POLINOMIOS

DEFINICIÓN ALGEBRAICA


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Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios, constituida por la siguiente fórmula:

donde: car.png término independiente.


GRADO DE UN POLINOMIO


El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

  • Polinomio de grado 0
P(x) = 2

  • Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2

  • Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2

  • Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

  • Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2


CLASES DE POLINOMIOS


  • Polinomio Nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.

  • Polinomio Homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.

IM1.png
  • Polinomio Heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.

IM2.png
  • Polinomio Completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

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  • Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

IM4.png

OPERACIONES CON POLINOMIOS



POLINOMIOS(6) - operaciones.jpg

Adición de polinomios

La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) del mismo grado.


suma.png

Ejemplo:

suma4.png


Multiplicación por polinomios


La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera X, Y, Z, se cumplirá que:


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Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:
a). Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo.

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b). Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

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c). Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo.

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d). Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo

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En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

a).Multiplicación de monomios.
b). Multiplicación de un polinomio por un monomio
c). Multiplicación de polinomios


Multiplicación de monomios


Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores.
Ejemplo:
Multiplicar external image image082.gif
Solución: external image image084.gif

Ejemplo:
Multiplicar external image image086.gif
Solución: external image image088.gif


Multiplicación de un polinomio por un monomio


Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.
Ejemplo:
Multiplicar: external image image098.gif

Solución: external image image100.gif

Multiplicación de polinomios


Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

Ejemplo:
Multiplicar: external image image116.gif

Solución: Se multiplican los dos primeros términos


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A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.


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División de polinomios


La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente.Imagen19.png

Imagen22.png
Imagen23.png

División de un monomio por otro

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

Ejemplo:
Dividir external image image091.gif
Solución: external image image093.gif

Ejemplo:
Dividir external image image095.gif
Solución: external image image097.gif

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:
a). Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.b). Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.
Ejemplo:
Dividir external image image099.gif


División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos.
Ejemplo:
Dividirexternal image image105.gif
Solución: external image image107.gif
Ejemplo:
Dividirexternal image image109.gif
Solución: external image image111.gif

División de un polinomio por un polinomio.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:
1). Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.2). Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente3). Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.4). Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.5). El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.6). Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.
EJEMPLO:Dividir Imagen6.gif
SOLUCIÓN: imagen7.gif

EJEMPLO:DividirImagen8.gif
SOLUCIÓN: imagen9.gif

División Sintética

La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por x-a.

Ejemplo:
Use la división sintética para hallar el cociente y el residuo que resultan de dividir.

P(x)= 4x5 - 5x3 - 40x ente x + 2
Solucion.

x + 2 = x - (-2), o sea que y = -2

P(x) = 4x5 - 15x3 - 40x = 4x5 - x4 - 15x3 + x2 - 40x + 0

Imagen15.gif

Por tanto el cociente es Q(x) = 4x4 - 8x3 + x2 - 2x - 36
un residuo es R = 72

Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica:
1). El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo.2). El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo.3). El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor, cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo.4). El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor, cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo.
Ejemplo:
Dividamos x3 - 5x2 + 3x + 14 entre x - 3
SoluciónImagen222.png


:Resultado x2 - 2x - 3 residuo: 5

Diferencia de cuadrados
Aquí tenemos un producto notable m5.pngpodemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de cuadrados. m6.png

EJEMPLO:Factorizar external image image018.gif

EJEMPLO:Factorizar external image image020.gif
  • Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos,dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie
x2 + xy + y2

x2 + xy + y2 + (xy - xy)

x2 + 2xy + y2 - xy = (x+y)2 - xy

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
g..jpg
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
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  • Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar).
Quedando de la siguiente manera:
h..jpg
  • Trinomio de la forma im7.png

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
i..jpg
  • Cubo perfecto de Tetranomios
Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:
j..jpg
Raíces de un polinomioLa raiz de un polinomio es un numero el que hace el valor del polinomio valga cero, es decir, cuando se resuelve un polinomio a cero, las soluciones serán las raíces del polinomio.Por ejemplo:im,.pngal igualarlo y resolverlo a cero tenemos:


x2 + x - 12 = 0 Igual a cero.(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando. x = - 4 Solucion 1x = 3 Solucion 2
Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12

Factorización de polinomios
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
Factorización
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Multiplicación

METODOS DE FACTORIZACION




La factorizacion.cmap

  • Sacar factor común:

Es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
  • Factor común monomio
a..jpg
Ejemplo: factorizar

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  • Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.un ejemplo:
b..jpg
  • Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
c..jpg
  • Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo.
d..jpg

TEOREMA DE HORNER


Hay polinomios cuya evaluación puede ser complicada. El método de Horner sirve para evaluar un polinomio de forma anidada, esto es un paso previo para localizar los ceros de un polinomio con métodos como el de Newton-Raphson. Este método requiere solo de n multiplicaciones y n sumas para evaluar un polinomio de grado n. El teorema de Horner es el siguiente:
Dado el polinomio:
external image b8e3cb7694ddc4f4054f38b1a8b4bbcb.png

donde external image 220cb03f9aa9cad8e8558109cb82663d.png son números reales, queremos evaluar el polinomio a un valor específico de external image 6373accf16c083723e8abae2f5401af2.png, digamos external image f1e83195442682a7713d292eb2b90737.png.
Para llevar a cabo el procedimiento, definimos una nueva secuencia de constantes como se muestra a continuación:
Imagen223.png
Entonces external image 9b7226dd4d28110910bd1f577007d146.png es el valor de external image d61cd363f3090f2002c2378f82ef0f45.png.
Para ver como funciona esto, nótese que el polinomio puede escribirse de la forma

external image 5dabe11eea40e2ea99f4d83f9e891584.png

Después, sustituyendo iterativa mente la bi en la expresión,
Imagen225.png
Ejemplo Efectuar la división polinómica expresada por :


Imagen0.gif



Solución :
Los grados del cociente y residuo serán :

q° = D° – d° = S – 2 = 3
r° = d° – 1 = 2 – 1 = 1


Dividir :

Solución :

q° = D° – d°
q° = 5 – 2 = 3
r° = d – 1 = 2 – 1 = 1

g(x) = x3 + 4x2 + x - 6 ( cociente obtenido )
R(x ) = 3x – 1 ( residuo obtenido)

Funciones Polinómicas

Las funciones polinómicas son funciones que se basan en expresiones de tipo polinomio. Una función polinómica puede definirse como la operación resultante de substituir la letra x en un polinomio en esa variable por un número. La funciones polinómicas reales son funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillos de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolcación polinómica o para integrar numercamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de horner.

Ejemplos de funciones polinómicas

caso1.png
Polinomio de grado 2

caso2.png



Polinomio de grado 3


caso3.png
Polinomio de grado 4

caso4.png
Polinomio de grado 5
Regla de Descartes

El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes.
Supongamos que tenemos el polinomio.
external image latex.php?latex=p%28x%29%3Dx%5E5%2B3x%5E4-5x%5E2%2Bx-7&bg=ffffff&fg=000000&s=0
Si igualamos external image latex.php?latex=p%28x%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0a 0 obtenemos la siguiente ecuación polinómica:


external image latex.php?latex=x%5E5%2B3x%5E4-5x%5E2%2Bx-7%3D0&bg=ffffff&fg=000000&s=0

Ordenemos los coeficientes según el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor.
external image latex.php?latex=%5C%7B1%2C3%2C0%2C-5%2C1%2C-7%20%5C%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del 3 al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando external image latex.php?latex=C%28p%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0al número de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio external image latex.php?latex=p%28x%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0, tendríamos entonces que en este caso external image latex.php?latex=C%28p%29%3D3&bg=ffffff&fg=000000&s=0.

En conclusión, Rene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio.
Esta regla dice lo siguiente:
"El número de raíces reales positivas de un polinomio f(x) es igual al número de cambios de signo de término a término de
f(x)".
Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término.
Por ejemplo el polinomio:

Imagen1.pngun cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva.
Imagen2.pngtiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas
Imagen3.png tiene dos raíces positivas
Imagen4.pngNo tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas.

Representación gráfica de las raíces de un polinomio

Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto lo identificamos como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas).
Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio graficado.
A continuación presentamos algunas funciones con sus raíces, factores y gráficas:


Imagen1.png
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Imagen1.png

external image fig2.gif
Imagen3.png

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Teorema fundamental del Álgebra



gauss-carl-friedrich.jpg

Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡a los 20 años de edad !, Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:


Todo polinomio de grado n tiene n raíces.

Es decir que la ecuación:
NNH.png
tiene n soluciones. Recordemos que es esta página sólo tendremos polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde escribimos la función, las raíces y la gráfica y verifica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces.

Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces:



Imagen4.png




Imagen5.png

1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar external image image046.gif, podríamos escribir external image image048.gif

Demostración:Pero no está factorizado por completo por que external image image050.gif puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es external image image052.gif. De esta manera la factorización completa es external image image054.gif. Donde external image image056.gif es el MFC.

Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. SiP(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, queP(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P(0)=P0.

Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1, entonces Cr es:


external image circunit.gif

Sea además P(Cr) la imagen a través de P de Cr, i.e., P(Cr)={ P(z) : |z|=r }. Observar que P(Cr) es una curva cerrada. ¿Por qué? Observar también que si r es suficientemente pequeño (cuán pequeño dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces todo elemento de P(Cr) estará muy cerca de P0 en el plano complejo y el origen del plano complejo estará en el "exterior" de la curva P(Cr). ¿Por qué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y r=0.75, entonces P(Cr) es:

external image figr.gif

Por el contrario, si R es suficientemente grande (nuevamente, cuán grande dependerá de los valores de los coeficientes del polinomio P), entonces P(CR) se parecerá a n círculos del plano complejo centrados en P0 y el origen del plano complejo estará en el "interior" de P(CR). ¿Porqué? Por ejemplo, si P(z)=(2+2I)-1.5*·z+2I·z2+I·z3 y R=8.0, entonces P(CR) es:

external image figR.gif


Si hacemos que µ varíe entre r y R en forma contínua y estamos dispuestos a aceptar que en dicho caso P(Cµ) varía en forma contínua desde P(Cr) a P(CR), tendremos que el origen pasa de estar al "exterior" de la curva inicial al "interior" de la curva final --- necesariamente en alguno de los valores intermedios de µ, tiene que suceder que P(Cµ) pasa sobre el origen, i.e., existe un valor de z para el cual el polinomio P(z) se anula o lo que es lo mismo, P(z) posee una raíz. Se concluye que el TFA aplica a P(z) como queríamos comprobar.






Ejemplo:

Factorizar external image image068.gif

Ejemplo:

Factorizar external image image070.gif

se cumplirá que