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La matemática griega ha recorrido un largo y sinuoso camino, repleto de obstáculos, avances y retrocesos hasta convertirse en la bella ciencia que hoy conocemos. En este documento se encontrará algunos de los logros más destacados de la matemática desde los albores de la humanidad hasta la Grecia de los primeros siglos de la era cristiana.



INTRODUCCIÓN
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MAPA DE GRECIA

La matemática surge desde la aparición del hombre como sujeto pensante, es decir, desde la evolución de su esquema mental. Inicialmente la matemática practicada por los hombres primitivos se debía a la necesidad de alimentación, recolección o caza. Sea para contabilizar o hacer diferencias en la repartición.

La historia de Grecia, durante sus primeros tiempos, desarrolló una de las más grandes civilizaciones de la Antigüedad. Vista por muchos como la cuna de la civilización occidental, Grecia tiene una larga y rica historia durante la cual extendió su influencia sobre tres continentes.
Geográficamente, Grecia se encuentra en la parte meridional de la península de los Balcanes. Situada en el Oriente del Mediterráneo y en medio del mundo antiguo, la Hélade, formada por la Península Balcánica, las islas del mar Egeo y las costas de la península de Anatolia, en la actual Turquía, pudo fácilmente ocupar, gracias a su situación admirable, el centro de la cultura y del comercio. Ninguna otra península europea posee una configuración geográfica tan accidentada. Sus costas sinuosas forman golfos y bahías, lo que facilita la navegación. Esta ventaja natural permitió a los griegos alcanzar un desarrollo en la navegación y el comercio.

Esta civilización tuvo una gran influencia en varios campos, como la lengua, política, sistemas educativos, la filosofía, la ciencia y el artes, en el campo referente a la ciencia especialmente a la matemática sus principales aportes se describen a continuación.
Durante el mandato de Pericles se construyeron el Partenón, el Erecteion y otros grandes edificios. El teatro griego alcanzó su máxima expresión con las obras trágicas de autores como Esquilo, Sófocles y Eurípides, y el autor de comedias Aristófanes. Tucídides y Heródoto fueron famosos historiadores, y el filósofo Sócrates fue otra figura de la Atenas de Pericles quien hizo de la ciudad un centro artístico y cultural sin rival.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN DECIMAL
En Grecia se desarrollaron varios sistemas de numeración puesto que toda la península griega estaba fraccionada en regiones o ciudades independientes que la mayoría de las veces usaban variantes del dialecto griego antiguo. Se destacaron dos sistemas de numeración: el sistema Ático o Herodiano y el sistema Jónico o Alfabético
Los dos sistemas eran de base 10 y aditivo (se utilizaban esencialmente con los números enteros).

SISTEMA ÁTICO

Este sistema se estima que tuvo su origen en el siglo VI a.C. es base diez, aditivo y no posicional, lo signos no son símbolos numéricos en el verdadero sentido del término que proceden de las primeras letras de las palabras que se usaban para nombrar algunos números

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SISTEMA DE NUMERACIÓN ÁTICO


Para representar los números 6, 7, 8 y 9 se adicionaba al 5 los signos del número correspondientes.Los números 50, 500 y 5000. Se formaban combinando el símbolo con los símbolos.

SISTEMA JÓNICO

En el siglo III a.C. los griegos adoptaron el alfabeto de los fenicios que utilizaban 22 letras (todas consonantes); añadieron vocales a estas consonantes para poder expresar tres conjuntos de nueve números: las unidades, las decenas y las centenas

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SISTEMA DE NUMERACIÓN JÓNICO


Para establecer las potencias de 1000 los griegos utilizaban las primera nueve letras del alfabeto precedidas de un acento.
Para establecer las fracciones unitarias utilizaron el acento después del signo Que simbolizaba el denominador.


PRINCIPALES APORTES DE LA CIVILIZACIÓN GRIEGA A LA CIENCIA

ARQUIMEDES (287 a.C-212 a.C)



“Quien comprenda a Arquímedes admirará menos los logros de hombres posteriores.” G. W. LEIBNIZ

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ARQUÍMEDES


Arquímedes nació en la ciudad de Siracusa en la isla de Sicilia en 287a.C., se cree que era el hijo de un astrónomo llamado Fidias. Aparte de esto, muy poco se sabe sobre la vida temprana de Arquímedes o de su familia. Algunos mantienen que él perteneció a la nobleza de Siracusa, lo que le permitió dedicarse al estudio.

En su juventud Arquímedes viajó a Egipto para estudiar en Alejandría, allí conoció a Eratóstenes de Cirene, director del Museo de Alejandría. Con el intercambió ideas y opiniones científicas. De su correspondencia con Eratóstenes se conoce El Método.

Allí en Egipto donde hizo su primer gran invento, el tornillo de Arquímedes, una especie de máquina que servía para elevar las aguas y regar ciertas regiones del Nilo, donde no llegaba el agua durante las inundaciones.

Arquímedes se consideraba un geómetra y era en las matemáticas donde más demostraciones y teoremas ha dejado. Pero también era un experto en aplicar principios físicos y matemáticos para la construcción de sus inventos mecánicos. Como por ejemplo palancas, poleas, catapultas, espejos ardientes.

Durante el sitio de Siracusa por las tropas romanas al mando del general Marcelo, Arquímedes utilizó parte de sus inventos para detener a la flota romana. La muerte de Arquímedes en 212, cuando Siracusa fue tomada por los romanos después de un largo sitio, Arquímedes estaba resolviendo un problema en el suelo, cuando un soldado romano se acercó a él y le ordenó levantarse e irle a presentar sus respetos al general romano Marcelo.
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MUERTE DE ARQUÍMEDES


Arquímedes, muy molesto porque el soldado había pisado su dibujo, le gritó "!No arruines mis esferas!''...la reacción fue inmediata: el soldado lo mató. Marcelo, que había encargado explícitamente que no matara. Es probable que todas las anécdotas que se cuentan sobre él no sean más que meras recreaciones, pero su fama no sobrevive por las anécdotas que de él se cuentan sino por su importante desarrollo de la ciencia a Arquímedes pues sabía de su fama de gran sabio, encargó que se le hiciera un funeral de honor y esculpió en su lápida un grabado con una imagen de una esfera dentro de un cilindro, uno de sus tratados geométricos.


OBRAS DE ARQUÍMEDES

  • Cuadratura de la parábola
  • Esfera y el cilindro
  • Espirales
  • Conoides y esferoides
  • Medida del círculo
  • Equilibrio de los planos
  • Método de los teoremas mecánicos (El método)
  • Cuerpos flotantes
  • Arenario

Las cuatro primeras son obras cuyo principal objetivo fue la demostración de teoremas relacionados con las áreas y volúmenes de superficies. Las siguientes tratan sobre problemas de hidrostática y estática. El último es un tratado en el que Arquímedes introduce una nueva numeración.

DESCUBRIMIENTOS E INVENCIONES
  • PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

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PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Se cuenta que Arquímedes dedicaba todo su tiempo a investigar, y que le molestaba perder tiempo en tareas tales como bañarse. Una anécdota muy conocida de él, que relata el arquitecto romano Vitruvio, es la famosa "Eureka'' (que en griego quiere decir, "lo encontré''). Cuenta la leyenda que el rey Herón II de Siracusa le había dado a un orfebre una cierta cantidad de oro para que le hiciera una corona de oro puro. Cuando se la entregaron, el rey tuvo la sensación de que no era nada más oro lo que había sido usado. Le planteó la duda a Arquímedes y éste se dio a la tarea de resolver el misterio...y llegó la hora del baño. Esa vez lo aceptó sin chistar, pues estaba sumido en el problema de la famosa corona... y cuando se metió a la tina que estaba llena hasta el tope, se dio cuenta de que la cantidad de agua derramada, estaba relacionada a la cantidad de su cuerpo sumergida en el agua. Con la cara iluminada por la alegría, salió de la tina y desnudo, se fue por las calles de la ciudad gritando "Eureka! Eureka!''.

Arquímedes podría haber buscado una solución en la que aplicaba el principio de la hidrostática conocido como el principio de Arquímedes, descrito en su tratado Sobre los cuerpos flotantes. Este principio plantea que todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del líquido desalojado.

  • TORNILLO DE ARQUÍMEDES


Una gran parte del trabajo de Arquímedes en el campo de la ingeniería surgió para satisfacer las necesidades de su ciudad natal, Siracusa. El escritor griego Ateneo de Náucratis cuenta que Hierón II le encargó a Arquímedes el diseño de un enorme barco.

Se dice que el Siracusia fue el barco más grande de la antigüedad clásica. Según Ateneo, era capaz de cargar 600 personas e incluía entre sus instalaciones jardines decorativos, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita. Debido a que un barco de esta envergadura dejaría pasar grandes cantidades de agua a través del casco, el tornillo de Arquímedes supuestamente fue inventado a fin de extraer el agua de la sentina.La máquina de Arquímedes era un mecanismo con una hoja con forma de tornillo dentro de un cilindro. Se hacía girar a mano, y también podía utilizarse para transferir agua desde masas de aguas bajas a canales de irrigación.


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TORNILLO DE ARQUÍMEDES




De hecho, el tornillo de Arquímedes sigues usándose hoy en día para bombear líquidos y sólidos semifluidos, como carbón y cereales. El martillo de Arquímedes (tornillo de Arquímedes), tal y como lo describió Marco Vitruvio en los tiempos de Roma, puede haber sido una mejora del tornillo de bombeo que fue usado para irrigar los jardines colgantes de Babilonia.

  • PRINCIPIO DE LA PALANCA

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PRINCIPIO DE LA PALANCA


Plutarco describe cómo Arquímedes diseñó el sistema de polipasto, permitiendo a los marineros usar el principio de palanca para levantar objetos que, de otro modo, hubieran sido demasiado pesados como para moverlos. También se le ha acreditado a Arquímedes haber aumentado el poder y la precisión de la catapulta, así como haber inventado el odómetro durante la Primera Guerra Púnica.

El odómetro fue descrito como un carro con un mecanismo de engranaje que tiraba una bola en un contenedor después de cada milla recorrida. Además, en el intento de medir la dimensión aparente del sol, utilizando una regla graduada, Arquímedes, para tratar de reducir la imprecisión de la medida, probó a medir el diámetro de la pupila del ojo humano. Utilizando ese dato en sus cálculos logró una estimación mejor del diámetro solar.

  • NÚMERO π

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo, era capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método de exhausción, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π.

Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 223/71 (aproximadamente 3,1408) y 22/7 (aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π.

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REPRESENTACIÓN DEL NÚMERO PI

  • LA ESFERA Y EL CILINDRO

Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:

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LA ESFERA Y EL CILINDRO
Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedará a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:
Volumen cilindro = Volumen semiesfera + Volumen cono
El área lateral del cilindro es igual al área de la esfera inscrita:

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VOLUMEN DEL CILINDRO


Arquímedes estaba tan orgulloso de este descubrimiento que mandó se inscribiera en su tumba: volumen de la esfera es 2/3 del cilindro.

  • LA CUADRATURA DE LA PARÁBOLA









DEMÓCRITO DE ABDERA (460a.C - 370a.C)




"Aunque estés solo, no debes decir ni hacer nada malo. Aprende a avergonzarte más ante ti que ante los demás" DEMÓCRITO DE ABDERA


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DEMÓCRITO


Nació en Abdera (Tracia) en el año 460 a.C. Fue discípulo de Leucipo y es probable que haya estudiado con maestros magos y caldeos. La amplitud de las temáticas abordadas por él fueron Medicina, Poesía, Astronomía, Física, Antropología, Gnoseología, Matemática, Agricultura y Pintura. Estuvo en Atenas, sin embargo su interacción con los filósofos de la época fue mínima.
Famoso por su longevidad, pues rebasó los cien años. Su sonrisa continua fue proverbial en la antigüedad. Se dice que para no reírse de todo, al final de su vida se sacó los ojos. Es más conocido por su Teoría Atómica pero también fue un excelente geómetra, ciencia que enseñaba a sus discípulos. Escribió numerosas obras, pero sólo perduran escasos fragmentos. Se sabe muy poco de su vida. Murió en el año 370 a.C. Escribió varios tratados de Geometría y de Astronomía, que se han perdido. Se cree que escribió sobre Teoría de los Números. Encontró la fórmula B*h/3 que expresa el volumen de una pirámide. Asimismo demostró que esta fórmula se la puede aplicar para calcular el volumen de un cono. Se le atribuyen dos teoremas:

  • "El volumen de un cono es igual a un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura".
  • "El volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura".


Usando la ciencia racional trata de buscar una explicación de todos los fenómenos naturales partiendo de un pequeño número de principios básicos. Le preocupó también la naturaleza de la luz. Demócrito sustenta la teoría de la emisión según la cual la visión es causada por la proyección de partículas que provienen de los objetos mismos. La teoría de la emisión es costumbre atribuírsela a Newton, que la expuso muchos siglos después. Para muchos filósofos, entre los que se incluye a Demócrito, prevalecía un principio aritmético-geométrico para explicar muchos hechos. Así, Demócrito hasta el sabor de las cosas lo explicaba bajo este aspecto. Le atribuía una forma geométrica especial a las cosas para dar tal o cual "gusto": la sensación de dulce se debía a la forma esférica de la sustancia que forma al cuerpo que la produce; lo amargo, se debía a la forma lisa y redondeada, y lo agrio o ácido a lo anguloso y agudo. Un origen e interpretación análogos le atribuía a los fenómenos del tacto.
En uno de sus viajes por Atenas, fue instruido por Anaxágoras, según se cuenta, aunque no puede darse certeza. Fue discípulo de Leucipo quien lo introdujo en la secta de los pitagóricos. Poco después Demócrito entra en bancarrota, y es su hermano, quien lo sostiene por un tiempo.

TEORÍA ATÓMICA Y RELIGIÓN NATURAL

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TEORÍA ATÓMICA

Demócrito desarrolló la teoría atómica promulgada por Leucipo, según la cual no puede existir una división ad infinitum de las cosas por la naturaleza infinitesimal de los átomos, (que en griego significa, indiviso). También afirmó la imposibilidad de determinar el origen del tiempo así como la eternidad de la naturaleza, del vacío espacial y del movimiento.
Esta teoría atómica puede ser la idea más revolucionaria del mundo antiguo. La infinitud de una miríada de átomos, que según Demócrito, son el principio motor del cuerpo, es una tesis que se adelanta a la física cuántica en miles de años.

OTROS APORTES DE DEMÓCRITO AL PENSAMIENTO

Las tesis de Demócrito también hablaban de un principio conocido como eidola, una emanación de los objetos externos que deja una impronta en los sentidos. Curiosamente este concepto filosófico se aproxima mucho a la escuela fenomenológica, que tuvo durante el siglo XX, representantes tan importantes como Martin Heidegger y Henri Bergson.
Aunque es uno de los pensadores griegos menos conocidos, sus teorías acerca del universo son familiares con el pensamiento moderno, aproximándose mucho a las teorías cosmológicas de los astrofísicos contemporáneos sobre el universo.



MÁXIMAS
"Hay hombres que trabajan como si fueran a vivir eternamente. La vida sin fiestas es como un largo camino sin posadas."
"El que a nadie ama, me parece que por nadie es amad"
"Sed tibios en todo."
"Las riquezas no consisten tanto en la posesión de los bienes como en el uso que de ellos se hace."
"Es hermoso evitar que otro cometa injusticia, pero si no, también lo es no ser cómplice de la injusticia."
"El que agravia es más infeliz que el agraviado."
"Ni en el cuerpo ni en las riquezas hallan los hombres su felicidad, sino en la integridad y la cordura."
"Muchos que cometen las acciones más vergonzosas arguyen las mejores razones.
"Todo lo que existe en el universo es fruto del azar y de la necesidad."
"Nada existe excepto átomos y espacio vacío; todo lo demás son opiniones."


DIOFANTO DE ALEJANDRIA (200 - 284)


“Diofanto no fue, como se le ha llamado a menudo, el padre del álgebra. Aún así, su asombrosa, aunque no sistemática, colección de problemas indeterminados es un logro singular que no fue totalmente reconocido y que se desarrolló de forma más amplia mucho más tarde.” VOGUE

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DIOFANTO DE ALEJANDRÍA


Nació en el año 200 fue un matemático griego, considerado el padre del álgebra. Sus escritos contribuyeron de forma notable al perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos del álgebra de su época. Utilizando por primera vez una simbología matemática muy rudimentaria, hizo un estudio riguroso de las ecuaciones de primero y segundo grado.
Se le conoce principalmente por considerar ecuaciones que debían resolverse en enteros, ahora denominadas ecuaciones diofantinas o diofánticas. De su obra se conservan varios volúmenes de la Aritmética y fragmentos de Porismas y Números poligonales.
Nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias al epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega."Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad." De donde se sabe que murió a los 84 años de edad.


PRINCIPALES APORTES


ARITMÉTICA:

Esta obra constaba de trece libros de los que sólo se han hallado seis. Fue traducido al latín por Bombelli en 1570, pero la traducción no se publicó. La primera traducción publicada fue la de Guilielmus Xylander en 1575 a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otra obra de Diofanto.
La traducción latina de Arithmetica más conocida es la que hizo Bachet en 1621, que se convirtió en la primera edición latina ampliamente disponible. En esta obra se realiza estudios de ecuaciones con variables que toman valores racionales, las ecuaciones diofánticas, aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. En la actualidad, las ecuaciones diofánticas son ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros, para lo cual se buscan soluciones enteras. El estudio de las ecuaciones diofánticas y de las aproximaciones diofánticas siguen siendo aspectos importantes en la investigación matemática.

  • MATEMÁTICA

Si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los conocidos actualmente. Él utilizó un símbolo único para la variable desconocida (στ) así también para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita


PARA EL CUADRADO δς

Para el duplo del cuadrado: δδςPara el cubo: χς

Para la quinta potencia: δχς, etc.

  • ANÁLISIS DIOFÁNTICO

Actualmente, el análisis diofántico es el área de estudio donde se buscan soluciones enteras para las ecuaciones, las ecuaciones diofánticas son aquellas ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros de las que sólo se buscan soluciones enteras. Por lo general, es bastante difícil decir si una determinada ecuación diofántica tiene solución.

Diofanto consideró 3 tipos diferentes de ecuaciones de segundo grado: Diofanto consideró tres casos porque él no tenía ninguna noción de cero y evitaba los coeficientes negativos, él consideró que los números a, b, c eran positivos en cada uno de los tres casos anteriores. Diofanto siempre se quedaba satisfecho con una solución racional y no requería un número entero como solución, aceptando las fracciones como soluciones a sus problemas.

Diofanto consideraba las soluciones negativas y las raíces cuadradas irracionales como absurdas.

  • LOS PORISMAS

Diofanto se refiere a un trabajo que consiste en una colección de lemas llamados Los Porismas o Porismata, pero este libro se perdió por completo. Algunos estudiosos piensan que Los Porismas pueden haber sido realmente una sección de Aritmética que se perdió.Aunque Los Porismas se perdieron, conocemos tres de sus lemas porque Diofanto se refiere a ellos en Aritmetica. Uno de los lemas dice que la diferencia de los cubos de dos números racionales es igual a la suma de los cubos de otros dos números racionales.



ERATÓSTENES (284 a.J.C. - 192 a.J.C.)

“Eratóstenes no tenía más herramientas que palos, ojos, pies y cabeza y un gran deseo de experimentar, con estas herramientas dedujo correctamente la circunferencia de la Tierra con una enorme precisión y un porcentaje de error mínimo.” CARL SAGAN


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ERATÓSTENES


Astrónomo, geógrafo, matemático y filósofo griego, una de las figuras más eminentes del gran siglo de la ciencia griega, nació en Cyrene (ahora Libia) el 276 a.C. Estudió en Alejandría y Atenas y alrededor del año 255 a.C , mantuvo con Arquímedes relaciones de amistad y correspondencia científica. Cultivó no sólo las ciencias, sino también la poesía, la filología y la filosofía, por lo que fue llamado por sus coetáneos "pentatleta", o sea campeón de muchas especialidades, fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Vivió en Atenas hasta que fue llamado a Alejandría (245 a.J.C.) para educar a los hijos de Tolomeo III y para dirigir la biblioteca de la ciudad. Fue célebre en matemáticas por la criba que lleva su nombre, utilizada para hallar los números primos, y por su mesolabio, instrumento de cálculo usado para resolver la media proporcional. Consideró tan importante la invención del mesolabio que regaló un ejemplar de él a un templo como ofrenda votiva, con un texto en verso que explicaba su utilidad.
Trabajó con problemas matemáticos tales como la duplicación del cubo. Escribió muchos libros de los cuales solo se tienen noticias por referencias bibliográficas de otros autores.Pero Eratóstenes es particularmente recordado por haber establecido por primera vez la longitud de la circunferencia de la Tierra (252.000 estadios, equivalentes a 40.000 kilómetros) con un error de sólo 90 kilómetros respecto a las estimaciones actuales.

Basado en sus estudios de los papiros de la biblioteca de Alejandría Eratóstenes sabía que, cuando en la ciudad egipcia de Siene (actual Asuán), el Sol llegaba su punto más alto (mediodía), se encontraba en la vertical del observador. Y observó que en Alejandría, ciudad situada a mayor latitud, el Sol formaba un ángulo de aproximadamente 70º con la vertical cuando se encontraba en su punto más alto. Valiéndose de la distancia existente entre Siene y Alejandría, estimó que la circunferencia de la Tierra superaba en 70 veces tal longitud y dedujo fácilmente su medida mediante una cualificada ecuación.También calculó la distancia al Sol en 804.000.000 estadios y la distancia a la Luna en 780.000 estadios. Midió casi con precisión la inclinación de la eclíptica en 23º`51´15´´. Otro trabajo astronómico fue una compilación en un catálogo de cerca de 675 estrellas.

Creo uno de los calendarios mas avanzados para su época y una historia cronológica del mundo desde la guerra de Troya. Realizó investigaciones en geografía dibujando mapas del mundo conocido, grandes extensiones del río Nilo y describió la región de Eudaimon (Actual Yemen) en Arabia.

Al final de su vida se quedó ciego, lo que le llevó al suicidio ante la imposibilidad de proseguir con sus lecturas.



EUCLIDES (330a.C - 275a.C)

“Lo que es afirmado sin prueba puede ser negado sin prueba.” EUCLIDES

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EUCLIDES

Matemático griego cuya bibliografía es poca aunque su obra es ampliamente conocida por lo que llego a ser uno de los tres mayores matemáticos de la Antigüedad. La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo. Es probable que Euclides se educara en Atenas, vivió en Alejandría al parecer en torno al año 300 a.C. Fue convocado por Tolomeo para fundar una escuela de estudios matemáticos llamada Primera Escuela de Alejandría lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, por lo que también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón.

Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.

El nombre de Euclides está indisolublemente ligado a la geometría, al escribir su famosa obra los Elementos. Este es el libro más famoso de la Historia de la Matemática, esta obra está constituida por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas y en él se exponen las bases esenciales de la geometría. En ella se enuncia el postulado de Euclides: "por un punto del plano sólo se puede trazar una paralela y una sola, a una recta". Este postulado es la base de la geometría euclideana. El único teorema que la tradición asigna definitivamente a Euclides es el Teorema de Pitágoras que se demuestra en las proposiciones 47 y 48 del primer libro de los Elementos, pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios, lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde la época de Thales. Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematización el orden y la argumentación la que está constituida, los elementos no contienen únicamente un resumen sumario y exhaustivo de toda la Geometría griega.

EUCLIDES Y LOS NÚMEROS PERFECTOS

En el libro IX de Los Elementos, Euclides en su proposición , proporciona un método original. para encontrar números perfectos.“Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto”.

Es decir: “Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto”.Si (1+2+22+... +2n) es primo, entonces (1+2+22+... +2n).2n es perfecto.

Euclides construye sus argumentaciones basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes) y a partir de los cuales se deduce todo lo demás que llamó Postulados.







CINCO FAMOSOS ENUNCIADOS DE EUCLIDES

  1. Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.
  2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.
  3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera
  4. Todos los ángulos rectos son iguales
  5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este axioma es conocido con el, nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.
AXIOMAS DE EUCLIDES




PITÁGORAS (582-c. 500 a.C.)

“Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida.” PITÁGORAS


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PITÁGORAS


Filósofo y matemático griego. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filosofos Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Las ideas y descubrimientos científicos de la escuela pitagórica han sido atribuidos tradicionalmente a su fundador, Pitágoras, por lo que no se sabe exactamente cuáles fueron suyos y cuales de sus discípulos los principales son:

  • Invención de la tabla de multiplicar
  • Construcción del pentágono regular y los cinco poliedros regulares
  • Descubrió la existencia de los números irracionales
  • Descubrió en geometría proporciones tan perfectas que las pensaba divinas sin sospechar que estaban estrechamente ligadas a un número perteneciente al mismo grupo
  • Los pitagóricos fueron los primeros en establecer demostraciones matemáticas mediante razonamiento deductivo
  • Formación de los números cuadrados partiendo de la unidad y agregando la serie ascendente de los números impares
  • Demostró que los intervalos entre notas musicales pueden ser representadas mediante razones de números enteros utilizando una especie de guitarra con una sola cuerda, llamada monocordio
  • Definió el infinito como " una cosa que no tiene magnitud asimilable"
  • Introdujo la demostración como recurso matemático

  • TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas.

En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras.

  • TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

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Teorema de Pitágoras

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Hay muchas maneras de demostrar el teorema de Pitágoras, a continuación presentamos la demostración algebraica.

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Demostracion del teorema de Pitágoras

Es un cuadrado de lado (a+b), entonces su área queda determinada por A=(a+b)(a+b)Ahora sumamos las áreas de los trozos más pequeños:
Primero, el cuadrado interno tiene área A = c²


además tenemos cuatro triángulos, cada uno de área A =½ab

Sumándolos tenemos que A = 4(½ab) = 2ab

Si sumamos el cuadrado inclinado y los cuatro triángulos resulta A = c²+2ab

El área del cuadrado mayor es igual al área del cuadrado inclinado y los cuatro triángulos, igualamos las ecuaciones obtenidas así:(a+b)(a+b) = c²+2ab

Operamos la igualdad y obtenemos a²+2ab+b² = c²+2ab

sumamos -2ab a ambos miembros de la ecuación y nos da como resultado a²+b² =c









TALES DE MILETO (624 a.C - 546 a.C.)


“El agua es el elemento y principio de las cosas.” TALES DE MILETO.

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TALES DE MILETO



Nació y murió en la ciudad de Mileto. Sus padres fueron Examyes y Cleobuline. Fue maestro de Anaximandro. Ninguno de sus escritos sobrevivió, por lo que es difícil saber exactamente cuáles fueron sus descubrimientos matemáticos. Lo que sabemos de Thales proviene de Aristóteles. Primero fue a Egipto y desde allí introdujo en Grecia los estudios sobre Geometría.





Es considerado el primero de los Siete Sabios Griegos. El hecho concreto que más aseguró sureputación fue la predicción de un eclipse de sol en 585 a.C., que tuvo lugar exactamente el 28 de mayo del año que él había predicho. Igualmente fue el primero en mantener que la luna brilla por el reflejo del sol.Tomó prestada La Geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. En otras palabras, inventó la matemática deductiva.

Se le asignan entre otros los siguientes teoremas:
  1. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
  2. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro.
  3. Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales.
  4. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales.
  5. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son iguales.

Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa el teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

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POSTULADO DE TALES DE MILETO

Así mismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación de sombras de Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación.

¿CÓMO LOGRÓ MEDIR LA PIRÁMIDE?
“El proceso consistía en levantar un bastón en el extremo de la sombra proyectada por la pirámide y habiendo formado – de este modo – dos triángulos con los rayos del sol, mostrase que la pirámide está con el bastón en la misma razón que la sombra de la pirámide está con la sombra del bastón”.


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MÉTODO DE COMPARACIÓN DE SOMBRAS




PERÍODO ATENIENSE
Fue uno de los períodos más representativos para la matemática griega. Bajo el mandato de Pericles la democracia alcanzó su máximo esplendor y Atenas vivió un magnífico florecimiento cultural: en éste período aparecieron tres grandes maestros filósofos: Sócrates, Platón y Aristóteles.


SÓCRATES (470 a.C-399 a.C.)


“La verdadera sabiduría está en reconocer la propia ignorancia.” SÓCRATES

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SÓCRATES


Sócrates nació en Atenas el año 470 A.C. de una familia al parecer de clase media. Su padre era escultor y su madre comadrona, lo que ha dado lugar a alguna comparación entre el orificio de su madre y la actividad filosófica de Sócrates. Los primeros años de la vida Sócrates coinciden, pues, con el período de esplendor de la sofística en Atenas.
Al principio, Sócrates siguió el trabajo de su padre; realizó un conjunto de estatuas de las Tres Gracias, que estuvieron en la entrada del Acrópolis hasta el siglo II a.C.
Durante la guerra del Peloponeso contra Esparta, sirvió como soldado de infantería con gran valor de las batallas de Potidatea en el 432 – 430 a.C., donde salvó la vida de Alcibíades; en Delio en el 424 a. C., y Anfípolis en el 422 a.C. De vida sobria y austera, siempre contó con escasos recursos económicos, Sócrates supo rodearse de los personajes más influyentes del momento, así como de un nutrido círculo de alumnos a los que gustaba cuestionar continuamente sus creencias y certidumbres. Este continuo “aguijonear” a todos le situaría finalmente en una situación tan controvertida y arriesgada que le llevó a su condena a muerte por el Tribunal de los Quinientos en el año 399 a.C.

FUENTES

Dado que Sócrates no escribió ninguna obra, nos podemos acercar a su figura por medio de cuatro fuentes:
  1. Los diálogos de Platón como material más importante.
  2. Los escritos de Jenofonte en los que habla de Sócrates, los cuales, no obstante, contienen errores históricos y geográficos.
  3. La comedia de Aristófanes, Las nubes, que fue escrita cuando Sócrates tenía solamente 41 años, ridiculizándolo y colocándole en el lugar de los sofistas.
  4. Y finalmente, las menciones de Aristóteles a lo largo de todas sus obras; no lo conoció directamente pero tradicionalmente se considera que su recuento es el más objetivo.


FILOSOFÍA

El interés de la reflexión filosófica se centraba entonces en torno al hombre y la ciudad, abandonado el predominio del interés por el estudio de la naturaleza. Orientó sus investigaciones hacia los temas más propios de la sofística que en los primeros años de la vida del filósofo conoció su época de esplendor en Atenas.
Según los testimonios de su época, Sócrates era poco agraciado y corto de estatura, elementos que no le impedían actuar con gran audacia y gran dominio de sí mismo. Apreciaba mucho la vida y alcanzó popularidad social por su viva inteligencia y un sentido del humor agudo desprovisto de sátira o cinismo.

POLÍTICA

Fue obediente con las leyes de Atenas, pero en general evitaba la política, contenido por lo que él llamaba una advertencia divina, creía que había recibido una llamada para ejercer la filosofía y que podría servir mejor a su país dedicándose a la enseñanza y persuadiendo a los atenienses para que hicieran un examen de conciencia y se ocuparan de su alma

MUERTE

El envenenamiento por cicuta era un método empleado habitualmente por los griegos para ejecutar las sentencias de
pena de muerte. Sócrates fue juzgado y, declarado culpable, cumplió esta pena en el año 399 a. C.
Murió a los 70 años de edad, aceptando serenamente esta condena, método elegido por un tribunal que le juzgó por no reconocer a los dioses atenienses y corromper a la juventud. Según relata Platón en la Apología que dejó de su maestro, éste pudo haber eludido la condena, gracias a los amigos que aún conservaba, pero prefirió acatarla y morir.

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MUERTE DE SÓCRATES


Él paseó, y cuando dijo que le pesaban las piernas, se tendió boca arriba, pues así se lo había aconsejado el individuo. Y al mismo tiempo el que le había dado el veneno lo examinaba cogiéndole de rato en rato los pies y las piernas, y luego, apretándole con fuerza el pie, le preguntó si lo sentía, y él dijo que no. Y después de esto hizo lo mismo con sus pantorrillas, y ascendiendo de este modo nos dijo que se iba quedando frío y rígido. Mientras lo tanteaba nos dijo que, cuando eso le llegara al corazón, entonces se extinguiría.
Ya estaba casi fría la zona del vientre, cuando descubriéndose, pues se había tapado, nos dijo, y fue lo último que habló:
—Critón, le debemos un gallo a Asclepio. Así que págaselo y no lo descuides.
—Así se hará, dijo Critón. Mira si quieres algo más.
Pero a esta pregunta ya no respondió, sino que al poco rato tuvo un estremecimiento, y el hombre lo descubrió, y él tenía rígida la mirada. Al verlo, Critón le cerró la boca y los ojos.
Este fue el fin, Equécrates, que tuvo nuestro amigo, el mejor hombre, podemos decir nosotros, de los que entonces conocimos, y, en modo muy destacado, el más inteligente y el más justo.

JUICIO

Artículo principal: Juicio de Sócrates
Artículo principal: Apología de Sócrates (Platón)
Artículo principal: Apología de Sócrates (Jenofonte)

Aunque durante la primera parte de su vida fue un patriota y un hombre de profundas convicciones religiosas, Sócrates sufrió sin embargo la desconfianza de muchos de sus contemporáneos, a los que les disgustaba la nueva postura que tomó frente al Estado ateniense y la religión establecida, principalmente en contra de las creencias metafísicas de Sócrates, que planteaban una existencia etérea sin el consentimiento de ningún dios como figura explícita. Fue acusado en el 399 a. C. de despreciar a los dioses y corromper la moral de la juventud, alejándola de los principios de la democracia.

La Apología de Platón recoge lo esencial de la defensa de Sócrates en su propio juicio; una valiente reivindicación de toda su vida. Fue condenado a muerte, aunque la sentencia sólo logró una escasa mayoría. Cuando, de acuerdo con la práctica legal de Atenas, Sócrates hizo una réplica irónica a la sentencia de muerte del tribunal proponiendo pagar tan sólo una pequeña multa dado el escaso valor que tenía para el Estado un hombre dotado de una misión filosófica, enfadó tanto al jurado que éste volvió a votar a favor de la pena de muerte por una abultada mayoría.
Los amigos de Sócrates planearon su huida de la prisión pero prefirió acatar la ley y murió por ello. Pasó sus últimos días con sus amigos y seguidores, como queda recogido en la obra Fedón de Platón, y durante la noche cumplió su sentencia bebiendo una copa de tósigo preparado con cicuta siguiendo el procedimiento habitual de ejecución "suicida". Según la tradición sus últimas palabras fueron irónicas o acaso más bien sarcásticas: «Acuérdate de comprar un gallo para Asclepio».





PLATÓN (426 a.C.)


“El amor consiste el sentir que el ser sagrado late dentro del ser querido.” PLATÓN
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Platón nació en Atenas (o en Egina), probablemente el año 426 o el 427 a.C. de familia perteneciente a la aristocracia ateniense, que se declamaba descendiente de Solón por línea directa. Su verdadero nombre es Aristóteles, aunque al parecer fue llamado Platón por la anchura de sus espaldas.

Según recoge Diógenes Laercio en su “Vida de filósofos ilustres”, anécdota que ha sido puesta en entredicho. Los padres de Platón fueron Aristón y Perictione, que tuvieron otros dos hijos, Adimanto y Glaucon, que aparecen ambos como interlocutores de Socrates en la República y una hija Potone.

La matemática griega bajo la influencia de Platón, se centró principalmente en las construcciones con reglas y compás, ya que se permite asegurar la asimetría de las configuraciones lo que originó una especie de algebra-geometría.
El matemático e historiador de las matemáticas que trata los problemas de las matemáticas Zeuthen caracterizo en 1586, este tipo de las matemáticas que trata los problemas algebraicos con la ayuda de las construcciones geométricas.


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