podemos definir una función de dos variables z= f(x,y) en la región R y la ij-ésima sería:  <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El punto representa un punto del rectángulo. El volumen del ij-ésimo paralelepípedo denotado por esta dado por: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El volumen bajo la superficie va ser el resultado de la suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepípedos, así: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Este análisis conduce a la siguiente definición:


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**DEFINICIÓN:** Sea f una función de dos variables definida en la región plana

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

=
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Al se le denomina integral doble de f en R y se la denota:  ======

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Además, si existe el límite, la función de dos variables es integrable en R. ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo:** Calcular




 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA DE INTEGRABILIDAD **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f una función de dos variables definida en la región plana <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f está acotada y es continua en R a excepción de un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R. ||


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TEOREMA FUBINI **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea f una función de dos variables definida en la región plana <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f es continua en R, entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">De esta manera evaluamos a las integrales dobles como integrales simples, a dichas integrales se las denomina Integrales Iteradas.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">INTEGRALES ITERADAS **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable ( en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los limites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, si se va a integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DEFINICIÓN: Integral doble iterada en dominio simple respecto de x.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">un dominio simple respecto de x, y sea f(x,y) continua en D.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se llama integral doble iterada de f en el dominio D al número:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">que se denota:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplos:**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Calcular:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Otro ejemplo: media type="youtube" key="6eGwknkYE-U" width="560" height="315" align="center"


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN **

====<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por cualquiera de las integrales: ====



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Los límites de integración apropiados, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y y después respecto a x; es decir:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir así:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.


 * **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">PROPIEDADES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sean f y g funciones de dos variables continuas en una región R, entonces: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. donde ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo**: Calcule mediante integración doble el área de la región del plano limitada por las curvas


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Sea el sólido limitado por el plano y el plano xy en el primer octante, obtenemos el volumen:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El volumen del sólido sería: dV = hdA = zdA <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Por lo tanto el volumen está dado por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Donde R sería:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> Por medio de un barrido vertical y evaluando la integral, obtenemos:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si es el caso de un sólido limitado por superficies, así:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El volumen esta dado por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Siendo R, la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un sólido está limitado por la superficie, el plano //xy//, y los planos. Calcule su volumen por doble integración.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplo: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y con los planos <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, las parábolas

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">calculamos la integral sobre la región del plano.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Consideremos una lamina delgada L, que ocupa una región R del plano y cuyo espesor es despreciable. En dicha región se distribuye de manera continua una masa con densidad superficial
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Momentos estáticos respecto de los ejes
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El momento estático MxP respectivamente MyP de un punto material (x,y) de una masa m, respecto al eje x y respectivamente al eje y, es el producto de la masa por su distancia tanto al eje de abscisas como de ordenadas. Luego los momentos estáticos de la lamina L estarán dados por:





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Centro de masa o centro de gravedad
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se define como el punto en que se habría de colocar el punto de apoyo para que el sistema alcance el equilibrio. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Viene dado por:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Centro geométrico
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las coordenadas (x,y) del centroide de una región plana R de área



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">satisfacen las relaciones:
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">o también: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Momentos de inercia de L
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta r, o a un punto Po es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y el momento de incercia de un conjunto de puntos materiales respecto a r o Po, es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjuunto. Por tanto, los momentos de inercia vendran dados por: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Respecto al eje x
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Respecto al eje y
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Respecto al origen ( denominado también momento de inercia polar)
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Respecto a un punto Po (Xo,Yo)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">ENCUENTRE LA MASA Y EL CENTRO DE MASA DE UN TRIÁNGULO CON VÉRTICES EN (0,0) (1,0) Y (0,2) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DENSIDAD: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> centro de masa =

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Mas ejemplos:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">-Calcular el volumen del sólido ubicado debajo de la superficie z = x2 + y2 sobre la región R={(x,y) ε R2/ 0 ≤ x ≤ 3y, 0 ≤ y ≤1}

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[|-Calcular la masa de una lámina plana limitada por: 0 ≤ y ≤ 1 ; arctan(y) ≤ x ≤ π/4; Si la función densidad en cada punto es f(x,y) = sec5x]

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">[|-Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies (cilindro) z = y2- 1, z = 2, x = 0, x = 2.]


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> COORDENADAS POLARES **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si deseamos integrar f función definida dentro de una región R, generalmente lo haríamos evaluando la integral doble

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos de coordenadas rectangulares. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Un problema que puede presentarse seria si se desea trabajar con ciertas figuras circulares( círculos, paraboloides, elipsoides, etc), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Recordemos las ecuaciones que relacionan ecuaciones polares con rectangulares. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Entonces, haciendo esta transformación tendríamos que ahora la región R esta definida por:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde, el diferencial de área, se definiría como: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Así, la integral quedaría como: <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejemplos: **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1) Evaluar

=<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> =

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">donde R es la región del se mi-plano superior limitado por los círculos = = <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2) Utilizar una integral doble para encontrar el área encerrada por un pétalo de la rosa de 4 hojas <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">

OTRO EJEMPLO:

media type="youtube" key="xbcghybEdMo" width="425" height="350" align="center"

media type="facebooklike" key="http%3A%2F%2Fanalisisfigempa.wikispaces.com%2FIntegral%20Doble" width="450" height="80" align="right"
<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 90%; text-align: center;">Para regresar al ìndice click

<span style="display: block; font-family: Cambria,serif; font-size: 20pt; height: 1px; left: -40px; line-height: 115%; overflow: hidden; position: absolute; top: 5302px; width: 1px;">ᶿᶠ

<span style="display: block; height: 1px; left: -40px; overflow: hidden; position: absolute; top: 6498.5px; width: 1px;">ᶿ