TRUCOS PARA RESOLVER INTEGRALES



OBJETIVOS:
  • Aquí veremos sólo los casos particulares de integración y que necesitan mayor explicación.
  • Conocer las reglas de integración para casos especiales de integración.
  • Aplicar correctamente estas reglas a través de sustituciones según el caso lo a merite.


CONTENIDO:

1. Métodos de integración
1.1. Directa
1.2. Cambio de variable
1.3. Reglas de Integración
1.3.1. Regla de Barrus
1.3.2. Regla de cadena

2. Integrales por partes
2.1. Integración por partes I
2.2. Integración por partes II
2.3. Integración por partes III
2.4. Integración por partes IV

3. Integrales racionales
3.1. El denominador tiene sólo raíces reales simples
3.2. El denominador tiene sólo raíces múltiples
3.3. El denominador tiene raíces complejas simples

4. Integrales por sustitución
4.1. Integrales por camio de variable
4.2. Cambio de variable x= a sent
4.3. ambio de variable x= a tan t
4.4. Cambio de variable x= a sec t
4.5. Integrales irracionales racionales
4.6. Integrales irracionales con distintos índices
4.7. Integrales racionales (sen x, cos x) pares
4.8. Integrales racionales (sen x, cos x) no pares

5. Integrales trigonométricas
5.1. Potencias pares de sen x o cos x
5.2. Potencias impares de sen x o cos x
5.3. El exponente impar se transforma en un par y en un impar
5.4. Productos tipo sen (nx).cos(mx)
5.5. Si sen x, cos x es par
5.6. Si sen x, cos x no es par


INTEGRALES

Primeramente debemos tener claras las reglas de derivación para lo cual tenemos la siguiente tabla de derivadas muy útil para resolver integrales:


external image tabla-de-derivadas.jpg

1.Tècnicas de integraciòn:

1.1Metodo de Integración directa

La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.

Documento Microsoft Office Word
Documento Microsoft Office Word

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la anti-derivada.


Ejemplo

Calcular la integral
external image 3ac616721b6216bb8557b7aff9e238bd.png


En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:
external image d264a349f8e2abe4488a6e8f80f8ad3a.png

Ejemplo

Calcular la integral

external image 79df8a6e29cf4a3f09caeee643dfe41c.png.Una fórmula estándar sobre derivadas establece que

external image 304d55dff18f956afe25debfdfae8cee.png. De este modo, la solución del problema es external image 6f639e168306a0c907a37e615140a36d.png

Ejemplos:
  1. external image img27.gifque la función external image b1e6a3a2e75b9b06b2bb87293b1eaf9a.png esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

Algunas integrales no es posible resolverlas aplicando directamente las reglas de integraciòn para lo cual es necesario hacer un cambio de variable para lo cual podemos ocupar la regla de la cadena que es la siguiente:


1.3 Método de integración por sustitución


El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.


integral por sustitución
integral por sustitución

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable


integral
integral

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:


cambio
cambio

diferenciar
diferenciar
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

sustituir en la integral
sustituir en la integral
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

integral
integral
3º Se vuelve a la variable inical:

cambio de variable
cambio de variable

Para este método ocuparemos las siguientes reglas:

1.3.1 Regla de Barrow

En cálculo integral, la regla de Barrow o segundo teorema fundamental del cálculo integral es una propiedad de las funciones continuas y que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Dada una función f(x) contínua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces


int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)
int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)


Ejemplo 1

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

external image 5cc7ef7a8222e3fbd01cbd0aa332bbb8.png

En la integral reemplazamos external image a02354f66fc5a765493b89e3a0412b26.png con (u):

external image e0f39df3ed666b4291fb1c1a097c8407.png (1)

Ahora necesitamos sustituir también external image 01d7da604b3948df97339ff86cb746d7.png para que la integral quede sólo en función de
 u
u
:

Tenemos que external image ce8321580f693675996f9aef009cba6e.png por tanto derivando se obtiene external image 6d84cdf55194e065ac7e684d031604ea.png

Se despeja external image aa5415231d0d334c2fb0816209d8ec65.png y se agrega donde corresponde en (1):

external image 989fcbffc9a0e8b45c735dc22aabb0a6.png

Simplificando:

external image def4a8c2d7601dc732c04b14e32f5692.png

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo external image d95c9120b5eccfa5a8793acb249c7408.png

:

external image a7b9ce2e796667ac7e605eda32a1485e.png (límite inferior)

external image 5ca598c980e07d4ad52ce381f1a5c4b1.png (límite superior)


Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:


external image fad54b6470988f226767e39ac4ccbff2.png


1.3.2 Regla de la cadena

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.



external image 0001724918.png Regla de la cadena.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.


integral por sustitución
integral por sustitución

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

integral
integral
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

cambio
cambio

diferenciar
diferenciar
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

sustituir en la integral
sustituir en la integral
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

integral
integral
3º Se vuelve a la variable inical:

external image 7.gif

Ejemplos:


1)external image img40.gifNote que
external image 8.gif



2) Regla de la cadena

external image 9.gif
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external image 11.gif
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3)external image 22.gif


external image 23.gif
external image 24.gif
external image 25.gif
external image 26.gif
external image 27.gif
external image 28.gif



4)external image 361.gif


external image 362.gif
external image 363.gif
external image 364.gif
external image 365.gif



5)external image 463.gif


external image 464.gif
external image 465.gif
external image 466.gif
external image 467.gif
external image 468.gif
external image 469.gif
external image 470.gif


Otros tipo de sustituciones

2. Integraciòn por partes

2.1 El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

derivado un producto
derivado un producto

integral de la derivada de un producto
integral de la derivada de un producto

despejar
despejar

fórmula de la integral por partes
fórmula de la integral por partes

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.


Ejercicios
1.-
integral de X por seno de X
integral de X por seno de X

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
solución



2.-
integral
integral


derivar
derivar

integrar
integrar

solución
solución


derivar
derivar

integrar
integrar

operaciones
operaciones

solución
solución



3.-
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

solución
solución




2.2 Si al integrar por partes tomamos u = xn hay que repetir el proceso n veces.

Ejercicios:

1.-
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
solución



2.-
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
solución



3.-
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

operaciones
operaciones

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
solución




2.3 Si tenemos una integral en la que sólo aparece un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando:v' = 1.

Ejercicios
1.-
integral del arcotangente
integral del arcotangente

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
solución


2.-
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
solución


3.-
integral de ln x
integral de ln x

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
solución




2.4 Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.


Ejercicios

1.-
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

derivar
derivar

derivar
derivar

integrar
integrar

ecuación
ecuación

operaciones
operaciones

solución
solución



2.-
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

ecuación
ecuación

solución
solución




3.-
integral
integral

derivar
derivar

external image 294.gif
integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integrar
integrar

ecuación
ecuación

solución
solución




3. Integraciòn de funciones racionales
En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral
integral racional
integral racional
, siendo P(x) y Q(x) polinomios.

En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.

integral de la división
integral de la división

C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:


3.1 El denominador tiene sólo raíces reales simples

descomposición polinómica
descomposición polinómica

La fracción
fracción polinómica
fracción polinómica
puede escribirse así:

igualdad
igualdad

A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo


integral racional
integral racional

descomposición
descomposición
Se efectúa la suma:

suma polinómica
suma polinómica

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

igualdad
igualdad
Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

A
A

B
B

C
C

Se calculan las integrales de las fracciones simples:

integral
integral

solución
solución


Otra forna de hallar los coeficientes es realizando las operaciones e igualando coeficientes.


multiplicaciones
multiplicaciones

Igualamos coeficientes:
igualación de coeficientes
igualación de coeficientes



3.2 El denominador tiene sólo raíces reales múltiples

descomposición polinómica
descomposición polinómica

La fracción
fracción polinómica
fracción polinómica
puede escribirse así:


igualdad
igualdad

Ejemplo I


integral
integral

descomposición
descomposición

igualar
igualar
Para calcular A, B y C, sustituimos x por −3:

sustituir por -3
sustituir por -3
Derivamos y volvemos a sustituir por menos −3:

derivada
derivada

B
B
Volvemos a derivar:


derivada
derivada

integral
integral

solución
solución

También podemos hallar los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:
operaciones
operaciones


coeficientes
coeficientes

Ejemplo II


integral
integral

fracciones
fracciones

operaciones
operaciones

igualdad
igualdad


Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.


B
B

C
C

A
A

integral
integral

solución
solución


3.3 El denominador tiene raíces complejas simples


Q
Q

La fracción
fracción polinómica
fracción polinómica
puede escribirse así:


igualdad
igualdad

Esta integral se descompone en una de tipo lograritmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo I


integral
integral

fracciones
fracciones

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

Igualamos los coeficientes de los dos miembros.

operaciones
operaciones

integral
integral

La primera integral es de tipo logariítmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que serán de tipo logarítmico y tipo arcotangente.
Multiplicamos por 2 en la segunda integral para ir preparádola.


integral
integral

El 2 del numerador de segunda integral lo tranformamos en 1 + 1.

integral
integral

Descomponemos la segunda integral en otras dos.

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

Las dos primeras integrales son de tipo logarítmico.

operaciones
operaciones

La integral que nos queda es de tipo arcotangente.
Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.
Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

solución
solución

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.
Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raíz cuadrada de 4/3.

solución
solución

solución
solución

solución
solución


operaciones
operaciones


operaciones
operaciones


Ejemplo II


integral
integral


Sumamos y restamos 3 en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor común 3.


integral
integral


Multiplicamos y dividimos en la primera fracción por 2.


integral
integral


integral
integral


integral
integral


Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.
Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

descomposición
descomposición


integral
integral

Realizamos un cambio de variable.


cambio de variable
cambio de variable


integral
integral


solución
solución



4.El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

integral por sustitución
integral por sustitución

4.1 El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Ejemplos:
1.-
integral
integral

cambie variable
cambie variable

cambie variable
cambie variable

integral
integral

división
división

integral
integral

solución
solución




2.-
integral
integral

cambio variable
cambio variable

cambie variable
cambie variable

operaciones
operaciones

solución
solución

integral
integral

cambio variable
cambio variable

cambio de variable
cambio de variable




3.-
sustitución
sustitución

fracciones
fracciones

A
A

B
B

integral
integral

cambie variable
cambie variable





4.2 Cambio de variable x = a sen t


cambio de variable x = a sen t
cambio de variable x = a sen t


Ejemplos:

1.-
integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

cambio de variables
cambio de variables

integral
integral

integral
integral

integral
integral

cambio variable
cambio variable

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

solución
solución




2.-
integral
integral

cambie variable
cambie variable

cambio de variable
cambio de variable

operaciones
operaciones

cambie variable
cambie variable

solución
solución






4.3 Cambio de variable x = a tg t
cambio de variable x = a tg t
cambio de variable x = a tg t


Ejemplos:
1.-
integra
integra

cambio variable
cambio variable

cambio de variables
cambio de variables

sustitución
sustitución

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

cambie variable
cambie variable

solución
solución








4.4 Cambio de variable x = a sec t

cambio de variable x = a sec t
cambio de variable x = a sec t


Ejemplos:

1.-
integral
integral

cambio variable
cambio variable

cambio de variable
cambio de variable

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

cambie variable
cambie variable

solución
solución





2.-
integral
integral

cambie variable
cambie variable

integral
integral

integral
integral

cambio de haber cambio de variable
cambio de haber cambio de variable

solución
solución

solución
solución




4.5 Integrales irracionales racionales

cambio de variable t = radicando
cambio de variable t = radicando


Ejemplos:

integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones



Integramos por partes.

integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral


Se realiza la integral racional.

racional
racional

operaciones
operaciones

integral
integral

integral
integral

cambie variable
cambie variable

integral
integral


Aplicamos las propiedades de los logaritmos.

solución
solución




4.6 Integrales irracionales con distintos índices

En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

Ejemplos:


1.-
integral
integral

cambio de variables
cambio de variables

cambie variable
cambie variable

integral
integral

integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

solución
solución

solución
solución




2.-
integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

cambio de variable
cambio de variable

integral
integral

sangre variable
sangre variable

integral
integral






4.7 Integrales racionales (sen x, cos x) pares

Si
racional que una métrica par
racional que una métrica par
es par


Es decir:
función par
función par


Se realiza el cambio t = tg x.
T
ambién se utiliza este cambio para toda función racional de tg x.


cambio de variable
cambio de variable


operaciones
operaciones


operaciones
operaciones


operaciones
operaciones


operaciones
operaciones


operaciones
operaciones

operaciones
operaciones


operaciones
operaciones


Ejercicios
1.-
integral
integral


cambio de variable
cambio de variable


solución
solución


integral
integral


cambio de variable
cambio de variable


sustitución
sustitución


solución
solución



4.8 Integrales racionales (sen x, cos x) no pares. Si
racional que una métrica par
racional que una métrica par
no es par

Se realiza en cambio
cambie variable
cambie variable
.



cambie variable
cambie variable


transformación del seno en tangente
transformación del seno en tangente


transformación de coseno en tangente
transformación de coseno en tangente


tangente
tangente


cambio de variable
cambio de variable



Ejercicios
1.-
integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

operaciones
operaciones

solución
solución




1.-
integral
integral

integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

integral
integral

integrales
integrales

solución
solución



5. Integrales trigonomètricas

5.1 Potencias pares de sen x o cos x
El seno y coseno del ángulo mitad son:


seno y coseno del ángulo mitad
seno y coseno del ángulo mitad
Si n es par, entonces se pueden escribir senn y cosn en forma de potencias de
seno del ángulo mitad
seno del ángulo mitad
y
coseno del ángulo mitad
coseno del ángulo mitad
respectivamente.


Ejemplos

1.-
integral de coseno cuadrado de X
integral de coseno cuadrado de X

integral de coseno cuadrado de X
integral de coseno cuadrado de X

integral de coseno cuadrado de X
integral de coseno cuadrado de X



2.-
integral de sen 4 x
integral de sen 4 x

solución
solución

solución
solución

solución
solución

solución
solución

solución
solución




5.2 Potencias impares de sen x o cos x
El seno y el coseno están relacionados mediante la fórmula:
relación entre el seno y arcoseno
relación entre el seno y arcoseno

Si n es impar, entonces se pueden escribir senn x como:
sen x · (1 − cos2 x)n − 2
Y cosn x en forma de:
cos x · (1 − sen2 x )n − 2

1.-
integral de seno al cubo de X
integral de seno al cubo de X

integral de seno al cubo de X
integral de seno al cubo de X

integral de seno al cubo de X
integral de seno al cubo de X



2.-
integral de coseno cubo de X
integral de coseno cubo de X

integral de coseno cubo de X.
integral de coseno cubo de X.

integral de coseno al cubo de X
integral de coseno al cubo de X

integral de coseno al cubo X.
integral de coseno al cubo X.



3.-
integral
integral

integral
integral

integral
integral

integral
integral




5.3 El exponente impar se transforma en uno par y otro impar.

1.-
de seno a la quinta y con seno al cuadrado
de seno a la quinta y con seno al cuadrado

solución
solución

solución
solución

solución
solución

solución
solución

solución
solución


También se puede hacer por el cambio de variable t = sen x o t = cos x

1.-
integral
integral

cambie variable
cambie variable

cambie variable
cambie variable

integral y solución
integral y solución



2.-
integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

cambio de variable
cambio de variable

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

solución
solución



3.-.-
integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

integral
integral

solución
solución



5.4 Productos de tipo sen(nx) · cos(mx)

Se transforman los productos en sumas:

Transformaciones de productos en sumas
Transformaciones de productos en sumas

Transformaciones de productos en sumas
Transformaciones de productos en sumas

Transformaciones de productos en sumas
Transformaciones de productos en sumas



Transformaciones de productos en sumas
Transformaciones de productos en sumas


1.-
integral de escena y coseno
integral de escena y coseno

solución
solución



2.-
integral
integral

transformaciones en suman
transformaciones en suman

solución
solución



3.-
integral
integral

transformación en producto
transformación en producto

solución
solución



4.-
integral
integral

integral
integral

cos (-4x) = cos 4x
integral
integral



5.5 Si
racional que una métrica par
racional que una métrica par
es par

Es decir:
función par
función par

Se realiza el cambio t = tg x.
También se utiliza este cambio para toda función racional de tg x.

cambio de variable
cambio de variable

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones

operaciones
operaciones
operaciones
operaciones








operaciones
operaciones

Ejemplo

integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

solución
solución


5.6 Si
racional que una métrica par
racional que una métrica par
es impar

Se realiza en cambio
cambie variable
cambie variable
.

cambie variable
cambie variable


transformación del seno en tangente
transformación del seno en tangente

transformación de coseno en tangente
transformación de coseno en tangente


tangente
tangente

cambio de variable
cambio de variable


Ejemplo

integral
integral

cambio de variable
cambio de variable

operaciones
operaciones


solución
solución




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