PARADOJAS O ACERTIJOS MATEMÁTICOS


PARADOJAS MATEMÁTICAS

Se llaman PARADOJAS MATEMÁTICAS a ciertos resultados notoriamente falsos que parecen deducirse de demostraciones rigurosas; pero durante las cuales se ha efectuado una operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o una construcción geométrica cuyo trazado no es correcto.
A continuación expondremos algunas de ellas:

PARADOJA NUMERO 1:
Sean dos números iguales a y b con "a" elemento de los Naturales y "b" también elemento de los Naturales y distintos de cero, escribiremos:
  • a = b
Multiplicando ambos lados de ésta igualdad, por el mismo número "a" (lo cuál es absolutamente válido) obtenemos:
  • a² = ab
Ahora restamos de ambos lados el mismo número " b² " (lo cuál es absolutamente válido) tenemos:
  • a² - b² = ab - b²
Ésta última expresión puede escribirse así (factorando en ambos lados):
  • (a + b)(a - b) = b(a - b)
Dividiendo por (a - b) ya que ambos términos (a y b) son distintos de cero tenemos:
  • a + b = b
Pero como al inicio asumimos que a = b entonces podemos escribir:
  • b + b = b
  • 2b = b
De dónde finalmente se obtiene que:
  • 2 = 1 ¿?

¿Dónde esta el error? El mismo radica en que si asumimos al inicio que a y b sn elementos del conjunto de los naturales y ambos distintos de cero, ademas que a = b entonces a - b = 0 y la división por cero NO PUEDE SER EFECTUADA de allí que evidentemente 2 no es igual a 1

PARADOJA NUMERO 2:
Sea el triángulo ABC y los puntos M, N, P los puntos medios de sus lados.Tracemos las rectas MP y NP.
Por haberse formado un paralelogramo MPNC resulta:AN + NP + PM + MB =AC + CB
external image triangulo.JPG


Efectuando una construcción análoga para los triángulos ▲ANP y ▲PBM, y continuando indefinidamente de este modo, vemos que los segmentos divididos sucesivamente formados tienen siempre su longitud igual a AC + CB.
Como la longitud de los segmentos que forman los segmentos más pequeños disminuye constantemente y sus vértices se aproximan cada vez más a la recta AB decimos entonces que:En el límite, el perímetro de los segmentos divididos llega a confundirse con el segmento AB y por consiguiente:
  • AB = AC + CB ¿?

Esta paradoja se explica por la falsa interpretación del término <<límite>> cuya definición precisa es:
Se dice que una magnitud variable x tiende hacia un límite determinado A, si los valores sucesivos de x se aproximan al número A de modo que el valor absoluto de la diferencia (x - A) pueda llegar a ser menor que todo número positivo dado, por mas pequeño que éste sea, usando notación matemática se tiene:

Lim (x→a) f(x) = L si para todo ℰ > 0 existe un δ > 0 tal que:si 0 < │x - a│< ℰ entonces│f(x) - L│< ℰ

En este ejemplo x y A son respectivamente, el perímetro de los segmentos divididos y la longitud del lado AB. Pero x es constante y no variable, y la diferencia (x - A) es también constante.
No siendo lícito aplicar la noción de límite a magnitudes que no satisfacen las condiciones de la definición antes descrita; no es de extrañarse, pues que en el caso tratado se haya llegado a un resultado por demás ABSURDO!


PARADOJA NUMERO 3:
Vamos ahora a demostrar con un razonamiento parecido al anterior que una semicircunferencia es igual a su diámetro.

Para esto vamos a trazar dos semicircunferencias que tengan por diámetros los radios OA = OB = R de una semicircunferencia dada. Esta última tiene por longitud πR , y la suma de las otras dos es:

π(1/2 R) + π(1/2 R) = πR osea igual a la primera.


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Continuando con la misma construcción indefinidamente, se tiene siempre la misma longitud πR para la línea formada por las 4, 8, 16, ... circunferencias, las que por ser cada vez menores, nos inducen a decir que forman una línea que se confunde con el diámetro AB, osea πR = AB


El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo creíble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:

1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.

2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.
3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.)
4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible.
5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.

Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradójico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradójico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.
Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.









OTRAS PARADOJAS

1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO: Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?

2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO: "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS: Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Ud. de descubrir cuáles?

1) 2+2=4

2) 3x6=17

3) 8/4=2

4) 13-6=5

5) 5+4=9

4. APROBARÁ EL EXAMEN: El siguiente relato ocurrió en un examen oral. PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta?

ALUMNO: Sí. Me doy cuenta.

PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará.

ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme.

PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal.

ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé!

PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen?

ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo?

PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple!
La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?

5. UNA DE LAS DOS: He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?

6. ERRORES: En éste se cometen tres errores.

París es la capital de Francia.

Dos más dos es igual a cinco.

América fue descubierta en 1.492.

¿Cuáles son los errores?

7. HORRORES: En éste se cometen dos errores.

Roma es la capital de Italia.

Dos por dos es igual a cinco.

Hillary escalé el Everest.

¿Cuáles son los errores?

8. PARADOJA MECÁNICA: ¿Por qué los camiones que transportan leche de vaca son una paradoja mecánica?

9. PARADOJA TEMPORAL: Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo:

- Mañana te telefonearé de nuevo.

- De acuerdo. ¡Hasta mañana!

¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.

SOLUCIONES DE LAS PARADOJAS

1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO.

2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. ¡Es falso! La oración contraria: "Esta frase no consta de siete palabras." está formada exactamente por siete palabras. ¿Cómo resolver estos raros dilemas?

3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Únicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por tanto, la afirmación de hay tres enunciados falsos es falsa. Tenemos así el tercero de los enunciados falsos. ¿No es verdad?

4. APROBARÁ EL EXAMEN. Supongamos que contestara que sí. En este caso el profesor podría suspenderla o aprobarle, como prefiriese. Si le suspendía y el alumno preguntaba por qué, el profesor podría decir "Contestaste mal la última pregunta, después de todo dijiste que ibas a aprobar y no fue así, y como la última pregunta estaba mal, tienes que suspender". Pero el profesor podría igualmente aprobarle y decir "Dijiste que aprobarías, y como ha sido así, tenías razón, así que contestaste bien la última pregunta, y por eso apruebas". Desde luego los dos razonamientos son circulares, pero ninguno de los dos es peor que el otro.

En cambio, si el alumno contestara que no, el profesor no podría ni suspenderla ni aprobarle. Si le aprobaba, el alumno habría contestado mal y habría suspendido. Si le suspendía, el alumno habría contestado bien y habría aprobado. Así que el profesor no podía ni aprobarle ni suspenderla.

Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, contestó "No" y fastidió al profesor por completo.

5. UNA DE LAS DOS. La primera es cierta: hay dos afirmaciones, ella misma y la segunda. ¿Y la otra? Si fuese falsa, ella misma habría de decir que no hay ninguna falsa (al ser falsa) y si fuese verdadera, ¿dónde está la falsa? Por lo que nos introducimos en una clara contradicción.

6. ERRORES. Hay dos errores; uno es la frase que dice «Dos más dos es igual a cinco». El otro es: «En este acertijo se cometen tres errores».

7. HORRORES. Se trata de una paradoja. Si suponemos que el único error es «Dos por dos es igual a cinco», entonces la primera frase debe ser correcta; pero no puede serlo, porque afirma que los errores son dos. Y si suponemos que los errores son, efectivamente, dos, la primera frase debe estar equivocada; pero no puede estarlo, porque afirma precisamente que los errores son tantos como supusimos. Luego este acertijo no tiene solución lógica.

8. PARADOJA MECÁNICA. Porque cuánta más leche llevan, más despacio van.

9. PARADOJA TEMPORAL. Por paradójica que parezca es posible con la condición de que el primer español se encuentre en la Península y el otro en las Islas Canarias y que la llamada se realice en la Península después de las 12 de la noche del 31 de diciembre y antes de la una de la madrugada del día 1 de enero.

MAS DEMOSTRACIONES PARADOJICAS

Demostración inválida

En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en esta área.

La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error. El error consiste en usar una función f que no es biyectiva, para observar que f(x) = f(y)para ciertas x e y, concluyendo (erróneamente) que por tanto x = y. La división por cero es un caso particular: la función f es x → x × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y.


Demostración de que 1 equivale a −1

Supongamos que estamos trabajando en el conjunto de los Números Complejos y comencemos con lo siguiente:

1=1 es igual a que los elementos son reflejantes

Ahora, los convertimos en fracciones

frac{1}{-1} = frac{-1}{1}
frac{1}{-1} = frac{-1}{1}

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos

sqrt{frac{1}{-1}} = sqrt{frac{-1}{1}}
sqrt{frac{1}{-1}} = sqrt{frac{-1}{1}}

Que equivale a

frac{sqrt{1}}{sqrt{-1}} = frac{sqrt{-1}}{sqrt{1}}
frac{sqrt{1}}{sqrt{-1}} = frac{sqrt{-1}}{sqrt{1}}

Pero ya que
i = sqrt{-1}
i = sqrt{-1}
(ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo

frac{1}{i} = frac{i}{1}
frac{1}{i} = frac{i}{1}

Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos

1^2 = i^2
1^2 = i^2

Y ya que
i^2 = -1
i^2 = -1
tenemos como resultado

1 = -1
1 = -1

Q.E.D.

Esta demostración no es válida, debido a que en realidad
i = sqrt{-1}
i = sqrt{-1}
no es una definición correcta en el cuerpo de números complejos no reales. En el cuerpo de los números reales, la raíz de un número real positivo devuelve la raíz positiva, en cambio en el cuerpo de los complejos no puede definirse un orden, por lo que las raíces de
 -1
-1
son tanto
i
i
como
-i
-i
sin preferencia por ninguna de las dos. Así
sqrt{-1}
sqrt{-1}
no está bien definido. Aunque sin necesidad de darle a la raíz de -1 el nombre de i, tendríamos también la propiedad de que para que se cumpla la igualdad en fracciones, los productos de medios igual a producto de extremos.

Demostración de que 1 es menor que 0[editar]

Supongamos que

x < 1
x < 1

Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos

ln x < 0
ln x < 0

Dividir por ln x da como resultado

1 < 0
1 < 0

Q.E.D.

El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que estamos dividiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.

(Véase la demostración correcta en "Demostración matemática)".

Demostración de que 2 equivale a 1[editar]

Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:

a

=

b

=

ab

a² - b²

=

ab - b²

(a - b)(a + b)

=

b(a - b)

a + b

=

b

b + b

=

b

2b

=

b

2

=

1

Q.E.D.

La falacia se encuentra de la línea 4 a la 5: donde siendo a=b, en el mismo término a² - b² se anulan dando en el mismo término cero y como la división por cero no está definida, la demostración no es válida."

La otra falacia es que también se demostraría que a = 0, pues si: a + b = b => a = b - b => a = 0

Otra demostración de que 2 equivale a 1[editar]

  • Por definición de la multiplicación, se tiene que, para x ≠ 0,


    x = 1 + 1 + ... + 1
    x = 1 + 1 + ... + 1
    (x términos)

  • Multiplicando ambos lados por x,


    x^2 = x + x + ... + x
    x^2 = x + x + ... + x
    (x términos)

  • Derivando con respecto a x,


    2x = 1 + 1 + ... + 1
    2x = 1 + 1 + ... + 1
    (x términos)

  • Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho de esa igualdad es x, y por lo tanto,


    2x = x
    2x = x

  • Dividiendo ambos lados por x (lo cual es posible, pues que sea un número no significa que x ≠ 0), se tiene


    2 = 1
    2 = 1

Q.E.D.

El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que x era entero; dicha expresión no tiene sentido para números no enteros. Por otro lado, para derivar funciones hace falta un dominio continuo como los reales, no los enteros; para cada x entero se tiene una ecuación correcta, pero para derivar ambos lados hace falta una ecuación de funciones, no de enteros, y la función x + x +... + x "con x términos" no tiene sentido en general (¿cómo se pueden tener x términos?), con lo cual no es derivable.

Otra forma de ver el error es que se están derivando dos funciones distintas con derivada distinta pero que se intersecan en un punto. En este sentido se confirma que F(x) = G(x) pero se asume, erróneamente, que F'(x) = G'(x).

Demostración de que 4 equivale a 2[editar]

4 = 4

Restamos a ambos lados de la ecuación

4 - 4 = 4 - 4

En un lado factorizamos usando la "suma por su diferencia" y en el otro lado se factoriza por 2

(2 - 2) (2 + 2) = 2 (2 - 2)

Cancelamos los términos iguales a cada lado de la ecuación (2 - 2)

(2 + 2) = 2

Nos queda como resultado

4 = 2

Q.E.D.

La falacia se encuentra en el paso de la línea 3 a la 4, ya que implica una división por (2 - 2), que es cero. Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.

Demostración de que a equivale a b[editar]

Comenzamos con

a - b = c

Elevamos al cuadrado ambos lados

a² - 2ab + b² = c²

Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como

a² - 2ab + b² = ac - bc

Si lo reordenamos, obtenemos

a² - ab - ac = ab - b² - bc

Factorizamos ambos miembros

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Dividimos ambos miembros por (a - b -c)

a(a - b - c) = b(a - b - c)

Al final

a = b

Q.E.D.

La falacia consiste en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos realizado una división por cero, que invalida la demostración.

Demostración de que 0 equivale a 1[editar]

Lo siguiente es una "demostración" de que 0 es igual a 1

0

=

0 + 0 + 0 +...


=

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +...


=

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +...

(ley asociativa)


=

1 + 0 + 0 + 0 +...


=

1

Q.E.D.

El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes. Esta última era, según Guido Ubaldus, la demostración de que Dios existe, ya que se había "creado" algo de la nada.



Paradoja del cuadrado perdido



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Animación de la paradoja del cuadrado perdido.
La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas.
Está compuesta de cuatro piezas de Rompecabezas que pueden forman dos triángulos de base 13 y altura 5, formados por las mismas piezas, en uno aparenta tener un "agujero" de un cuadrado de un de lad

Paradoja del cuadrado perdido 01.svg
Paradoja del cuadrado perdido 01.svg
Paradoja del cuadrado perdido 02.svg
Paradoja del cuadrado perdido 02.svg


Las piezas

Las cuatro piezas que forman el rompecabezas tienen una forma tamaño y superficie concreta. El área de cada pieza es:

La pieza roja



Paradoja del cuadrado perdido 06.svg
Paradoja del cuadrado perdido 06.svg



La pieza roja es un triángulo rectángulo de base 8 y altura 3 y, por tanto, su área es:
A_{ro} =cfrac{8 cdot 3}{2}= 12
A_{ro} =cfrac{8 cdot 3}{2}= 12

La pieza azul



Paradoja del cuadrado perdido 07.svg
Paradoja del cuadrado perdido 07.svg



La pieza azul es también un triángulo rectángulo, de base 5 y altura 2 y, por tanto, su área es de:
A_{az} =cfrac{5 cdot 2}{2}= 5
A_{az} =cfrac{5 cdot 2}{2}= 5

La pieza verde



Paradoja del cuadrado perdido 08.svg
Paradoja del cuadrado perdido 08.svg



La pieza verde es un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 2 por 1, su área es:
A_{ve} =5 cdot 2 - 2 cdot 1 =8
A_{ve} =5 cdot 2 - 2 cdot 1 =8

La pieza amarilla



Paradoja del cuadrado perdido 09.svg
Paradoja del cuadrado perdido 09.svg



La pieza amarilla es, también, un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 3 por 1, su área es:

A_{am} =5 cdot 2 - 3 cdot 1 =7
A_{am} =5 cdot 2 - 3 cdot 1 =7

La paradoja

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de:

begin{array}{lcr}A_{ro} & = & 12 A_{az} & = &  5 A_{ve} & = &  8 A_{am} & = &  7 hlinetotal  & = & 32end{array}
begin{array}{lcr}A_{ro} & = & 12 A_{az} & = & 5 A_{ve} & = & 8 A_{am} & = & 7 hlinetotal & = & 32end{array}



Paradoja del cuadrado perdido 05.svg
Paradoja del cuadrado perdido 05.svg



pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura, lo que supone un área de:

A_{T} =cfrac{13 cdot 5}{2} =32,5
A_{T} =cfrac{13 cdot 5}{2} =32,5

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas.
Paradoja del cuadrado perdido 03.svg
Paradoja del cuadrado perdido 03.svg

Paradoja del cuadrado perdido 04.svg
Paradoja del cuadrado perdido 04.svg

Paradoja del cuadrado perdido 10.svg
Paradoja del cuadrado perdido 10.svg

Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es:
tan (alpha_{ro}) =frac{3}{8}; longrightarrow quadalpha_{ro} =20^circ 33^{prime} 21.76^{primeprime}
tan (alpha_{ro}) =frac{3}{8}; longrightarrow quadalpha_{ro} =20^circ 33^{prime} 21.76^{primeprime}

mientras que en el azul es:
tan (alpha_{az}) =frac{2}{5}; longrightarrow quadalpha_{az} =21^circ 48^{prime} 5.05^{primeprime}
tan (alpha_{az}) =frac{2}{5}; longrightarrow quadalpha_{az} =21^circ 48^{prime} 5.05^{primeprime}

y en el triangulo total es:
tan (alpha_{T}) =frac{5}{13}; longrightarrow quadalpha_{T} =21^circ 2^{prime} 15.04^{primeprime}
tan (alpha_{T}) =frac{5}{13}; longrightarrow quadalpha_{T} =21^circ 2^{prime} 15.04^{primeprime}

Así, la suma de los tres ángulos en la figura de arriba es menor que 180°, mientras que en la figura de abajo la suma de los tres ángulos es mayor que 180°.








OTRAS PARADOJAS MATEMÁTICAS



DEFINICION:

Las paradojas son razonamientos contradictorios que pueden demostrar su veracidad y falsedad.La paradoja es un poderoso estímulo para la reflexión y así mismo los filósofos a menudo se sirven de las paradojas para revelar la complejidad de la realidad. La paradoja también permite demostrar las limitaciones de las herramientas de la mente humana. Así, la identificación de paradojas basadas en conceptos que a simple vista parecen simples y razonables ha impulsado importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas.
Existen diferentes tipos de paradojas entre ellas las paradojas matemáticas, pero las más resaltantes son del sabio Zenón de Elea, las que destacan son: paradoja de la flecha, paradoja de Aquiles y la tortuga, que suelen utilizar los sentidos y el razonamiento matemático; son las bases para poder con firmar la veracidad de estas.

TIPOS DE PARADOJAS

No todas las paradojas encajan con exactitud en una única categoría. Algunos ejemplos de paradojas son las siguientes:

  • Paradojas verídicas

Son resultados que aparentan ser absurdos a pesar de ser demostrable su veracidad. A esta categoría pertenecen la mayor parte de las paradojas matemáticas.

Ejemplos:
  1. Paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas en una reunión cumplan años el mismo día?
  2. Paradoja de Galileo: A pesar de que no todos los números son cuadrados perfectos, no hay más números que cuadrados perfectos.
  3. Paradoja del hotel infinito: Un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más huéspedes, incluso si está lleno.
  4. Paradoja de la banda esférica: No es una paradoja en sentido estricto, pero choca con nuestro sentido común debido a que tiene una solución que parece imposible.

  • Antinomías

Son paradojas que alcanzan un resultado que se autocontradice, aplicando correctamente modos aceptados de razonamiento. Muestran fallos en un modo de razón, axioma o definición previamente aceptados.

Ejemplos:
  1. Paradoja de Russell: ¿Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos?
  2. Paradoja de Curry: "Si no me equivoco, el mundo se acabará en diez días".
  3. Paradoja del mentiroso: "Esta oración es falsa".
  4. Paradoja de Grelling-Nelson: Es la palabra "heterológico", que significa "que no describe a sí mismo", heterológica?
  5. Paradoja de Berry: "El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras".
  6. Paradoja de los números interesantes: Todo número entero presenta alguna propiedad interesante específica, y por tanto el conjunto de los números no-interesantes es vacío.

  • Antinomías de definición

Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sin las cuales no alcanzan una contradicción. Este tipo de paradojas constituye un recurso literario, en cuyo empleo se ha destacado el escritor inglés G. K. Chesterton, a quién se llamó el "príncipe de las paradojas". Sirviéndose de los múltiples sentidos de las palabras, buscaba marcar contrastes que llamaran la atención sobre alguna cuestión comúnmente poco considerada. Estas paradojas, como en su libro "Las paradojas de Mr. Pond" (1936), se resuelven en el transcurso de los relatos al clarificar un sentido o añadir alguna información clave.
Ejemplos:
  1. Paradoja sorites: ¿En qué momento un montón deja de serlo cuando se quitan granos de arena?
En qué momento un montón de arena deja de serlo cuando se van quitando granos?

La paradoja del montón (o la paradoja sorites, sorites en Griego significa "pila, montón" ) es una paradoja que aparece cuando la gente utiliza el "sentido común" sobre conceptos vagos.

Más específicamente, la paradoja se produce porque mientras el sentido común sugiere que los montones de arena tienen las siguientes propiedades, estas propiedades son inconsistentes:
  • Dos o tres granos de arena no son un montón.
  • Un millón de granos de arena sí son un montón.
  • Si n granos de arena no forman un montón, tampoco lo serán (n+1) granos.
  • Si n granos de arena son un montón, también lo serán (n−1) granos.
2. Paradoja de Teseo: Cuando se han reemplazado todas las partes de un barco, ¿sigue siendo el mismo barco?

  • Paradojas condicionales

Sólo son paradójicas si se hacen ciertas suposiciones. Algunas de ellas muestran que esas suposiciones son falsas o incompletas.
  1. Paradoja de Newcomb: Cómo jugar contra un oponente omnisciente.
  2. Paradoja de San Petersburgo: La gente solo arriesgará una pequeña cantidad para obtener una recompensa de valor infinito.
  3. Paradoja del viaje en el tiempo: ¿Qué pasaría si viajas en el tiempo y matas a tu abuelo antes de que conozca a tu abuela?
  4. Paradoja de la serpiente: Si una serpiente se empieza a comer su cola, acaba comiéndose absolutamente todo su cuerpo, ¿dónde estaría la serpiente, si está dentro de su estómago que, a su vez, está dentro de ella?

La paradoja de la serpiente, pertenece a la clasificación de paradoja tipo condicional; basada en una suposición.
Ella consiste en:
Si una serpiente se empieza a comer su cola, y acaba comiéndose absolutamente todo su cuerpo,¿Dónde estaría la serpiente, si está dentro de su estómago, que a su vez está dentro de ella?
La paradoja de la serpiente ha sido utilizada desde tiempos remotos en diferentes lugares del mundo, de manera filosófica y religiosa para expresar la infinidad y el retorno de las cosas.

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Según su área de conocimiento

Todas las paradojas se consideran relacionadas con la lógica, que antiguamente se consideraba parte de la filosofía, pero que ahora se ha formalizado y se ha incluido como una parte importante de la matemática. A pesar de ello, muchas paradojas han ayudado entender y avanzar algunas áreas concretas del conocimiento.Com o en los siguientes casos:
  • Paradojas en Matemática / Lógica
  1. Paradoja de Banach-Tarski

  • Paradojas sobre la probabilidad y la estadística

  1. Paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas en una reunión cumplan años el mismo día?
  2. Paradoja de Simpson: Al agregar datos, podemos encontrar relaciones engañosas.
  3. Paradoja de Arrow: No puedes tener todas las ventajas de un sistema de votación ideal al mismo tiempo.
  4. Problema de Monty Hall: Y tras la puerta número dos... (¿Por qué la probabilidad no es intuitiva?)
  5. Paradoja de San Petersburgo: Cómo no merece la pena arriesgar mucho para ganar un premio infinito.
  6. Fenómeno Will Rogers: Sobre el concepto matemático de la media, trata sobre la media o mediana de dos conjuntos cuando uno de sus valores es intercambiado entre ellos, dando lugar a un resultado aparentemente paradójico.

  • Paradojas sobre lógica

A pesar de que todas las paradojas se consideran relacionadas con la lógica, hay algunas que afectan directamente a su bases y postulados tradicionales.
Las paradojas más importantes relacionadas directamente con el área de la lógica son las antinomias, como la paradoja de Russell, que muestran la inconsistencia de las matemáticas tradicionales. A pesar de ello, existen paradojas que no se autocontradicen y que han ayudado a avanzar en conceptos como demostración y verdad.
  1. Paradoja del actual rey de Francia: ¿Es cierta una afirmación sobre algo que no existe?
  2. Paradoja del cuervo (o cuervos de Hempel): Una manzana roja incrementa la probabilidad de que todos los cuervos sean negros.

  • Paradojas sobre el infinito

El concepto matemático de infinito, al ser contrario a la intuición, ha generado muchas paradojas desde que fue formulado.

  1. Paradoja de Galileo: A pesar de que no todos los números son números cuadrados, no hay más números que números cuadrados.
  2. Paradoja del hotel infinito: Un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más huéspedes, incluso si está lleno.
  3. Conjunto de Cantor: Cómo quitar elementos de un conjunto y que siga teniendo el mismo tamaño.
  4. Cuerno de Gabriel (o Trompeta de Torricelli): ¿Cómo puede ser necesaria una superficie infinita para contener un volumen finito?
  5. Paradojas de Zenón. Mediante el concepto de división al infinito, Zenón trató de demostrar que el movimiento no puede existir, confirmando así la filosofía de su maestro, Parménides. Las más conocidas son la «dicotomía» y la paradoja de «Aquiles y la tortuga».

  • Paradojas en Física

  1. Paradoja de Bell: Plantea un problema clásico de relatividad especial.
  2. Paradoja de Olbers: ¿Por qué, si hay infinitas estrellas, el cielo es negro? Olberts calculó que la luminosidad del cielo correspondería a una temperatura del orden de los 5.500 °C, que, de hecho, no se observa. Actualmente se sabe que la luminosidad calculada por Olberts no llega a ser tal por el importante corrimiento al rojo de las fuentes de luz más alejadas, hecho que la teoría más aceptada atribuye al alejamiento de las galaxias o expansión del universo. Además se oponen la edad finita del universo, sus cambios notables durante su historia y que la cantidad de galaxias no es infinita. La paradoja proviene de un tiempo en el que no se conocían las galaxias y tendía a creerse que el universo era infinito y estático, por lo que también era plausible que hubiera infinitas estrellas.
  3. Paradoja de Maxwell o Demonio de Maxwell: Una aparente paradoja clásica de la termodinámica.
  4. Paradoja de los gemelos: Cuando uno de los hermanos regresa de un viaje a velocidades cercanas a las de la luz descubre que es mucho más joven que su hermano.
  5. Paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen: Una paradoja sobre la naturaleza de la mecánica cuántica propuesta por estos tres físicos.
  6. Paradoja de Fermi: Si el Universo estuviera poblado por civilizaciones avanzadas tecnológicamente, ¿dónde están?
  7. El experimento de Young. Una paradoja cuántica en su versión electrón a electrón. En el experimento de Young se pueden hacer pasar electrones por una doble rendija uno a uno de manera corpuscular, como si fueran partículas, obteniéndose sin embargo una figura de interferencias.
  8. Paradoja de Schrödinger: La paradoja por excelencia de la mecánica cuántica. Paradoja de D'Alembert: Relacionada con la resistencia de los cuerpos ante fluidos viscosos y no viscosos, en Mecánica de Fluidos.
  9. Paradoja del lingote de plata: Es imposible la duplicación exacta de la materia y todos sus estados cuánticos, por tanto son imposibles los viajes en el tiempo.

  • Paradojas en Economía
  1. Paradoja de Abilene: Un grupo de personas frecuentemente toman decisiones contra sus propios intereses.
  2. Paradoja del ahorro: Si todo el mundo trata de ahorrar durante una recesión, la demanda agregada caerá y los ahorros totales de la población serán más bajos.
  3. Paradoja de Allais: En cierto tipo de apuestas, aun cuando la gente prefiere la certeza a la incertidumbre, si se plantea de manera diferente el problema, preferirán la incertidumbre que antes rechazaban.
  4. Paradoja de Bertrand: Dos jugadores que alcanzan el mismo equilibrio de Nash se encuentran cada uno sin ningún beneficio.
  5. Paradoja del pájaro en el arbusto: ¿Por qué las personas evitan el riesgo?
  6. Paradoja del valor (o paradoja del diamante y el agua): ¿Por qué es más barata el agua que los diamantes, siendo que los humanos necesitan agua, y no diamantes, para sobrevivir?
  7. Paradoja de Edgeworth: Con restricciones de capacidad, no puede haber ningún equilibrio.
  8. Paradoja de Ellsberg: En cierto tipo de apuestas, aun cuando sean lógicamente equivalentes las personas apostar por algo que contra algo, es decir, obtienen mayor utilidad apostando a favor.
  9. Paradoja de Gibson: ¿Por qué están los tipos de interés y los precios positivamente correlacionados?
  10. Paradoja de Giffen: ¿Puede ser que los pobres coman más pan aunque suba su precio.
  11. Paradoja de Jevons: Un incremento en la eficiencia conlleva un mayor incremento en la demanda.
  12. Paradoja de Leontief: Algunos países exportan bienes intensivos en trabajo e importan bienes intensivos en capital, en contradicción con la teoría de Heckscher-Ohlin.
  13. Paradoja de Parrondo: Es posible jugar en dos juegos que ocasionan pérdidas alternativamente para acabar ganando.
  14. Paradoja de San Petersburgo: Cómo no merece la pena arriesgar mucho para ganar un premio infinito
  15. Paradoja del votante: Cuantas más personas participen en una elección por votación, menor será el beneficio de ir a votar, al ser cada votante menos decisivo.

  • Paradoja de Aquiles y la tortuga


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En la paradoja de Aquiles y la tortuga, Aquiles da a la tortuga una ventaja inicial de cien pasos. Cuando Aquiles atraviesa esos cien pasos, la tortuga da diez pasos y está aún por delante de Aquiles. Cuando Aquiles corre los diez pasos, la tortuga da un paso y se mantiene delante, y así sucesivamente.

Aquiles entonces nunca alcanzará a la tortuga. ¿Es correcto el planteamiento?
Zenón creía que la lenta tortuga era inalcanzable por el veloz Aquiles, porque a cada espacio recorrido por el aqueo el quelónido le sacaba otro pequeño espacio de ventaja. Cuatro siglos más tarde, se demostró que cuando Aquiles da infinitos pasos ha recorrido una distancia finita (cuando alcanza a la tortuga), y por tanto desaparece la paradoja. Pues en la medida en Aquiles acorta distancia y tiempo respecto a la tortuga, la sobrepasa en un punto concreto; en el problema en cuestión, por cada paso de la tortuga Aquiles avanza diez :
Aquiles debe de dar 100 pasos + 10 pasos + 1 paso + 0'1 paso + 0'01 pasos + 0'0001 pasos + ...hasta alcanzar a la tortuga en 1000/9 pasos = 111' 11 pasos aprox.






  • Paradoja de la dicotomía


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En ella se niega el movimiento: No hay movimiento, por que para que algo recorra un espacio, debe primero llegar a la mitad (1/2), después a los 3/4, después a los 7/8, después a los 15/16, después a los 31/32 y así indefinidamente. Según esta paradoja nunca alcanzaríamos el final. Razonando esto, para llegar al final debemos haber llegado a la mitad, pero para llegar a la mitad, debemos llegar a la mitad de la mitad, pero antes debemos llegar a la mitad de la mitad de la mitad y así indefinidamente. O sea que nunca se comienza el movimiento.

Esto es parecido a las sumas fraccionarias infinitas:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... tiende a 1 pero nunca lo alcanza.

  • Paradoja de la flecha


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En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.
Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.
Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en un lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerada. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

‍PARADOJA DE EPIMÉNIDES

Se considera como una paradoja tipo argumento y como una paradoja tipo oración

1. Una expresión es dicha por Epiménides. [P(q)]

2. Esta expresión es la frase
“Todo lo que es dicho por un cretense, esfalso“.
[q=∀y(C(y)→F(y))]

3. Si una expresión es dicha por Epiménides,entonces es dicha por uncretense. [P(q)→C(q)].POR LO TANTO, lo que Epiménides dice es verdaderosi y solo si es falso. [V(q)↔F(q)]8
La falsa analogía entre estaparadoja y la del Mentiroso nos obliga a probar que sila oración del Epiménideses verdadera, entonces es falsa y que si la oración de Epiménides es falsa entonceses verdaderas
Pero solamente podemos probar que V(q)→F(q).

Postulemos metalógicamente lasiguiente afirmación: “Si tenemos unconsistente cuerpo de premisas “z” entoncespodemos afirmar que solo podemosderivar, o solo la fórmula B, o solo ¬B. Parademostrar la imposibilidad dedemostración de una conclusión ¬B (y, enconsecuencia la demostrabilidad de B)a partir de cierto cuerpo de premisas “z”,bastará con mostrar que sólo se puedellegar a ¬B por métodos erróneos”.Siguiendo este postulado y haciendo que¬B=“F(q)→V(q), donde q= “Todos loscretenses son mentirosos” ”, podemosdemostrar la imposibilidad de demostraciónde F(q)→V(q) a partir del cuerpo de tres premisas z = [P(q) & q=∀y(C(y)→F(y))& P(q)→C(q)]. Como sabemos la 8Probar: [P(q) & q=∀y(C(y)→F(y))& P(q)→C(q)] .→. V(q) →F(q)

TEORIA DE LA PROBABILLIDAD

Adaptado del libro Paradojas Matemáticas, de Eugene P. NorthropLa teoría de la probabilidad es un campo de las matemáticas extremadamente rico en paradojas, verdades que chocan tan fuertemente con el sentido común, que son difíciles de creer aún después de habérsenos enfrentado con sus pruebas.Pero no queríamos empezar a hablar de probabilidad sin mencionar el problema que dio origen a la teoría de probabilidades.
En 1654 el Caballero de Meré, jugador y Matemático aficionado propuso a Blas Pascal un problema relativo a las oportunidades de ganar en un juego de dados. Pascal comunicó el problema a Fermat, y de la correspondencia entre ambos surgió lo que después ha llegado a ser la moderna teoría de las probabilidades.
Para ver con qué facilidad pueden surgir los mal entendidos, estudiemos este problema. Supongamos que 2 jugadores, A y B participan en una apuesta de $60. Convienen en que el primero que haga 3 puntos ganará toda la apuesta, pero cuando A ha ganado 2 puntos y B ha ganado 1, de mutuo acuerdo deciden dejar el juego. ¿Cómo tendrían que repartirse la apuesta de $60?
A primera vista este problema parece muy sencillo. Se puede decir que puesto que A tiene el doble de B, a A le deben corresponder doble número de dólares que a B, es decir que A debería llevarse $40 y B $20. Pero supongamos que se jugaran el otro punto, el que de mutuo acuerdo no se ha jugado. Si lo ganara A, todos los $60 le pertenecerían; si perdiera quedarían empatados a 2, y habrían de repartirse los $60 por igual. Es decir que A está seguro de ganar en cualquier caso $30, y suponiendo que tenga iguales oportunidades de ganar el punto siguiente, de los otros $30 se le debía dar la mitad. Dicho de otro modo que a A le deberían corresponder $45 y a B $15.

Aquí mencionamos otro problema típico de las probabilidades que dejamos para el ingenio de nuestros lectores Jorge y Lucho juegan a las canicas. Jorge tiene 2 bolas y Lucho 1. Tiran a ver cuál se queda más cerca de un punto fijo. Suponiendo que los 2 tengan la misma habilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que Jorge gane?.Un posible planteamiento es el siguiente : hay 4 casos posibles. De las 2 bolas de Jorge, ambas pueden quedar mejor situadas que la de Lucho, o la primea mejor y la segunda peor, o la segunda mejor y la primera peor, o las dos peor. solamente en este cuarto caso, perderá Jorge, es decir, cuando sus dos bolas queden peor qeu la de Lucho. Por tanto, la probabilidad de que de Jorge gane es 3/4.
¿Está Ud. de acuerdo con el planteamiento propuesto, cuál es el error si es que éste existe, y en todo caso, ¿Cuál es la probabilidad de que Jorge gane?.
Adaptado del libro Paradojas Matemáticas, de Eugene P. Northrop

UNIDAD CUADRADA DE AREA OCULTANDOSE POR HENDIDURAS

Supongamos que dividimos una hoja depapel de 64 cuadritos como los de un tablero de ajedrez. Después locortamos en dos triángulos y en dos trapecios, tal como se indica en la figuras 20 (b) y20(c), los lados del rectángulo que resulta tienen respectivamente 5 y 13 unidades delongitud, de modo que el rectángulo que resulta tiene respectivamente 5 y 13 unidadesde longitud, de modo que el rectángulo contiene (5)(13) = 65 cuadritos, mientras queel cuadrado de la figura dada contiene (8)(8) = 64 cuadritos. ¿De dónde procede el cuadrito de más que tieneel rectángulo?

La verdad es que losbordes de los trozos 1,2,3 y 4, no coinciden en realidad a lo largo de la diagonal PQ, sinoque forman el paralelogramo PSQR que se ha exagerado mucho en la figura 20 (c).El misterioso cuadrito no es más que la superficie de este paralelogramo. El ánguloSPR es tan pequeño que nunca se llega a percibir el paralelogramo a menos quese recorten y se coloquen los trozos con mucho cuidado.
En realidad es muy fácilver para los que recuerden la trigonometría, que según la figura tg x = 3/8 o sea:0,3750, uy tg y = 5/2 = 2.5; por tanto, x = 20.56º, y = 58.20º y SPR = 90º - (20.56º + 68.20º)= 1.24º. 2

Este ejemplo y susgeneralidades han atraído la atención de muchos matemáticos, entre ellos Lewis Carroll,se basa en la relación 5 13 – 82 = 1. (Recuérdese que las dimensiones de la figuradada eran 8 por 8 y las del rectángulo 5 por 13). Los números 5, 8 y 13, son términosconsecutivos de la serie de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Cadatérmino de esta serie, después de los dos primeros, es la suma de los dos que preceden.Es decir, 0 + 1 = 1.

LOS ZOQUETES DE COLORES

Hay diez zoquetes rojos y diez zoquetes azules mezclados en el cajón del armario. Los veinte zoquetes son exactamente iguales, salvo por el color. El cuarto está absolutamente a oscuras y tú quieres dos zoquetes del mismo color. ¿Cuál es el menor número de zoquetes que debes sacar del cajón para estar seguro de que tienes un par del mismo color?

SOLUCIÓN

Mucha gente, al tratar de resolver este acertijo, se dice: "Supongamos que el primer zoquete que saco es rojo. Necesito otro rojo para hacer el par, pero el próximo puede ser azul, y el próximo, y el próximo, y así hasta sacar del cajón los diez zoquetes azules. El siguiente zoquete tiene que ser rojo, así que la respuesta debe ser doce zoquetes".
Pero este razonamiento pasa algo por alto. No es necesario que el par sea de zoquetes rojos. Sólo es necesario que los dos zoquetes sean de igual color. Si los dos primeros no son iguales, es seguro que el tercero será igual a uno de los otros dos, de modo que la respuesta correcta es tres zoquetes.



  • LOS TRES GATOS
Si tres gatos atrapan tres ratas en tres minutos, ¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 minutos?

SOLUCIÓN

La respuesta usual de este viejo acertijo es la siguiente: si a tres gatos les lleva tres minutos atrapar tres ratas, debe llevarles un minuto atrapar, cada rata. Y si les lleva un minuto cazar una rata, entonces los mismos tres gatos cazarán 100 ratas en 100 minutos.
Desafortunadamente, no es tan simple; esa respuesta presupone algo que por cierto no está expresado en el problema. Supone que los tres gatos han concentrado su atención en la misma rata hasta cazarla en un minuto, para luego dedicarse en conjunto a otra rata. Pero supongamos que en vez de hacer eso cada gato cace una rata diferente, y le lleve tres minutos atraparla. En ese caso, tres gatos seguirían cazando tres ratas en tres minutos. Les llevaría seis minutos cazar seis ratas, nueve minutos cazar nueve ratas, y 99 minutos cazar 99 ratas.
Ahora debemos enfrentar una curiosa dificultad. ¿Cuánto tiempo les llevará a esos mismos tres gatos cazar la rata número 100? Si les sigue insumiendo tres minutos la cacería, entonces los tres gatos demorarán 102 minutos para cazar las 100 ratas. Para cazar cien ratas en cien minutos - suponiendo que sea ésa la manera en la que los gatos cazan a sus ratas- por cierto necesitaremos más de tres gatos y menos de cuatro.Por supuesto, es posible que cuando los tres gatos se concentran sobre la misma rata, tal vez puedan acorralarla en menos de tres minutos, pero nada en el enunciado del problema nos dice de qué modo podemos medir exactamente el tiempo que demandará esa operación. La única respuesta correcta al problema, entonces, es ésta: la pregunta es ambigua y no puede responderse si no se da más información acerca de la manera en que esos gatos cazan ratas.

  • ELIJE TU PAGA

Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe te ofrece elegir entre:
a) $4.000 por tu primer año de trabajo, y un aumento de $800 por cada año subsiguiente.

b) $2.000 por los primeros seis meses y un aumento de $200 cada seis meses subsiguientes.
¿Cuál oferta aceptarías y por qué?

SOLUCIÓN
Por sorprendente que parezca, la segunda oferta es mucho mejor que la primera. Si la aceptas, ganarás $200 más por año de lo que ganarías si aceptaras la otra. La siguiente tabla muestra tus ganancias totales, sobre la base de ambas ofertas, para los primeros seis años de trabajo:

Año Oferta A Oferta B

1 $ 4 000 $ 4 200
2 $ 4 800 $ 5 000
3 $ 5 600 $ 5 800
4 $ 6 400 $ 6 600
5 $ 8 000 $ 8 200

  • VIAJE DE IDA Y VUELTA

Cuando se viaja en auto, sin duda el auto viajará a velocidades diferentes en diferentes momentos. Si la distancia total se divide por el tiempo total de manejo, el resultado es la velocidad promedio de ese viaje.
El señor Smith quería viajar de Chicago a Detroit y luego regresar. Deseaba hacer una velocidad promedio de 60 kilómetros por hora en todo el viaje de ida y vuelta. A1 llegar a Detroit descubrió que la velocidad promedio, hasta ese momento, era de 30 kilómetros por hora.

¿Cuál debe ser la velocidad promedio en el viaje de vuelta para que el promedio del viaje completo sea de 60 kilómetros por hora?

SOLUCIÓN

No es necesario saber la distancia entre Chicago y Detroit para resolver este problema. Cuando Smith llegó a Detroit, había recorrido cierta distancia y le había insumido cierta cantidad de tiempo. Si lo que desea es duplicar su velocidad promedio, es necesario que recorra el doble de esa distancia en la misma cantidad de tiempo. Resulta claro que, para lograrlo, ¡debe volver a Chicago sin insumir ningún tiempo! Como eso es imposible, no hay manera en la que Smith pueda aumentar su velocidad promedio a 60 kilómetros por hora. No importa con cuánta rapidez haga el viaje de regreso, siempre logrará un promedio menor de 60 kilómetros por hora.
Será más fácil comprenderlo si atribuimos una cierta distancia para que Smith recorra, digamos 30 kilómetros de ida y 30 de vuelta. Como su velocidad promedio es de 30 kilómetros por hora, Smith completará la primera mitad de su viaje en una hora. Desea hacer el viaje completo a una velocidad promedio de 60 kilómetros por hora, lo que significa que debe completar el viaje entero en una hora. Pero ya ha usado esa hora. No importa con cuánta rapidez retorne, pues el tiempo total será de más de una hora, por lo que habrá recorrido 60 kilómetros en más de una hora y su velocidad promedio será menor a 60 kilómetros por hora.

  • LA PARADOJA DEL AEROPLANO

Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B, luego regresa a A. Cuando no hay viento, su velocidad promedio a tierra (velocidad con respecto a la tierra) de todo el viaje es de 100 kilómetros por hora. Supongamos que un viento constante sopla en línea recta desde la ciudad A a la ciudad B. ¿De qué modo afectará este viento la velocidad promedio a tierra del aeroplano, suponiendo que vuela en todo momento a la misma velocidad de máquina que antes?

El señor White argumenta: "Eso no afectará en nada la velocidad promedio. El viento aumentará la velocidad del aeroplano durante su vuelo de A a B, pero en el viaje de regreso la disminuirá en la misma medida".
"Eso suena, razonable", asiente el señor Brown, "pero supongamos que el viento es de 100 kilómetros por hora. El aeroplano volará de A a B a 200 kilómetros por hora, ¡pero su velocidad de retorno será cero! El aeroplano no podrá volver."
¿Puedes explicar esta aparente paradoja?

SOLUCIÓN

E1 señor White está en lo cierto al decir que el viento aumenta la velocidad del aeroplano en una dirección tanto como la disminuye cuando el aeroplano vuela en dirección opuesta. Pero está equivocado cuando dice que el viento no afectará la velocidad promedio a tierra del aeroplano en el viaje de ida y vuelta.
Lo que el señor White no ha considerado es la cantidad de tiempo. que el aeroplano vuela a una u otra velocidad. El viaje de regreso, contra el viento, demorará mucho más que el viaje realizado a favor del viento. Como resultado, toma más tiempo el vuelo a velocidad reducida, así que la velocidad promedio con respecto a la tierra de ambos viajes será menor que si no hubiera viento. Cuanto más fuerte el viento, tanto mayor será la reducción de la velocidad. Cuando la velocidad del viento iguala o excede la velocidad del aeroplano, la velocidad promedio del viaje completo es cero porque el aeroplano no puede regresar.


  • BAJO LA BANDA

Imagina que te hallas en una esfera perfectamente lisa tan grande como el sol. Hay una banda de acero que abraza estrechamente la esfera alrededor del ecuador.
Se agrega a esta banda un metro de acero, de manera que se eleve de la esfera a igual altura en todo el contorno. ¿Eso dejará la banda a una altura suficiente como para que puedas:
(1) deslizar un naipe por debajo de ella?(2) deslizar una mano debajo de ella?(3) deslizar una pelota de béisbol por debajo de ella?

SOLUCIÓN

Parece sorprendente, pero esa banda de acero, después de que se le agregue un metro,.. ¡se alzará casi 16 centímetros en todo el contorno! Por cierto que es altura suficiente como para deslizar por debajo de ella una pelota de béisbol.En realidad, la altura a la que se elevará la banda es la misma independientemente del tamaño que pueda tener la esfera. Es fácil comprender por qué. Cuando la banda está tensa alrededor de la esfera, es la circunferencia de un círculo con un radio que es el mismo que el radio de la esfera. Sabemos, a partir de la geometría plana, que la circunferencia de un círculo es igual a su diámetro (que es el doble de su radio) multiplicado por pi (π). Pi es 3,14, un número ligeramente mayor que 3. Por lo tanto, si aumentamos la circunferencia de cualquier círculo en un metro, debemos incrementar el diámetro un -poquito menos de un tercio de metro, es decir algo más de 31 centímetros. Esto significa, por supuesto, que el radio aumentará en casi 16 centímetros.
Tal como muestra claramente la ilustración, este aumento del radio es la altura a la que se elevará la banda con respecto a la superficie de la esfera. Será exactamente la misma, 15,9 centímetros, independientemente de que la esfera sea tan grande como el sol o pequeña como una naranja.


  • LA DECIMA TIRADA

Un dado común (como los que se usan en juegos de azar) tiene seis caras, de modo que la probabilidad de que aparezca alguna de ellas es uno sobre seis, ó 1/6. Supongamos que tiras un dado nueve veces. Cada una de ellas cae con la cara del 1 hacia arriba.

¿Cuál es la probabilidad de que la cara del l vuelva a aparecer en la tirada siguiente? ¿Es más de 1/6 o sigue siendo 1/6?

SOLUCIÓN

Si sabemos positivamente que el dado no está cargado, entonces no importa cuántas veces se lo tire ni qué es lo que aparece, la probabilidad de la siguiente tirada seguirá siendo de 1/6 para cada una de las seis caras. ¡Un dado no tiene manera de recordar las tiradas anteriores!

A mucha gente le resulta difícil creerlo. Toda clase de necios sistemas para jugar a la ruleta y otros juegos de azar se basan en la superstición de que cuanto más frecuentemente algo ocurre por azar, menos probable será que se repita. Los soldados, durante la Primera Guerra Mundial, pensaban que si se escondían en los agujeros recientemente hechos por las granadas estarían más seguros que si se ocultaban en los viejos, porque, razonaban, era poco probable que una granada explotara dos veces en el mismo sitio en tan poco tiempo. Una madre con cinco hijos, todas nenas, cree que las probabilidades de que el próximo sea varón son mejores de 1/2. Estas creencias son infundadas.

Ahora veamos la otra cara de la cuestión. Al arrojar un dado real, es difícil estar seguro de que no es un dado cargado, o tal vez controlado por imanes ocultos. De modo que si en las primeras nueve tiradas nos sale un as, tenemos buenas razones para sospechar que ese dado es lo que las estadísticas llaman un dado tendencioso. Por lo tanto, ¡la probabilidad de que salga otro as en la décima tirada es mayor que 1/6!


  • APOSTANDO A LOS REYES

Hay seis naipes boca abajo en la mesa. Te han dicho que dos y sólo dos entre ellos son reyes, pero no sabes en qué posición están.
Eliges dos cartas al azar y las pones boca arriba.¿Qué es más probable?
(1) Que haya al menos un rey entre esas dos cartas
(2) Que no haya ningún rey entre esas dos cartas

SOLUCIÓN

Para resolver este problema, numeremos los seis naipes de 1 a 6, y supongamos que los naipes 5 y 6 son los dos reyes.Hagamos ahora una lista de las diferentes combinaciones de dos cartas que pueden resultar de la elección. Hay 15 combinaciones posibles:
1-2 2-3 3-4 4-5 5-6
1-3 2-4 3-5 4-6
1-4 2-5 3-6
1-5 2-6
1-6

Advierte que los reyes (naipes 5 y 6) aparecen en nueve de los 15 pares. Como un par es tan probable como-otro, esto significa que, a la larga, sacarás un rey en nueve de cada quince intentos. En otras palabras, la probabilidad de sacar un rey es de 9/15, una fracción que puede simplificarse a 3/5. Por supuesto, esto es mejor que 1/2, de modo que la respuesta es que es más probable que uno saque al menos un rey y no ninguno.
¿Cuáles son tus probabilidades de sacar ambos reyes al dar vuelta dos naipes? Sólo una de las quince combinaciones contiene a ambos reyes, de modo que la respuesta es 1 / 15.


  • LAS DOS TRIBUS.

Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre.Un misionero se encontró con dos de estos nativos, uno alto y otro bajo.
"¿Eres de los que dicen la verdad?", preguntó al más alto."Upf”, respondió el nativo alto.
EL misionero reconoció la palabra como el término nativo que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de los dos. El nativo bajo hablaba español, así que el misionero le preguntó qué era lo que había dicho su compañero. "Dijo sí”, replicó el nativo bajo, “¡pero él gran mentiroso ”.
¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos?

SOLUCIÓN

Cuando el misionero preguntó al nativo alto si era de los que decían la verdad, la respuesta "Upf " debe significar "sí". Si el nativo es de la tribu de los que dicen la verdad, debe decir la verdad y responder que sí; si es uno de los mentirosos, debe mentir, ¡pero la respuesta seguiría siendo sí!

De modo que cuando el nativo más bajo dijo al misionero que su compañero había dicho "sí", estaba diciendo la verdad. En consecuencia, también debe haber dicho la verdad cuando agregó que su amigo era un mentiroso.


  • SIN TIEMPO PARA LA ESCUELA.

"Pero no tengo tiempo para la escuela", explicaba Eddie al preceptor. "Duermo ocho horas diarias que, sumadas, dan 122 días por año, suponiendo que cada día es de 24 horas. No hay clases los sábados ni los domingos, que suman 104 días por año. Tenemos 60 días de vacaciones de verano. Necesito tres horas diarias para comer... esto es más de 45 días al año. Y necesito al menos dos horas diarias de recreación... que suman más de 30 días al año."

Eddie escribió estas cifras mientras hablaba, después sumó todos los días. La suma daba 361.Sueño (8 horas diarias) 122Sábados y domingos 104Vacaciones de verano 60Comidas (3 horas diarias) 45Recreación (2 horas diarias) 30Total 361 días

"Ya ve", continuó Eddie; "eso me deja tan sólo cuatro días para estar enfermo y en cama, y ni siquiera he tomado en cuenta los siete feriados escolares que tenemos cada año". El preceptor se rascó la cabeza. "Algo no anda bien aquí", murmuró. Pero por más que se esforzó, no pudo encontrar nada equivocado en las cifras de Eddie. ¿Puedes explicar dónde está el error?

SOLUCIÓN

La trampa de las cifras de Eddie es que las categorías de tiempo se superponen de modo que los mismos períodos de tiempo se cuentan más de una vez. Para dar un ejemplo, durante su período de vacaciones de 60 días también comió y durmió. El tiempo de comer y dormir se cuenta en el periodo de vacaciones y también aparte, en el tiempo insumido para comer y dormir durante todo el año.
La falacia de superponer categorías es muy común en las estadísticas, especialmente en el caso de las estadísticas médicas. Podemos leer que en ciertas. comunidades, el 30 por ciento de las personas tienen una deficiencia de vitamina A, e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina B, y e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina C. Si a partir de esto sacamos la conclusión de que sólo el 10 por ciento de la población no tiene deficiencia de estas tres vitaminas, habremos realizado el mismo razonamiento defectuoso que Eddie utilizó en su charla con el preceptor: Es posible que e1 30 por ciento de la población tenga deficiencias de las tres vitaminas, lo que dejaría a1 70 por ciento de la población en la categoría de los que no tienen ninguna deficiencia.

  • Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río, dispone de una barca en la que solo caben él y una de las otras tres cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?

SOLUCIÓN

El pastor pasa primero la cabra, la deja en la otra orilla y regresa a por el lobo, al cruzar deja al lobo y vuelve con la cabra, deja la cabra y cruza con la lechuga, deja la lechuga con el lobo y regresa a por la cabra.


  • Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que partió. ¿De qué color es el oso?

SOLUCIÓN

El color del oso es blanco, por ser un oso polar.Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al este volveremos al punto de partida.En cualquiera de estos casos estaremos en uno de los Polos, por lo que el oso será blanco.


  • Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de esa habitación, que esta inicialmente apagada.
¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo?Pista: El hombre tiene una linterna.

SOLUCIÓN

Al principio del pasillo hay tres interruptores, A, B y C, nuestro personaje pulsa el interruptor A, espera 10 minutos, lo apaga, pulsa el B y atraviesa el pasillo.
Al abrir la puerta se puede encontrar con tres situaciones:
Si la luz está encendida el pulsador será el B.
Si la luz está apagada y la bombilla caliente será el A.
Y si está apagada y la bombilla fría será el C.


  • Un prisionero está encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a la muerte y la otra a la libertad. Cada puerta está custodiada por un vigilante, el prisionero sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la puerta por la que pasara solo puede hacer una pregunta a uno solo de los vigilantes.
¿Cómo puede salvarse?

SOLUCIÓN

La pregunta podría ser: ¿Sí yo le pregunto al otro guardián por qué puerta tengo que salir que me respondería?".En el caso de que estemos hablando con el que siempre miente te diría "El otro guardián te diría que la puerta por la que debes salir es... ( la puerta falsa)".En el caso de que le preguntes al otro te diría algo así "El otro guardián te diría que la puerta por la que debes salir es... ( la puerta falsa)

  • Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer:
¿Cantidad de hijos? Tres dice ella.¿Edades? El producto de las edades es 36 y la suma es igual al número de la casa, responde.El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: tiene razón, la mayor estudia piano.Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los hijos. ¿Cuáles son?

SOLUCIÓN

El encuestador pregunta las edades y al obtener como respuesta que el producto de estas es 36 y su suma el número de la casa, mira el número de esta, que nosotros no conocemos pero el sí.
El encuestador descompone el 36 en sus factoriales y realiza las siguientes combinaciones de edades. ( todas las posibles)

1-1-36
1-2-18
1-3-12
1-4-9
1-6-6
2-2-9
2-3-6
3-3-4

Solo queda saber cuál de estas combinaciones de edades suman el número de la casa, entonces se da cuenta de que le falta algún dato, solo puede ser porque hay dos combinaciones que suman igual:
1+6+6=13
2+2+9=13

Al regresar y saber que la mayor estudia piano, deduce que solo hay una mayor, no dos, por lo que las edades serán 2, 2 y 9 años.


  • Tres hermanos se reparten la herencia de su padre que está formada por 35 caballos y en el testamento el padre dejo escrito que el mayor se quedara con la mitad de la herencia, el mediano con la tercera parte y el más pequeño con la novena parte
Como las divisiones no eran exactas estos no se ponían de acuerdo, por lo que decidieron consultar con un viejo matemático que les propuso lo siguiente:
Puesto que 35 caballos no se pueden dividir exactamente por la mitad, ni por la tercera parte ni por la novena, yo os regalo el mío, ahora tenéis 36 caballos por lo que los tres saldréis ganando. Tu por ser el mayor te llevaras la mitad de 36, es decir 18 caballos. Tú por ser el mediano la tercera parte, 12 caballos. Y tú por ser el pequeño según los deseos de tu padre, la novena parte, 4 caballos.

Ahora ya tenéis los tres vuestra herencia, y como 18+12+4=34 ahora sobran dos caballos, por lo que yo recupero el mío y me quedo también con el otro por resolver vuestro problema.

SOLUCIÓN

La suma de los porcentajes de la herencia es 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 por lo que al hacer el reparto de los 35 caballos habrían sobrado 1/18 de estos, que es el equivalente a un caballo entero y parte de otro.

Esta parte incompleta de caballo es la que se reparte de más entre los hermanos para que se puedan llevar caballos enteros, y el otro caballo de sobra junto con el del matemático son los dos caballos que se lleva este.


  • Un excursionista es capturado por caníbales y le dicen:
Si dices una mentira te matamos lentamente y si dices una verdad te matamos rápidamente.¿Qué dice para que no lo maten?

SOLUCIÓN

Me vais a matar lentamente.Si es tomado como verdad habría que matarlo rápidamente, por que la respuesta sería mentira, y si se toma como tal habría que matarlo lentamente, por lo que sería verdad.


  • Dos pastores hablaban:
- ¿Por qué no me das una de tus ovejas, así tendremos igual cantidad?A lo que su amigo le responde:- Mejor dame una de las tuyas así yo tendré el doble de ovejas que tú¿Cuántas ovejas tenia cada uno?

SOLUCIÓN
Un pastor tenía 5 ovejas y el otro 7.

  • En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70% de los combatientes perdió un ojo; el 75% una oreja, por lo menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna.
¿Cuántos, por lo menos perdieron los cuatro órganos?

SOLUCIÓN

Por lo menos el 45% perdió el ojo y la oreja.
Por lo menos el 65% perdió la mano y la pierna.
Por lo menos el 10% perdió los cuatro órganos.


  • Poner un número del 1 al 8 en cada casilla de la siguiente cuadricula sin que se toquen en ningún sentido, ni lateral, ni diagonal, con su antecesor o sucesor.


3
5

7
1
8
2

4
6

SOLUCIÓN
paradojas de Bertrand

ACERTIJOS ENGAÑOSOS






  • ¿Puedes poner diez terrones de azúcar en tres tazas vacías de modo que en cada taza haya un número impar de terrones?

2. En la ferretería local, Jones se enteró que l le costaría 50 centavos, 12 1e costarían $1,00 y que el precio de 144 era $1,50. ¿Qué era lo que Jones estaba comprando?

    • 3. ¿Con cuánta rapidez puedes hallar el producto de los siguientes números? 256x3x45x3.961x77x488x2.809x0
    • 4. Laringitis, un orador griego, nació e14 de julio del 30 A. C. Murió e14 de julio del año 30 D. C. ¿Qué edad tenía cuando murió?
    • 5. Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el peso del can es un número impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, ¿cuánto pesa cada uno?
    • 6. Después de una serie de experimentos, un químico descubrió que una determinada reacción química demoraba 80 minutos en producirse siempre que él usaba una corbata verde, y que la misma reacción demoraba una hora y veinte cuando él usaba una corbata roja. ¿Se te ocurre alguna razón para ello?
    • 7. Un matemático se fue a acostar a las ocho de la noche, puso el despertador para las 9 de la mañana y se fue a dormir de inmediato. ¿Cuántas horas había dormido cuando el despertador lo despertó?
    • 8. Divide 30 por 1/2 y suma 10. ¿Cuál es el resultado?
    • 9. Un chico tenía cinco manzanas y se comió todas salvo tres. ¿Cuántas manzanas quedaron?
    • 10. ¿Cuáles dos números enteros (no fracciones) dan el número de la mala suerte, 13, cuando son multiplicados entre sí?
    • 11. Un lector de este libro estaba tan enojado por no poder hallar las respuestas de todos estos problemas que arrancó las páginas 6. 7. 84, 111 y 112. ¿Cuántas hojas arrancó en total?
    • 12. Si a un reloj le lleva cinco segundos dar las 6, ¿cuánto tiempo le llevará dar las 12?

SOLUCIONES

1. Hay quince soluciones diferentes para este problema, pero todas ellas involucran el mismo truco. Por ejemplo: pon siete terrones en una taza, dos en otra y uno en la tercera. Ahora pon la última dentro de la segunda. ¡La segunda contendrá entonces tres terrones!2. Jones estaba comprando números sueltos de metal.3. ¿Viste ese cero al final antes de empezar a multiplicar? Si lo ves, sabrás inmediatamente que la respuesta final tiene que ser cero.4. Laringitis tenía 59 años (no hubo ningún año cero).5. El perro, una pequeña Pomerania llamada Henrietta, pesa 5 kilos, y el enorme gatazo llega a los 10. Si supusiste que el perro era "él" y el gato "ella", probablemente no llegaste a ningún lado.6. No hay nada que explicar porque 80 minutos es lo mismo que una hora y "veinte minutos7. El matemático sólo tuvo una hora de sueño. La alarma del reloj lo despertó a las nueve de esa misma noche.8. Treinta dividido por 1/2 es 60, así que cuando se le suman 10, da 70, que es la respuesta final.9. Quedaron tres manzanas.10. 11.13x1=1311. Sólo arrancó cuatro hojas de papel; porque las páginas 111 y 112 son ambas caras de una misma hoja.
12. A1 reloj le llevará 11 segundos dar las 12. Hay un segundo entre cada campanada.








PARADOJA:

Demostrar que tg x= i Λ tg x= -i para todos los valores de x.Consideremos la integral
I=∫sen x cos x dx

Puesto que cos x dx se puede escribir d(sen x), tenemos
I=∫ sen x d(sen x) = sen2 x (1)

Y como también sen x dx se puede escribir –d(cos x), tenemos también
I= -∫ cos x d(cos x) = -1/2cos2 x (2)

De (1) y (2),
sen2 x = -cos2x (3)

Dividiendo ambos miembros de (3) por cos2x, obtenemos
tg2x = -1

Por lo tanto
tg x = √-1 Λ tg x = -√-1 = i = -i


acertijos de alto nivel


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