Fracción+Parcial+y+su+integración

FRACCIÓN PARCIAL

La integral de funciones racionales no es realmente un método de integración sino que es más bien un procedimiento algebraico que consiste en descomponer una fracción donde el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador; [|fracciones parciales]. Se dice que una función racional es una fracción propia, si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio, más una fracción propia. Es decir:



Para dicha descomposición utilizaremos los siguientes teoremas.

**a) TEOREMA**

Todo polinomio con coeficientes reales siempre se puede representar como un producto de polinomios irreducibles (en ιʀ) lineales o cuadráticos con coeficientes reales.

**b) TEOREMA**

Cualquier fracción propia P(x)/Q(x) es decir; (P(x) < Q(x)) se puede descomponer en la suma de fracciones parciales como sigue:

**Para resolver fracciones parciales tenemos los siguientes casos**

1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**CASO 1:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">ESTO SE PUEDE ESCRIBIR COMO:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) · · · (anx + bn)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En donde no hay factor que se repita.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En este caso, existen constantes A1, A2, · · ·, An. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Tales que:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Ejemplo.**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Descomponer en fracciones parciales la fracción:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución: <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Luego la descomposición en fracciones parciales es:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4) (x − 1), obteniendo

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Desarrollando tenemos

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">7x + 3 = Ax − A + Bx + 4B

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">7x + 3 = Ax + Bx − A + 4B

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">7x + 3 = x(A + B) − A + 4B

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">7x + 3 = x(A + B) − A + 4B

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">En donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">7x = x (A + B) 3 = − A + 4B

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A+B=7 −A+4B = 3

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A=7−B −7+B+4B=3

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">5B=10

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">B=2

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">A=5

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo que la fracción queda:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**CASO 2:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El denominador q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten. <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si Q(x) tiene un factor lineal repetido "n" veces de la forma, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene "n" términos de la forma:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Ejemplo.**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Descomponer en fracciones parciales:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">SOLUCION: La descomposición en fracciones parciales es:



<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Multiplicando por el denominador común tenemos:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Obteniendo los sistemas de ecuaciones siguientes:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo que la fracción queda:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**CASO 3:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma, en donde, <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Donde A y B son constantes.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Ejemplo.**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Descomponer en fracciones parciales:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Luego la descomposición en fracciones parciales es:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Multiplicando por el común denominador:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Obteniendo el sistema:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo que la fracción queda:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**CASO 4:**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">El denominador q(x) contiene un factor irreductible repetido.

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Si Q(x) tiene un factor cuadrático repetido "k" veces de la forma,donde, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene n términos de la forma:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Donde A1, A2, · · ·, An y B1, B2, · · ·Bn son constantes

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">**Ejemplo.**

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Descomponer en fracciones parciales:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Solución:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">La forma de descomponer esta división de polinomios en fracciones parciales es:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Obteniendo el sistema:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">Por lo que la fracción queda:

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

**<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 140%;">TRUCOS INTEGRAL PARCIAL **

<span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;"> <span style="display: block; font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 120%; text-align: justify;">

<span style="display: block; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%; height: 1px; left: -10000px; overflow: hidden; position: absolute; top: 4050px; width: 1px;"> media type="facebooklike" key="http%3A%2F%2Fanalisisfigempa.wikispaces.com%2FFracci%C3%B3n%20Parcial%20y%20su%20integraci%C3%B3n" width="450" height="80" align="right" <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">Para regresar al ìndice haga click aqui home