ÁLGEBRA VECTORIAL
VECTORES DE ℝn

Definición 1

n ={(x1, x2,...,xn ) / (x1, x2,...,xn) ∈ ℝ } (n-uplas de los reales)

Definimos en este conjunto 2 operaciones:

Suma: Para cualesquiera 2 elementos, ( x1, x2,...,xn), (y1, y2,...,yn)
n (x1, x2,...,xn ) + (y1, y2,..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2,..., xn + yn)

Producto por un escalar: (.ℝn ) λ.(x1, x2,..., xn) = (λx1, λx2,..., λxn)

El conjunto ℝn con estas dos operaciones tiene estructura de espacio vectorial y por ello sus elementos pueden ser llamados vectores.



{ (x1, x2,..., xn) : xi ∈ R, ∀ℝn =1, 2, ... n )}

Definición 2

El vector V ∈ ℝn se dice que es combinación lineal de los vectores v1, v2,...., vr

Si existen escalares (números reales) c1, c2,...., cr tal que v = c1v1+c2v2+......+crvr

Ejemplo:

En ℝn el vector (5,13,2) es combinación lineal de los vectores (2,1,2) y (1,4,0) pues existen los dos números: 1 y 3 tales que (5,13,2) =1.(2,1,2) +3.(1,4,0), por lo tanto el primer vector es combinación lineal de los otros dos.
Definición 3

Los vectores v1, v2,...., vr ∈ ℝ n se dicen linealmente independientes (l.i.)
(o bien, que la familia de vectores {v1, v2,...., vr} es libre)


Si cualquier combinación lineal de ellos igualada a “0” obliga a que todos los escalares sean cero, es decir Si c1v1 + c2v2 +......+ crvr o (vector nulo de ℝn) ⇒ c1c2 =.....= cr =0.

Si la familia de vectores no es libre, se dice que los vectores v1, v2,...., vr son linealmente dependientes o que la familia {v1, v2,...., vr } es ligada.


ESPACIO VECTORIAL

Espacio euclidiano o Espacio vectorial: Un espacio euclidiano es el conjunto de n-adas ordenadas, tambien conocido por espacio n-dimencional y de denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1, a2,..., an) donde los vectores Rn se clasifican así: R1 espacio unidimensional, línea recta real. R2 espacio bidimensional, pares ordenados. R3 espacio tridimensional, terna ordenadas. Rn espacio n-dimencional, n-adas ordenadas.
Operaciones Basicas con Vectores en R2:

1. Suma de vectores y multiplicación por un escalar:

Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:


X + Y = (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) y la multiplicación por un escalar se define H(x1, x2) = (Hx1, Hx2).


Las propiedades que cumple la suma de vectores son las misma que cumplían las estructuras algebraica de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

2. Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:

La de cierre bajo la multiplicación Hx,

  • La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,
  • La asociativa (HI)x = H(Ix), y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x.

3. Operaciones Básicas con Vectores en Rn:

Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia seria que en estos serian n-esimos elementos y n-esimos vectores ejemplo:
  • Para suma de vectores

X + Y = (x1, x2, ... , xn) + (y1, y2, ... , yn).

  • Para multiplicación de un vector por un escalar

H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).









  • Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2.

El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:

0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0,

0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.


Espacios Vectoriales:

1. Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

2. Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

3. Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación ,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

4. Cuerpo:
  • Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.
  • Sub cuerpo: Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.


ESPACIO VECTORIAL EN n

El conjunto n es el producto cartesiano de consigo mismo n veces; es decir que:


n = { (x1, x2,..., xn) : xi ∈ ℝ, ∀i = 1, 2, ... n ) }

Observación si n = 1, Rn y en ese caso, para todo número real a, (a) se escribe a.

Si n = 2 Rn =R2 y todo elemento de R2 es un par ordenado de los números reales (x,y); es decir que:

R2 = { (x, y) : x, y ∈ ℝ }

Image2491.jpg


OPERACIONES EN EL CONJUNTO Rn:


En el conjunto Rn definiremos dos operaciones entre sus elementos, las mismas que cumplen ciertas propiedades que hacen que tal conjunto tenga una estructura algebraica llamada espacio vectorial y por lo tanto podremos referirnos a Rn no solamente como el conjunto Rn sino como el espacio vectorial Rn.


Adicción:


Sean X = ( x1, x2,..., xn) ∈ Rn y Y= ( y1, y2,... yn) ∈ Rn, se define la suma de A y B de la siguiente manera :


(x1, x2,... xn) + (y1, y2,... yn) = (x1 + y1,... xn + yn)
Geométricamente, la suma de vectores viene descrita por la siguiente figura:


20070926klpmatgeo_287.Ges.SCO.png

Multiplicación por un número real:


Sean A = ( a1, a2, a3,..., an ) Є Rn y λЄ R. definimos el producto del número real λ por el elemento A de Rn que lo notaremos λ. A o simplemente λ A de la manera siguiente:


Aλ = ( a1λ, a2λ,..., anλ ) Є Rn



Archivo:Scalar multiplication of vectors.svg
Archivo:Scalar multiplication of vectors.svg

PROPIEDADES:

Sean X = ( x1, x2,..., xn) ∈ Rn; Y= ( y1, y2,... yn) ∈ Rn; Z= ( z1, z2,... zn ) ∈ Rnelementos cualesquiera del conjunto de números reales. Se verifica que:

1. Ley conmutativa de la suma de vectores.

x + y = y + x


2. Ley asociativa de la suma de vectores

( x + y ) + z = x + ( y + z )


3. Existe un vector O

x + o = o + x , donde o = ( 0 , 0 , 0 , 0 , , , 0 )


4. Existe un elemento simétrico u opuesto aditivo para todo X = ( x1, x2,..., xn ) ∈ Rn existe un elemento Y = ( y1, y2,... yn ) ∈ Rn, tal que x + y = o.

Se puede verificar que X= ( -x1, -x2,... -xn ) ∈ Rn

5. El producto es distributivo respecto a la suma en reales.

α ( X + Y ) = αX + αY


6. El producto posee asociatividad mixta.


( αβ ) x = α ( β x )


7. El producto es distributivo respecto a la suma en K.


( α + β ) x = αx + βx


8. 1 x = x ( 1 se conoce como neutro multiplicativo)


1 X = X


9. La suma de vectores es ley de composición interna.


Para todo x Є R y para todo y Є Rn x + y Є R


10. El producto es ley de composición externa.


Para todo x Є R y para todo a Є k x.a Є R

SUBESPACIOS VECTORIALES

Un subconjunto no vacio W de Rn se dice que es un subespacio de Rn si W con las operaciones de suma y producto por un número real es un espacio vectorial. Para verificar que W es un subespacio vectorial de Rn sólo es suficiente verificar que se satisfacen las dos leyes de clausura. Es decir: Si v, w Є W entonces v + w Є W y si λ Є ℝ entonces λw Є W, cualquiera que sean v, w Є W y cualquiera que sea λ Є ℝ.

Subconjuntos de 3
W = { ( x, y, z ); x - y + 3z = 0 }
Z = { ( x, y, z ); y = ax, z = bx, x Є ℝ, con a y b fijos }

Son ejemplos de subespacios vectoriales de ℝ3


TEOREMA

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura.


Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacío es un subespacio


  1. Si x Є H y y Є H, entonces x + y Є H
  2. Si x Є H, entonces αx Є H para todo escalar α.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que x + y y αx están en H cuando x y y están en H y α es un escalar.

La anterior prueba contiene un hecho importante que merece la pena ser mencionado:Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.Esto, con frecuencia, facilitará ver si un subconjunto de V en particular no, es un subespacio de V. Es decir, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio. Observe que el vector cero en H, un subespacio de V, es el mismo que el vector cero en V.

Ejemplo 1


Sea U el subconjunto de R3 que consta de todos los vectores de la forma (a, 0, 0) (con ceros en el segundo y tercer componentes). Demuestre que U es un subespacio de R3.

Solución:

Sean (a, 0, 0) y (b, 0, 0) dos elementos de U y sea k un escalar. Se tiene

(a, 0, 0) + (b, 0, 0) = (a + b, 0) Є U
k(a, 0, 0) = (ka, 0,0 ) Є U

La suma y el producto de un escalar pertenecen a U. Por lo tanto, U es un subespacio de R3.


Desde el punto de vista geométrico, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el ejercicio se observa que la suma de los vectores se encuentra en el eje x y también la multiplicación por un escalar de cualquiera de estos vectores.
Ejemplo 2
Sea W el conjunto de vectores de la forma (a, a2, b). Demuestre que W no es un subespacio de R3.

Solución:

W consta de todos los elementos de R3 en los que la segunda componente es el cuadrado de la primera. Así, por ejemplo, el vector (2, 4, 3) se encuentra en W, mientras que el vector (2, 5, 3) no.
Sean (a, a2, b) y (c, c2, d) elementos de W. Se obtiene

(a, a2, b) + (c, c2, d) = (a + c,a2 + c2,b +d)

≠(a + c,)(a + c)2, b+ d)

Por consiguiente, (a, a2, b) + (c, c2, d) no es un elemento de W. W no se encuentra cerrado bajo la adición. W no es un subespacio.


El subespacio trivial

Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector cero nada más, es un subespacio ya que 0 + 0

0 y α00 para todo número real α. Esto se conoce como el subespacio trivial.Un espacio vectorial es un subespacio de sí mismo. Para cada espacio vectorial V, V es un subespacio de sí mismo.

SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES:

Los vectores ola1.pnggeneran el espacio vectorialSin_título.png, si todo elemento ola2.png se puede expresar como combinación lineal de ola3.png. Es decir siu para todoola2.pngexisten escalares ola4.pngtales que


ola5.png

Ejemplo:

a)A1 = ( 1 , 3 ), A2 = ( 4 , 1 ) generan R2

Solucion:
Veamos si cualquier vector A= (x,y) de R2 se puede expresar como combinación lineal de A1 Y A2.

Así:

A = α A1 + αA2 à (x,y) = α ( 1 , 3 ) + β ( 4 , 1 ) à x = α + 4β ,y = 3α + 4β

Resolviendo el sistema para α y β se encuentra que α = 4y – x /11 , β = 3 x - y /11

Como α y β existen cualesquiera que sean los valores de x e y, se concluye que todo vector de se puede expresar como combinación lineal de A1 Y A2. Es decir <A1, A2 > R2 o A2 = R2

b) En R2,¿Cuál es el subespacio generado por el vector v = ( 1 , 3 )
Solución:
< ( 1 , 3 ) >
{wɛ:R2 w = λv, λɛ R}
Como la ecuación vectorial w = λv, con λ ɛ R es equivalente a ( x , y ) = λ ( 1 , 3 ), se sigue que x = λ y y = 3λ .Eliminando el parámetro λ obtenemos que y = 3x,que es una recta que pasa por el origen.

CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE SUBESPACIO
El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones ( la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S y la ley de composición externa (* ) con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores.un espacio vectorial también llamado espacio muestral es el que denomina el falso y el verdadero. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial.

Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si :

  • S no es un conjunto vacío.
  • S es igual o está incluído en V.
  • La suma es ley de composicón interna.
  • El producto es ley de composición externa.

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Consecuencias inmediatas.

1. El conjunto { 0 } es un subespacio de Rn.

2. Todo subespacio de Rn contiene al elemento 0.

3. Si B = (v1,….vk) es un conjunto no vacío de vectores de Rn, entonces la familia L(v1,….vk) formada por todas las combinaciones lineales de elementos de B es un subespacio vectorial generado por B.


4. Todo subespacio admite una base, esto es, un sistema generador formado por vectores linealmente independientes.


5. El número de vectores de una base de un subespacio es fijo, y se llama dimensión del subespacio. Por convenio se establece que la dimensión del subespacio {0} es cero.


6. Si S1, S2 son subespacios de Rn con S1 Ƈ S2 y dim S1 = dim S2, entonces S1 = S2.

Dados dos subespacios, S1, S2 con bases B1 y B2 respectivamente, la suma de S1 y S2 es el subespacio generado por B1 U B2.


S1 + S2 = L(B1 U B2).

Nota: El subespacio vectorial que contiene únicamente el vector nulo se llama subespacio trivial.

SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO DE VECTORES:
Los vectores ola1.pnggeneran el espacio vectorialSin_título.png, si todo elemento ola2.png se puede expresar como combinación lineal de ola3.png. Es decir siu para todoola2.pngexisten escalares ola4.pngtales que ola5.png

Ejemplo:
a)A1 = ( 1 , 3 ), A2 = ( 4 , 1 ) generanSin_título_2.pngSolucion:Veamos si cualquier vector A= (x,y) de Sin_título_2.pngse puede expresar como combinación lineal de A1 Y A2.Así:

A = α A1 + αA2 à (x,y) = α ( 1 , 3 ) + β ( 4 , 1 ) à x = α + 4β ,y = 3α + 4β

Resolviendo el sistema para α y β se encuentra que

α = 4y – x /11 , β = 3 x - y /11

Como α y β existen cualesquiera que sean los valores de x e y, se concluye que todo vector de se puede expresar como combinación lineal de A1 Y A2. Es decir <A1, A2 >Sin_título_2.pngo A2 =Sin_título_2.png

b) EnSin_título_2.png,¿Cuál es el subespacio generado por el vector v = ( 1 , 3 )

Solución:

< ( 1 , 3 ) >{wɛSin_título_2.png: w = λv, λɛ R}

Como la ecuación vectorial w = λv, con λ ɛ R es equivalente a ( x , y ) = λ ( 1 , 3 ), se sigue que x = λ y y = 3λ .Eliminando el parámetro λ obtenemos que y = 3x,que es una recta que pasa por el origen.

Ejemplo:

Sea U el subconjunto de R3 que consta de todos los vectores de la forma (a, 0, 0) (con ceros en el segundo y tercer componentes). Demuestre que U es un subespacio de R3.

Solución:

Sean (a, 0, 0) y (b, 0, 0) dos elementos de U y sea k un escalar. Se tiene


dddddddddd.jpg

La suma y el producto de un escalar pertenecen a U. Por lo tanto, U es un subespacio deR3.


Desde el punto de vista geométrico, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el ejex. Observe que la suma de los vectores se encuentra en el eje x y también la multiplicación por un escalar de cualquiera de estos vectores.


Ejemplo:

Sea W el conjunto de vectores de la forma (a, a2, b). Demuestre que W no es un subespacio de R3.

Solución:

W consta de todos los elementos de R3 en los que la segunda componente es el cuadrado de la primera. Así, por ejemplo, el vector (2, 4, 3) se encuentra en W, mientras que el vector (2, 5, 3) no.


Sean (a, a2, b) y (c, c2, d) elementos de W. Se obtiene


as.jpg

Por consiguiente, (a, a2, b) + (c, c2, d) no es un elemento de W. W no se encuentra cerrado bajo la adición. W no es un subespacio.

BASE
Un conjunto finito de vectores (v1, v2, …, vn) es una base para un espacio vectorial V si
  1. { v1, v2, …, vn } es linealmente independiente.
  2. { v1, v2, …, vn } genera V.

DEFINICIÓN

El conjunto de n vectores e que se define como:




34.jpg

es una base para Rn. Esta base recibe el nombre de base canónica para Rn.
Ejemplo:
Demuestre que el conjunto {(1, 0, –1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)} es una base para R3.
Solución:
Sea (x1, x2, x3) un elemento cualquiera de R3, se buscan escalares a1, a2 y a3, tales que
(x1, x2, x3) = a1(1, 0, –1) + a2(1, 1, 1) + a3(1, 2, 4)
Esta igualdad lleva al siguiente sistema de ecuaciones:


  • a1 + a2 + a3 = x1


  • a2 + 2a3 = x2


  • –a1 + a2 + 4a3 = x3


Este sistema de ecuaciones tiene la solución


  • a1= 2x1 – 3x2 + x3,


  • a2= –2x1 + 5x2 – 2x3 ,


  • a3= x1 – 2x2 + x3


Así, el conjunto genera el espacio.

Ahora se demuestra que el conjunto es linealmente independiente. Considere la siguiente igualdad
b1(1, 0, –1) + b2(1, 1, 1) + b3(1, 2, 4) = (0, 0, 0)

Esto da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones

b1 + b2 + b3 = 0
b2 + 2b3 = 0
–b1 + b2 + 4b3 = 0

Este sistema tiene una solución única, b1 = 0, b2 = 0 y b3 = 0. Por lo tanto, el conjunto es linealmente independiente.
Se ha demostrado que el conjunto {(1, 0, –1), (1, 1, 1), (1, 2, 4)} genera a R3 y es linealmente independiente. Por lo tanto, es una base para R3.

TeoremaSi {v1, v2, …, vn} es una base para V y si v Є V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2, …,cn tales que c1v1 + c2v2 + … + cnvn
TeoremaSi {u1, u2, …, um} y {v1, v2, …, vn} son bases para un espacio vectorial V, entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores.
DIMENSIÓN
Definición:Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores, entonces la dimensión de V es n, que se denota como dim(V).

El conjunto de n vectores



34.jpg

constituye una base (la base canónica) de Rn. Por lo que la dimensión de Rn es n.Rn = n


Note que se ha definido una base para un espacio vectorial como un conjunto finito de vectores que genera el espacio y es linealmente independiente. Dicho conjunto no existe para todos los espacios vectoriales. Cuando este conjunto finito existe, se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita. Si el conjunto no existe, se dice que el espacio vectorial es de dimensión infinita.
BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES
En Rn se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La de uso más común es la base canónica E = {e1, e2, …, en}. Estos vectores tienen dos propiedades:
  1. 1. ei · ej = 0 si i ≠ j
  2. 2. ei · ei = 1

DEFINICIÓN:
Conjunto ortonormal en Rn.Se dice que un conjunto de vectores S = {u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si(1) ui · uj = 0 si i ≠ j

(2) ui · ui = 1

Si sólo se satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

Ejemplo:
Demuestre que el conjunto {(1, 0, 0), (0,3/5, 4/5), (0,4/5, -3/5)} es un conjunto ortonormal.

Solución:

Primero se demuestra que cada para de vectores del conjunto es ortogonal.

(1, 0, 0) . ( 0, 3/5, 4/5) = 0; (1, 0, 0) . (0, 4/5, -3/5) = 0; (0. 3/5, 4/5) . (0, 4/5, -3/5) = 0
Así, los vectores son mutuamente ortogonales. Resta mostrar que cada vector es unitario. Se tiene que


42.jpg

TEOREMA
Si S = {v1, v2, …, vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.
TRANSFORMACIÓN LINEAL
Antes de entrar a la definición de una transformación lineal se muestran el siguiente ejemplo.
Ejemplo:Reflexión respecto al eje x.En R2 se define una función T mediante la fórmula 43.jpg. Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x.


44.jpg


Fig.El vector (x, -y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x, y)


Definición: Transformación lineal
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v Є V un vector único Tv Є W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α, T(u + v) = Tu + Tv yT(αv) = αTv

Notas sobre la notación.

1. Se escribe T:V→W para indicar que T toma el espacio vectorial V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

Ejemplo 1

Una transformación lineal de R2 en R3.

Sea T: R2→R3 definida por


external image 44.jpg

Por ejemplo external image 45.jpg. Entonces


external image 46.jpg

Pero


external image 47.jpg
Así


external image 48.jpg
De manera similar

external image 49.jpg

Así, T es una transformación lineal.

Ejemplo 2
Transformación de reflexión.

Sea T: R2→R2 definida por


external image 50.jpg

Es sencillo verificar que T es lineal. Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y


VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
  • VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES
Los vectoresola1.png son linealmente dependientes si existen escalaresola4.pngno todos nulos tales queola5.pngy X = 0

Ejemplo:
  1. Determinar si los vectores A1 = ( 1, 1, 3 ), A2 = ( 0, 0, 0 ), A3 = ( 4, 1, 0 ) son linealmente dependientes.

Solución:

Se tiene αA1 + βA2 + λA3 = 0 ⇔ α (1,1,3) + β (0,0,0) + λ(4,1,0) = (0,0,0)

α + 4λ = 0

α + λ = 0

3α = 0b

De donde se sigue que α = 0, λ=0 y β puede tomar cualquier valor.

Luego, existen infinitas soluciones de la forma (α,β, λ) = (0,β, 0), conβ є R. Es decir que <A1, A2, A3> = <A1, A3 >.

  • VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Los vectoresola1.pngson linealmente independientes si

k1.png

La negación de dependencia lineal es la independencia lineal. De tal manera que una definición equivalente de independencia lineal es la siguiente:Los vectoresola1.pngson linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.









Ejemplo:En K2.pngdeterminar la dependencia o independencia de los vectores

1. A1= A1=(1, 3,2), A2 = (1, 4,1), A3 = (1, 0,2).

Solución:

Se tiene que αA1 + βA2 + γA3 = 0 ⇔ α (1, 3,2) + β (1, 4,1) + γ (1, 0,2) = 0

α + β – γ = 0

3α +4β = 0

2α + β + 2γ = 0

Multiplicando por -3 a la primera ecuación y sumándola con la segunda, se tiene que Β = 3γ

Multiplicando por -2 la primera ecuación y sumándola con la tercera se sigue que β = 0

y en consecuencia Y =0α.

Luego los vectores A1, A2, A3, son linealmente independientes.

COMBINACIÓN LINEAL
Seanola1.png.Se denomina lineal de los vectores ola3.pnga toda expresión de la forma ola5.png.Dondeola4.pngson números reales cualesquiera.Escribiremos K3.pngEl conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresola1.png es un subespacio vectorial deSin_título.png, el mismo que lo notaremos<A1, A2, A3, …, Ap> y que leeremos: “subespacio generado por los vectoresola3.png.Es decir que:{A єSin_título.png: A = Σ αi Ai, con αi є Reales , ɏi = 1, 2, …, p.} = <A1, A2, A3, …, Ap>

Ejemplo
1. En Sin_título_2.pngdeterminar si el vector A=(1,3) es combinación lineal de los vectores:a) A1= (1,1), A2 = (-1,3) Debemos ver si existen escaleres α y β tales que α A1 + βA2 = A. es decir tales que α (2,2) + β(-1,-1) = (1,3), de donde se obtiene el sistema1 = α - β 3 = α + 3β Cuya solución es α= 3/2, β=1/2 b) A1 = (2,2), A2 = (-1,-1) Veamos si existen escalaresα y β tales que α A1 + βA2 = A.
Es decir tale que α (2,2) + β(-1,-1) = (1,3), de donde se obtiene el sistema1= 2α – β 3 = 2α + β De dicho sistema se sigue que 1=3, lo cual es un absurdo. Consecuentemente, no existen escalares α y β tales que α A1 + βA2 = A, o lo mismo, el vector A no se puede expresar como combinación lineal de los vectores A1 y A2

ESPACIO VECTORIAL GENERADO
Un conjunto de n-vectores Sin_título.pnggenera un espacio vectorial a partir de todas las combinaciones lineales de n-vectores.


PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO
Un uso importante del producto punto está en la determinación de las proyecciones. La proyección del vector A sobre B es el vector OC que se muestra en la figura.

Se tiene que C = λB y CA = A - λB. Por otra parte

<CA|B>0, ⇔ <A - λB|B> ⇔ <A|B> - λ<B|B>=
Imagen6.png

De donde se obtiene el valor de λ:

λ = <A|B>/<B|B>

<A|B>/ ||B||2
Consecuentemente la proyección del vector A sobre el vector no nulo B esta dada porProyBA

λB = (<A|B>/ ||B||2) B

Ejemplo:

  1. Hallar la proyección del vector A=(3,5) sobre el vector B=(1,2).

Solución.ProyBA = λB = (<A|B>/ ||B||2) B = (<(3,5)|(1,2)>/ ||(1,2)||2) (1,2) = 13/5(1,2) = (13/5, 26/5)

NORMA DE UN VECTOR

La norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable necesariamente con el de la línea recta; por ello, se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclídea definida más arriba para extraer las condiciones que debe cumplir la "longitud de un vector", o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:


  • Siempre es no negativa e independiente del sentido (orientación) de la medición.
  • La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño (es decir, doble -o triple- de tamaño significa doble -o triple- de longitud).
  • La longitud entre dos puntos será siempre menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular: la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado, también generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz).

Esto genera la siguiente definición matemática:

1.png

5.png
Para todo 3.png de

1.png
su norma ha de ser no negativa, y será cero si y sólo si 3.png es el vector cero:
9.png
si

8.png
y

10.png
si cumple:

  1. Para todo 3.png de y para todo k de 2.png se satisface que

1.png
5.png

12.png


  1. Para todos 3.png se cumple que 35c69e96a5e1e7da986b170e6de2eeee.png (desigualdad triangular)
Cualquier operador que cumpla estas tres condiciones, y en cualquier geometría, será un operador norma.









Dado el vectorM1.png , la norma o longitud del vector x que la notaremos ||x|| esta dada por.

hghjb.png

En R2, ||x||=||(x,y)||= √( x2+ y2 ) y en R3, ||x||=||(x,y,z)||= √ (x2 + y2 + z2).

ghfvghv.png

Propiedades de la norma

propi25.jpg
PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO NULO
Un uso importante del producto punto está en la determinación de las proyecciones. La proyección del vector A sobre el vector B OC que se muestra en la figura siguiente



Imagen1.png

Se tiene que C =λB y CA = A - λB. Por otra parte


<CA I B>

0 <----> <A- λB l B >

0 <----> <A l B> - λ <B l B> = 0


de donde se obtiene el valor de λ :

λ = <A l B> / <B l B> = <A l B> / llBll^2


Consecuentemente la proyección del vector A sobre el vector no nulo B esta dada por


Proy BA = λB = <A i B> / llBll^2 . B


EJEMPLO:


  • Hallar la proyeccion del vector A = (3,5), sobre el vector B = (1,2)

Solución:

Proy BA = <A l B> / llBll^2.B = <(3,5) l (1,2)> / ll(1,2)ll^2 . (1,2)=13/5 (1,2)=(13/5, 26/5)

Se nota al conjunto Sin_título.pngde todas de todas las n-uplas ordenadas de números reales

Sin_título_1.png

Cada número realSin_título_4.png que conforma la n-upla se llama componentes de coordenadas de la u-upla y si estas guardan un orden se dice que xi es la i-esima coordenadas de Sin_título_5.pngparaSin_título_6.png

Por ejemplo:

Sin_título_7.png









VECTORES ORTOGONALES
Dos vectores X, Y enSin_título.pngson ortogonales si su producto punto es nulo; es decir,

si <X|Y>=0 y se nota X⊥Y

Luego:X⊥Y ⇔ <X|Y>=0


Teorema 1: (de Pitágoras). Sean X, Y vectores deSin_título.png. Entonces:


X⊥Y⇔>= X + Y


Definición: Un vector X es unitario si ll X + Y ll^2 = ll X ll^2 + ll Y ll^2.


Observación:Dado cualquier vector no nulo Y deSin_título.png; siempre es posible encontrar un vector unitario u en la misma dirección que el vector Y y ese vector es:

u = Y / llYll


1.- Un vector unitario u en la dirección del vector v = ( (2) ^ 1/2, π ) es,

u = u / ll u ll =( (2 ^ 1/2 ) / (2 + π ^ 2 ) ^ 1/2 , π / (2 + π ^ 2 ) ^ 1/2 )


2.- Un vector unitario u en la dirección de v= (1, 2^1/2, π)

v = v / ll v ll = ( 1 / ( 3 + π ^ 2 ) ^ 1/2 , ( 2 ^ 1 / 2 ) / ( 3 + π ^ 2 ) ^ 1/2, π / ( 3 + π ^ 2 ) ^ 1/2 )


EJEMPLOS:1.- La base canónica {e1, e2, ... , en} deSin_título.png, donde ei = (0, 0, ..., 0, 1, 0), es una base ortonormal. Además, para todo

M1.pngSe tiene que:


X = ( x1 , x2 , x3 , ..., xn ) = ∑_( i = 1 ) ^ n xiei.


2.- El conjunto { (1 / ( 2 ^ 1/2 ), 1 / ( 2 ^ 1/2 ) ), ( -1 / ( 2 ^ 1/2 ) ), 1 / ( 2 ^ 1/2 ) ) } es una base ortonormal deSin_título_2.png.


3.- El conjunto { ( 1 / ( 6 ^ 1/2), 1 / ( 6 ^ 1/2), 2 / ( 6 ^ 1/2 ) ) , ( 0 , 1 / ( 10 ^ 1/2 ), 3 / ( 10 ^ 1/2 ) ), ( 1 / ( 11 ^ 1/2 ), -3 / ( 11 ^ 1/2 ), 1 / ( 11 ^ 1/2 ) ) } es una base ortonormal deK2.png.


Teorema 2: Si A= {e1, e2, e3, ..., en} es una base ortonormal deSin_título.pngentonces:

ll a1e1 + a2e2+ a3e3, ..., anen ll^2 = (a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2+... + (an)^2,


Teorema 3: Para todo a1, a2, a3, ..., an ∈ R.


Demostración:

ll a1e1 + a2e2 + a3e3+ ...+anen ll ^2 = <∑_(i=1)^n aiei l ∑_(j=1)^n ajej>

= ∑_(i=1)^n∑_(j=1)^n aiaj <ei l ej >


=∑_(i=1)^n aiai <ei l ei > = =∑_(i=1)^n (ai)^2


= (a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2+... + (an)^2.


Teorema 4: Si A= {e1, e2, e3, ..., en} es una base ortonormal deSin_título.pngentonces, para todo v ∈Sin_título.png

,v= <v,e1>e1 + <v,e2>e2 + ... + <v,en>en



Teorema 5: ll v ll^2 = <v,e1>^2 + <v,e2>^2 + ... + <v,en>^2.


Demostración: Si v= x1e1 + x2e2 + x3e3 +... + xnen, como <ei l ej > = 0 si i≠j y <ei l ej> =1 si i=j, es evidente que <v l ei> =xi y en consecuencia v=∑_(i=1)^n xiei =∑_(i=1)^n <v l ei >ei.


Además:


ll v ll ^2 = < v l v > = <∑_(i=1)^n xiei l v >

= ∑_(i=1)^n < xiei l v >= ∑_(i=1)^n xi <ei l v >= ∑_(i=1)^n < v l ei > <ei l v >=∑_(i=1)^n < v l ei >^2.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
A continuación probaremos que si A y B son vectores no nulos en
mathbb{R}^2
mathbb{R}^2
, entonces




Imagen4.png
Consideraremos un triangulo cualquiera, como el que se indica en el gráfico siguiente


Imagen2.png
Se tiene que :


Imagen3.png

Por otra parte, por el teorema del coseno :


Imagen5.png
De la igualdad

Imagen6.png
Se deduce que


Imagen4.png

Esta expresión es a menudo usada para encontrar el angulo θ entre dos vectores.



DEFINICION:Dados dos vectores X y Y de Rn, el coseno del angulo θ que forman los dos vectores está dado por :


cos (θ) = <XIY> / II XII IIYII , IIXII no = 0 ^ IIYII no = 0

donde 0 <= θ <= 2 pi (360 grados)


EJEMPLO:

El producto punto de los vectores a = (1,3,-2) y b = (-2,4,-1) deK2.pnges :

<a I b>= 1 (-2) + 3(4) + (-2)(-1) = 12


Usando la igualdad <a I b>= II aII IIbII cos θ = (14)^1/2. (21)1/2 cos θ

lo que implica que θ = 45,6 grados.

Un uso importante del producto punto es que sirve como prueba para determinar cuando dos vectores son o no ortogonales. Dos vectores son ortogonales si el angúlo entre ellos es 90 grados.


Usando este hecho y que <a I b>= II aII IIbII cos θ vemos que el producto punto de dos vectores ortogonales es cero.

Reciprocamente, la única forma para que el producto escalar sea cero es que el angulo entre los dos vectores sea 90 grados (o trivialmente si uno o lois dos vectores es el vector nulo). Por lo tanto , dos vectores no nulos tienen el producto punto nulo si y solamente si ellos son ortogonales.

external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image002.jpgNotación:1. external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image004.jpg|Los elementos , se llaman vectores, y se suelen denotar por las letras de “nuestro” alfabeto u, v, w,….. Por ejemplo external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image006.jpg Nos referimos en principio, a los números , como las componentes del vector2. Los elementos del cuerpo external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image008.jpg se llaman escalares, y se suelen denotar por las letras del afabeto griego external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image009.jpg …. Estos son los numeros reales .


DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Si A es un punto de la recta y v su vector director y además P es el punto exterior, la distancia de P a r es:


dd12.jpg
Siendo el numerador el módulo del producto vectorial.


EJEMPLO:

Hallar la distancia del punto P(1, 0, -2) a la recta r: (A, v), siendo el punto A(4, 2, -1) y el vector director de la recta v(0, 1, -1)i j k

(4-1 ,2-0, -1+2)|AP x v|= (0 1 -1) | -3i+3j+3k | =(√9+9+9 3√3d)(P, r) = |v| √(02+12+12) √2 √2 √2


DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO


Sea el plano π: Ax+By+Cz+D=0 y P(p1, p2, p3) es el punto exterior, la distancia de P a π es:


dd13.jpg

Ejemplo:

Hallar la distancia del punto P(2, -3 , 4) al plano π : x + 5y – 6z + 6 = 0

La distancia es:

|1.2 + 5.(-3)+(-6).4 + 6|= |2 – 15 – 24 + 6|= 31 31. √62d(P, π)

=√(12+52+(-6)2) √(1+25+36) √62 62= √62 / 2


PRODUCTO CRUZ

48.gif
external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image010.jpg
En adelante, abusando de la notacion, usaremos el simbolo del producto usual para la operación externa esto es:


52.gif

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuyadirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:49 (1).gif


Ejemplo:Calcular el producto cruz de los vectores 1.GIF = (1, 2, 3) y 2.GIF = (−1, 1,

3.GIF

4.gif

Dados los vectores 5.gif y 6.gif, hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a 1.GIF y 2.GIF.

7.gif

8.gif

9.gif

El producto vectorial de 12.GIF es ortogonal a los vectores 1.GIF y 2.GIF.

Producto Mixto

producto mixto
producto mixto

El producto mixto de tres vectores equivale al desarrollo de un determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

producto mixto
producto mixto

EjemplosCalcular el producto mixto de los vectores:
vectores
vectores

producto vectorial
producto vectorial

producto mixto
producto mixto
























































Como si “ multiplicasemos” un numero real y un vector, pero en realidad lo que hacemos con esta operación es operación externa, no lo olvidemo4. external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image011.jpgEl vector nulo se denota por la letra griega external image C:%5CUsers%5CPC04%5CAppData%5CLocal%5CTemp%5Cmsohtmlclip1%5C01%5Cclip_image012.jpg esto