Derivadas+Parciales

__** DERIVADAS PARCIALES **__

Sea F(x,y) una función de dos variables x Y y. Si y es considerada como constante e igual a Yo, entonces F(x,y) es una función solo de la variable x yes denota por df/dx (xo, yo) Por lo tanto, Similarmente, la derivada parcial de F con respecto a y en (xo,yo) es denotada por df/dy (xo,yo).

**OTRAS NOTACIONES:**

 Si z=F(x,y), escribimos df/dx (x,y) =dz/dx(x,y) =Fx(x,y), df/dy(x,y)= dz/dy(x,y)=Fx(x,y)



Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.



Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable ycomo constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha.

 A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos: en el punto (1, 1, 3), o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos
 * Considera el volumen V de un [|cono]; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula




 * El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)

** V(r,h)=r²hπ/3 **
Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

> ==** dv/dr (r,h)=2rhπ/3, dv/dh(r,h)= r² π/3 **== >


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Otro ejemplo, dada la función ** F:R²  ****  ➝  ****  R  **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">tal que:

**F(x,y) =3x³y + 2x²y²-7y**
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">la derivada parcial de F respecto de x es:

** dF/dx(x,y)=9x²y +4xy² **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">mientras que con respecto de y es:

** d F/dy(x,y)3x³ + 2x²2y-7=3x³+4x²y-7 **

 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DEFINICIÓN NORMAL **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el [|límite]. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U→ R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

** d/dx f(a) = lim/ h➝o f(a1,.....,ai-1,ai+h,ai+1,.......,an) – f(a1,......,an) **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">O visto respecto a la derivada direccional:

d/dxi f(Xo) = Dvf (Xo) = lim/t➝o f(Xo + Tv) – f(Xo) /t
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (xi). ||left}} Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además [|diferenciable] cerca de a. En este caso, f es una función C1.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">NOTACIÓN **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivadas parciales de primer orden:

** dF/dx **** =f'x =dxf **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

d** ² **** f/dx **** ² **** = F¨xx = Dxxf, d **** ² **** f/dy **** ² **** =F¨yy =Dyyf **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Derivadas cruzadas de segundo orden:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">TERMODINÁMICA
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Que significa que ** ∃ Fxz(.) : Y = Fxz (X,Z) **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y entonces:
 * (dY/dX) **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que en general:
 * (dY/dX) := dfxy(X,Y)/ dX **

** (dY/dX)z1 ≠ (dY/dX) z2 **
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ya que la forma precisa de las funciones ** Fxz1 (.,.) y Fxz1(.,.) **<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">y es diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.

media type="youtube" key="bKGCity6dr8" width="425" height="350" align="center"

.


 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR **

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">1. Derivar dos veces respecto de x:

[[image:http://drzuniga0.tripod.com/files/cap3/image024.jpg width="154" height="51"]]
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">2. Derivar dos veces respecto de y:

[[image:http://drzuniga0.tripod.com/files/cap3/image025.jpg width="154" height="52"]]
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Orden de derecha a izquierda <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo:**
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el valor de fxy(-1,2)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Teorema

 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Si f es una función de x e y tal que f, f <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; vertical-align: sub;">x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, f <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; vertical-align: sub;">y <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">, f <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; vertical-align: sub;">xy <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> y f <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; vertical-align: sub;">yx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;"> son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R, ||

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">**Ejemplo:**
<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Solución

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Las parciales primeras son,



<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Y las parciales cruzadas son,





<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%;">Ejercicio

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