EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraica mente cerrada que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que R C. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i, o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.
Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

DEFINICIÓN 1 :
Por número complejo entenderemos un número de la forma α= a + bi , de donde a y b son
números reales e ijij.png.
DEFINICIÓN 2 :
Al número real a se le llama la parte real de α y se nota por Re(α).Al número real b se lo llama la parte imaginaria de α y se nota por : Im (α ).A i se le llama unidad imaginaria.

Ejemplos:

1. Si α = 2 + 3i tenemos que Re(α) = 2 e Im (α ) = 3.
2. Si α = 2 tenemos que Re(α) = 3 e Im (α ) = 0
3. Si α = 4i tenemos que Re(α) = 0 e Im (α ) = 4
4. El conjunto de los números complejos se lo notara por C , esto esC = {α α = a + bi ; a,bϵR;
ijij.png}.Si la parte real de un numero complejo es igual a 0 ; es decir , si es de la forma bi ; se dice que el número complejo es imaginario puro.Es fácil ver que R C ; pues un número real no es más que un número complejo cuya parte imaginaria vale 0. Es decir: a R , a = a + 0 × i. En C definimos dos operaciones internas, una operación adición y una operación multiplicación de la siguiente manera :Sean α , β C α = a + bi y β = c + di entonces

α + β = (a + c ) + ( b + d )i
α. β = (ac - bd ) + (ad + bc )i

Note que las operaciones del primer miembro son entre números complejos; mientras que las del segundo miembro son entre números reales. Veremos a continuación que los números complejos con estas operaciones así definidas en un cuerpo .

1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO CUERPO


Teorema :

El conjunto C con las operaciones adicionales y multiplicación es un cuerpo . Es decir en C con las operaciones de adición y multiplicación se satisfacen los siguientes axiomas :

C1. α, β C: α + β = β+ α .
C2. α, β y γ C: α + (β + γ ) = ( α + β) + γ .
C3. 0 C: tal que α C: α + 0 = 0 + α =α.}
C4. ( α C) (β C) (α + β = 0).El elemento β se denomina el opuesto de α y se nota - α. Si α = α + bi entonces α = - α - bi.
C5. α, β C: α.β = β α
C6. α, β y γ C: α(β γ) = (αβ) γ.
C7.Existe 1 C tal que α C: α x 1 = α x 1= α .
l.png
C9. α, β y γ C: α(β + γ ) = α β + αγ.

Demostración:
Que las operaciones + y son internas, es decir, que la adición y multiplicación de dos números complejos es otro número complejo se sigue de la definición.
Que C satisface los axiomas C1, C2, C5 y C6 se deduce fácilmente de las propiedades de los números reales.
Probemos a manera de ejemplo los axiomas C3, C4, C7, C8, C9. Sean α, β y γ números complejos con α = a + bi , β = c + di y γ = e+ fi.
C3.Es claro que el complejo 0= 0 x 0 x i, es el modulo para la suma pues:
α + 0 = ( a+ bi ) + ( 0+ 0i ) = ( a+ 0 ) + ( b+ 0 )i = a+ bi = α
C4.Sea α = a + bi entonces si α' =- a – bi se sigue inmediatamente que:
α +α' = 0
α +α'= ( a+ bi ) + ( - a-bi )
(a – a) + (b – b) i= 0+ 0i = 0
C7.Es claro que el complejo 1 es el modulo para la multiplicación pues :
1.α = ( 1+ 0i ). ( a+ bi ) = (1.a -0b ) + (1.b+ 0.a )i = a+ bi = α
ll.png
C9. Debemos probar que :
α(β + γ ) = α β + αγ .
α(β + γ ) =( a+ bi )(( c+ di ) + ( e+fi )) = ( a+ bi )(( c+ e )+ ( d+f )i )
= (a( c+ e )-b ( d+f ) )+ (a( d+ f )+b ( c+e ) ) i
=(ac+ae -bd -bf )+ (ad+af=bc+be ) i
= (ac -bd)+( ad+bc ) i+ (ae-bf)+(af+be ) i
= α β + αγ .
Con lo que hemos probado que C es un cuerpo .Como R es también un cuerpo y por ser R C, se dice que R es un subcuerpo de C . Si αC , el opuesto aditivo de α se lo nota por –α y si α ≠0 al inverso multiplicativo se lo nota por

Ejemplo:

Cálcular (z - i ) (z + i )

Solución:

g.png


2. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS


Similarmente como nosotros representamos a los números reales como puntos de una recta, los números complejos pueden ser representados como puntos de un plano.En un eje representamos la parte real del número y en un eje perpendicular representamos la parte imaginaria como indica en la Figura
.

17.jpg


Este plano XY se denomina plano complejo; con esta representación se puede obtener la suma de α + β por la regla del paralelogramo. Si α = a + bi y β = c + di tenemos que: γ= α+ β.

3. VALOR ABSOLUTO O MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO


Definición :

Sea α = a + bi un numero complejo, el módulo de α es el número real no negativo |α | definida por:
io.png
Gráficamente |α | representa la distancia del origen al punto α.
Observación: Si α = a + bi entonces er.png

Ejemplos:

1. Si α = 3 + 4i entonces kl.png
2. Si α = 2 entoncesmk.png
3. Si α y β son números complejos y si A y B son los puntos asociados en el plano complejo entonces |α-β | representa la distancia entre A y B. Es decir que: d(A, B)= |α-β |.

Teorema .

Sean α y β números complejos entonces:
f.png

Demostración:

Sea α = a + bi.

1. Si |α | =0; es decir si, a.png se sigue que b.png y en consecuencia a=b=0 Recíprocamente, si a=0 entonces |α | =|0+ 0i | = 0.

2. Si α = a + bi, entonces,
c.png


3. Si α = a + bi entonces ,
d.png

4. Probemos ahora que: |α.β |=|α ||β |. En efecto:


e.png
Es decir:
f.pngy extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros tenemos: |αβ |=|α ||β|.

5. Probar que Re (α) ≤ |α | e Im (α) ≤ |α |. En efecto si α = a + bi tenemos que:
q.png De similar manera se prueba que Im (α) ≤ |a |.

Ejemplo:

1. Si α = 2 + 3 i y β = 4 - 2 i entonces:

he.png

Por otra parte,
mi.png
y obviamente:
da.png

2. Si α = 1 + i y β = 2 + 2 i entonces:
mu.png
Por otra parte,
ma.png
Luego, en este caso: |α+β | = |α |+|β |.Se deja como ejercicio para el lector, determinar en forma general, cuando se tiene la igualdad.

4. LA FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO


Podemos asignarle a cada número complejo Z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ. Ver la figura:


Imagen1.jpg

Nota: El ángulo θ se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo puede venir expresado en unidades de grados o radianes.
De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo lo rectángulo, con catetos a y b, hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es poa.jpg igual al módulo del complejo Z.


Imagen5.jpg

Usando conocimientos de trigonometría en el triángulo anterior, se demuestran las relaciones
a = |Z|cosθ
b = |Z|senθ
Conocidas como Fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas. Cualquier ángulo α, tal que senα = senθ y cosα = cosθ, se llama una amplitud o argumento para el complejo Z. Sabemos por trigonometría, que dos argumentos cualesquiera de Z difieren en 2π. El argumento θ, tal que −π ≤ θ ≤ π, se llama amplitud o argumento principal de Z. Está claro que si conocemos el argumento principal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas, de acuerdo a las fórmulas anteriores. Se tiene entonces la Representación de Z en Forma PolarZ = |Z| (cosθ + i senθ)Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de Z = a+bi, entonces |Z| y θ se calculan de acuerdo a las fórmulas |Z| =poa.jpg
θ = arc tag b/a
llamadas Fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares.Ejemplo.1. Un número complejo en el primer cuadrante Hallar la Forma Polar del complejo Z = 2 + 2i, y dar su representación geométrica en el plano.Solución:En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo, para lo cual usamos las fórmulas. Luego
pa.pngPara calcular el ángulo, podemos usar la calculadora de mano
θ = arctg 2/2 = arctg1 = 45° Luego la representación polar de Z espi.pngLa representación de este número en el plano complejo aparece en la figura

IMAGEN2.jpg

5. SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS


Ahora nos dedicaremos al estudio de las propiedades de los números complejos relacionadas con la suma de ellos.La operación suma de números complejos está basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Más precisamente sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i dos números complejos. Entonces la suma de z1 con z2, denotada por z1 + z2 es el número complejo.

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i

Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.

Ejemplo.

1. Para sumar z1 = 3 + 2i con z2 = −8 + 4i

Solución:

z1 + z2 = (3 + 2i) + (−8 + 4i) = (3 − 8) + (2 + 4)i
z1 + z2 = −5 + 6i

6. RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS


La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. Más precisamente: Sean Z = a + bi y W = c+di dos números complejos, entonces la diferencia o resta entre Z y W viene dada por Z − W = (a − c) + (b − d)i . Es decir, para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.
Ejemplo.

1. Sean Z = 4 + 7i y W = 2 + 3i.
Z − W = (4 − 2) + (7 − 3)i = 2 + 4i

Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales.

1. Propiedad de Cierre para la suma.
Si Z y W son dos números complejos entonces tanto Z + W como Z − W son números complejos.

2. Propiedad asociativa.
Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene Z + (W + U) = (Z + W) + U

3. Propiedad Conmutativa.
Si Z y U son números complejos, se tiene Z + U = U + Z

4. Propiedad del elemento neutro.
El número complejo 0 = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene Z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = Z de la misma forma, se puede probar que 0 + Z = Z

5. Propiedad del opuesto.
Si Z = a+bi es un número complejo, el opuesto de este es −Z = −a − bi, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface Z + (−Z) = (−Z) + Z = 0
Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en don de aparezcan suma y restas de números complejosEjemplo.
1. Calcule el valor de Z donde
Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + [(6 + 3i) − (7 + 2i)]]
Z = (5 + 12i) + [(10 − 8i) + (−1 + i)]
= (5 + 12i) + (9 − 7i)
= 14 + 5i
  • VIDEO DE SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS.





7. PRODUCTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS


Sean Z = a + bi y W = c + di definimos su producto, mediante la fórmula Z.W = (ac − bd) + (ad + bc) i
Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de Z por W como si se tratara de expresiones algebraicas se obtiene

lis.png
Hemos usado la propiedad distributiva para la multiplicación, la relaciónijij.pngy un reagrupamiento de los términos. La multiplicación puede hacerse de dos maneras; o bien se aplica directamente la fórmula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustituciónijij.png.Ejemplo:1. Sean Z = 6 + 2i y W = 3 + 5i
Solución:
Para hallar Z.W hacemos Z.W = (6.3 − 2.5) + (6.5 + 2.3) i = 8 + 36i

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:
La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades

1. Propiedad de Cierre para el producto.
Si Z y W son dos números complejos entonces Z.W es un número complejo.

2. Propiedad asociativa.
Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene Z.(W.U) = (Z.W).U

3. Propiedad Conmutativa.
Si Z y U son números complejos, se tiene Z.U = U.Z

4. Propiedad del elemento neutro.
El número complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene
Z.1 = (a + bi).1 = (a.1) + (b.1)i = a + bi = Z
De la misma forma, se puede probar que 1.Z = Z.

5. Propiedad distributiva.
Si Z, W y U son numero ´ s complejos se tienen las relaciones
Z(W + U) = Z.W + Z.U
(Z + W)U = Z.U + W.U

8. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS


¿Cómo se dividen entre si dos números complejos?

El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. Por ejemplo:
1 + i /4 = ¼+ (2/4)i = 1/ 4 + ( 1/ 2 ) i.

Si Z y W son dos números complejos, y W 6= 0, podemos hacer la división de Z entre W de la forma siguiente Z/W = (Z/W) (W / W) = Z.W/W

Tenemos entonces la regla para dividir números complejos:

Para hacer la división de dos números complejos Z y W, primero se multiplica Z por el conjugado de W y este resultado se divide entre el módulo al cuadrado de W, el cual es un número real. Si hacemos Z = a + bi y W = c + di, tendremos
ki.png
Ejemplo.

1. Sea Z = 3 + 4i y W = 2 + 3i.

Entonces
di.png

  • VIDEO DE LA MULTIPLICACION Y DIVISION DE NÚMEROS COMPLEJOS.




9.POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS.


Puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un número complejo. Supongamos que Z= |Z|(cosθ+i senθ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene

li.png
Esta relación, que se conoce con el nombre de Fórmula de Moivre, nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier número complejo en forma polar.

Ejemplo.

1. Sea Z = 2(cos30° + i sen30). Calcule la potencia de orden cinco de este número.
Solución :

os.png

10. Raíces N-ésimas

Dado un numero complejo z ≠0 y un entero positivo n, se trata de encontrar los números complejos αtales que αn = z. estos números se conocen como las raíces n-ésimas de z y se los nota por fe.png.
Notemos en primer lugar que ex.png si solo si existe un entero tal que tr.png En efecto , ex.png es equivalente a:

im.png


in.png

Para algún entero k. por otra parte, del teorema de Moivre se sigue inmediatamente que cualquier número de esta forma elevado a la n es igual a z:

si.png



Finalmente, probaremos que las únicas raíces distintas de z son los números complejos.

pis.png


Si k1 y k2 son enteros distintos enjj.png, entonces:

tu.png
No es múltiplo entero de 3.png ya que fre.png .
Veamos ahora que cualquier raíz n-ésima de z es uno de los números gu.png para k= 0, 1, 2,…,n-1. Sea
ve.png, donde m es un entero cualquiera. De la división de m por n se sigue que existen enteros q y r, con vi.png tales que m=qn+ r. Luego:

fi.png
Lo que demuestra la afirmación pues r es uno de los enteros 0, 1,2,…,n-1.
Ejemplo :
Sea Z= 1- i . En su forma polar vos.png. Las raíces cuartas de z son: ro.png, con k= 0, 1,2,3. Para estos valores de k se obtiene:
ri.png





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LOS NÚMEROS COMPLEJOS COMO CUERPO
Teorema :
El conjunto C con las operaciones adicionales y multiplicación es un cuerpo . Es decir en C con las operaciones de adición y multiplicación se satisfacen los siguientes axiomas :
C1. α, β C: α + β = β+ α .
C2. α, β y γ C: α + (β + γ ) = ( α + β) + γ .
C3. 0 C: tal que α C: α + 0 = 0 + α =α.}
C4. ( α C) (β C) (α + β = 0).El elemento β se denomina el opuesto de α y se nota - α. Si α = α + bi entonces α = - α - bi.
C5. α, β C: α.β = β α
C6. α, β y γ C: α(β γ) = (αβ) γ.
C7.Existe 1 C tal que α C: α x 1 = α x 1= α .
C8. ( α C, con α ≠ 0)(β C)( α β = 1).El elemento β se denomina el inverso de α y se nota α^(-1).Si α = a + bi , con α ≠0, entonces
α^(-1) = a/(a^2 + b^2 ) -b/(a^2 + b^2 ) i.
C9. α, β y γ C: α(β + γ ) = α β + αγ .