LA DERIVADA


DEFINICIÓN DE DERIVADA:

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local; es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

laderivadadelpunto.png


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Hallar la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2
derivada inicial.jpg

LA PENDIENTE DE UNA CURVA

La derivada de una función se relaciona con la recta tangente un punto por lo tanto en (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) siempre que el límite exista y se determina por:

imagen_(2).png

Ejercicio:


Considera la gráfica de y = 3 - x²
1) Halla la fórmula de la pendiente de la gráfica.
2) Indica cuál es la pendiente en los puntos (0,3) y (-2,-1).
3) Halla la ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos anteriores.

Nota: Algunas curvas podrian no tener tangente en cada punto.

NOTACIÓN


Se llama derivada de f en x (supuesto que el límite existe) y se denota por f’(x).
La notación f’(x) se lee "f prima de x".

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También se utiliza la notación:

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que se lee " la derivada de y respecto a x".

Ejercicios:

Hallar la derivada de:
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Nota: En cualquier punto donde la tangente es vertical, la pendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe.


DERIVACIÓN


Ya hemos calculado derivadas a través de la definición de la derivada como límite, este procedimiento resulta en muchas ocasiones largo y tedioso, por tanto existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites, estas son:

Derivada de una constante: La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0.

Derivada del producto por un escalar: Si cf(x) es una función diferenciable, entonces

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Ejercicios:


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Derivada de la suma: La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas. Esto es, si f y g son funciones diferenciales, entonces:

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Ejercicios:

Derivar las siguientes funciones y evaluarla en los casos indicados.

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA

Si la función y= f(x) es diferenciable con respecto de x, entonces, es diferenciable con respecto de y, y se verifica la siguiente relación:
laderivada50.jpg
EJEMPLOS:
1.- Determine la derivada de la función f(x)= arc cos x

Solución: si y= arc cos x entonces x=cos y y aplicando la relación tenemos:
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TABLA DE DERIVADAS


derivada tabla 1.png
Sin título 1.png


DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR


Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior.

Por ejemplo, si f(x) = 6x³ - 5x², entonces la:
primera derivada es : f’(x) = 18x² - 10x
segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10
tercera derivada es : f’’’(x) = 36
cuarta derivada es : f(4)(x) = 0.
n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0

Ejemplos para discusión:
1) Si f(x) = -x4 + 2x³ + x + 4, halla f’’’(-1).
2) Halla las primeras cuatro derivadas de:

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Nota: Si f’(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la gráfica de f’. Así también, f’’’(x) representa la pendiente de la gráfica de f".

DERIVACIÓN PARA PRODUCTOS Y COCIENTES


Producto: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. Esto es:
Ejemplos para discusión:
1) F(x) = (3x - 2x²)(5 + 4x)
2) G(x) = (1 + x-¹)(x - 1)

Cociente: La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador. Esto es:
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donde g(x) es diferente de cero.

Ejercicio:


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DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Si y =[u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un número real, entonces:

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Ejercicios:
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derivada exponencial.jpg


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DERIVADA DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS


Las fórmulas de derivación para las funciones hiperbólicas se deducen fácilmente aplicando las reglas de derivación de la función exponencial .

Las derivadas de las funciones hiperbólicas lo resumimos en la siguiente proposición, dejando al lector la verificación correspondiente.

Las funciones hiperbólicas son derivables en sus correspondientes dominios y se tiene:

  • Si f(x) = senh x, entonces, f´(x) = cosh x
  • Si f(x) = cosh x, entonces, f´(x) = senh x
  • Si f (x) = tgh x, entonces, f’(x) sech²x
  • Si f(x) = cotgh x, entonces, f´ (x) = - cosch²x
  • Si f(x) = sech x, entonces, f´(x) = - sech x tgh x
  • Si f(x) = cosch x, entonces, f´(x) = - cosch x cotgh x

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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Ejercicios


1) y = 3 sen x
2) y = x + cos x
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4) y = x - tan x
5) y = x sec x

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación expresada respecto de y en términos de x.
Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las ecuaciones:

2x + y = 4xy =1

x² + y²= 9
estas no se encuentran en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita, se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada.

Para entender cómo hallar la derivada de y con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva como de costumbre, pero al derivar términos con y se aplica la regla de la cadena.

Ejercicios:

1) 4x²
2) 2y³
3) x + 2y
4) xy³

REGLA DE LA CADENA


Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable y:

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Ejemplo:
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Si definimos como función de función:
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resulta que:
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MOTIVACIÓN FÍSICA DE LA DERIVACIÓN

Velocidad y Aceleración


Definición de velocidad: Si s(t) representa la función posición de un objeto en el tiempo t que se mueve a lo largo de un recta, la velocidad del objeto en el instante t, está dada por:

Nueva_imagen_7565.png

Ejemplo:

Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s(t) = t² + 2t + 10, donde s se mide en pies y t en segundos.
1) Completa la tabla de valores e ilustra en una recta numérica el movimiento del objeto.
t
1
2
3
4
s(t)
12
18
25
34
2) Halla la velocidad del objeto cuando t = 1,2,3,4.
Si s(t) = t² + 2t + 10, entonces v(t) = s’(t) = 2t + 2. Por tanto:

v(1) = 4
v(2) = 6
v(3) = 9
v(4) = 10

Nota:
La velocidad puede ser negativa. Para el movimiento horizontal consideramos la velocidad negativa cuando el objeto se mueve hacia la izquierda y positiva cuando el objeto se mueve hacia la derecha. La velocidad es cero cuando el objeto invierte su sentido de dirección.

Cuando el objeto se lanza al aire verticalmente, consideramos la velocidad positiva mientras el objeto se está elevando, cero cuando alcanza su altura máxima y negativa cuando cae.

Definición de aceleración: Si s(t) es la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta, la aceleración del objeto en el instante t, está dada por a(t) = v’(t) = s"(t), donde v(t) es la velocidad en t tiempo.

Ejemplo:

Se dispara un proyectil directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad de 400 pies/seg. Su distancia sobre la superficie de la tierra después de t segundos está dada por la ecuación s(t) = -16t² + 400t.

1) Halla el tiempo cuando el proyectil toca la superficie de la tierra.
2) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?
3) ¿Cuál es la aceleración en cualquier tiempo?
Nota: La derivada de una función se puede interpretar de dos maneras:

1) Interpretación geométrica: Donde f’(c) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto (c,f(c)).

2) Interpretación física: Cuando la posición de un objeto en t tiempo está dada por s(t), entonces s’(t) es la velocidad instantánea del objeto en t.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN


Si f(x0) ≥f(x) para cada x cerca de x0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0, diremos que f alcanza un máximo local o un máximo relativo en x0.

derivadamaxymin1.png
Si f(x0) ≤ f(x) para cada x cerca de x0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a x0, diremos que f alcanza un mínimo local o un mínimo relativo en x0.

derivadamaxymin2.png
  • Si f (x0) > f(x) para cada x cerca de x0, entonces el máximo local es estricto.
  • Si f (x0) < f(x) para cada x cerca de x0, entonces el mínimo local es estricto.
  • A un máximo y a un mínimo local se les llaman valores extremos.

derivadamaxymin3.png
Si f es continua en un intervalo que contiene a x0 y si f´ cambia de signo en x0, es decir, si en un intervalo de la forma (x1, x0) f´ tiene un signo y en (x0, x²) el otro, entonces en x0 hay un valor extremo, de hecho:
  • Si f´ pasa de positiva a negativa, hay un máximo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser creciente a ser decreciente.
  • Si f´ pasa de negativa a positiva, hay un mínimo local estricto. Es claro pues la función pasa de ser decreciente a ser creciente.
Si no cambia de signo la derivada, entonces la función no tiene valor extremo.

Ejercicio
Cálculo de los máximos y mínimos relativos

f(x) = x³ − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x² − 3 = 0
x = −1
x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4)
Mínimo(−1, 0)

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Observemos que f”(x) > 0 en un intervalo entonces f´(x) es creciente en dicho intervalo, por lo tanto, al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe presentar forma de taza. Ya que la inclinación de la tangente crece en sentido directo diremos que la función es cóncava. En este caso la gráfica está encima de sus tangentes y debajo de sus secantes.

derivadaconcyconve.png
Observemos que f”(x) < 0 en un intervalo entonces f´(x) es decreciente en dicho intervalo; entonces al recorrer la gráfica de la función f de izquierda a derecha, debe presentar forma de gorra. Ya que la inclinación de la tangente decrece en sentido directo diremos que la función es convexa. En este caso la gráfica está debajo de sus tangentes y encima de sus secantes.


derivadaconcyconve2.png
Concretando:
  • La función (curva) y = f (x) es cóncava en el intervalo I si f”(x) > 0 para cada xϵI.
  • La función (curva) y = f (x) es convexa en el intervalo I si f”(x) < 0 para cada xϵI.
  • De aquí surge el criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos locales:
1. Si f´(x0) = 0 y si f” (x0) > 0, en x0 hay un mínimo local.
2. Si f´(x0) = 0 y si f”(x0) < 0, en x0 hay un máximo local.
Se llama punto de inflexión de f a un punto donde la segunda derivada de la función es cero y en el punto cambia de signo, esto es, la segunda derivada pasa de ser positiva antes del punto a ser negativa después del punto, o viceversa, siendo continua la función en dicho punto. En ellos la función pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa.

Regla de L'Hopital

La Regla de L’Hopital establece que bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funcionesf(x)/g(x)coincide con el límite del cociente de sus derivadas.

Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, excepto posiblemente en el propio c. Supongamos que g’ (x) ≠ 0 para todo x en (a,b), excepto en el propio c. Si el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces:

laderivada1.png
Este resultado es válido también si el límite de f(x)/g(x) produce cualquiera de las formas indeterminadas ∞/∞, (-∞)/∞, ∞/ (-∞), o (-∞)/ (-∞).

Ejemplo 1. Un límite aplicando la regla de L'Hôpital
Calcular
laderivada2.png
Solución: Observe que la regla dice que tenemos un límite:
laderivada3.png


es decir, se toma el numerador como una función f(x) y el denominador como otra función g(x).

En este caso
f(x) = cos 3x + 4x - 1 y g(x) = 3x.

Además
f(0) = cos 3 · 0 + 4 · 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 y también g(0) = 3 · 0 = 0.
Todo esto significa que se puede aplicar la regla de L'Hôpital porque el límite es de la forma 0/0.
Ahora bien, la regla dice que tenemos
laderivada4.png


Es decir, se derivan el numerador y el denominador separadamente (no se deriva como un cociente). En el caso que nos ocupa tendríamos entonces:
laderivada5.png


Ejemplo 2. Aplicando dos veces la regla de L'Hôpital
Calcular:
laderivada6.png
Solución: Tomamos
f(x) = ex + e-x – 2 y g(x) = 1 - cos2x,
Entonces
f(0) = e0 + e-0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 y g(0) = 1 - cos2 · 0 = 1 - 1 = 0
Y se puede aplicar la regla de L'Hôpital:
laderivada7.png
Observando el límite de la derecha nos damos cuenta que también es de la forma0/0.Volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital (derivando el numerador y derivando el denominador):
laderivada8.png
Concluimos que
laderivada9.png
Ejemplo 3. Uso de la regla de L'Hôpital
Calcular
laderivada9.1.png
Solución: Tenemos
laderivada10.png
por lo que estamos ante un límite de la forma ∞/∞. Entonces, según la regla de L'Hôpital tenemos
laderivada11.png
Finalmente, hacemos notar que siempre hay que verificar que el límite es de la forma 0/0 o ∞/∞ puesto que de lo contrario aplicar la regla de L'Hôpital puede inducir a errores.

Ejemplo 4. Un caso en que la regla de L'Hôpital no es aplicable
Suponga que tenemos
laderivada12.png
Como usted puede ver, este límite se puede obtener por simple evaluación:
laderivada13.png
y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la regla de L'Hôpital. ¿Qué sucedería si no nos damos cuenta de ello o aun dándonos cuenta insistimos en aplicarla? En ese caso haríamos lo siguiente:
laderivada14.png
Y esto es un error puesto que el límite es 8/7 y no 2.

Derivación como tasa de variación

El concepto de velocidad en el movimiento rectilíneo corresponde al concepto mas general de tasa de variación; esto es, la tasa de variación de s por unidad de variación de t es la derivada de s con respecto a t.
Si la relación funcional entre y y x esta dada por y=f(x), la tasa promedio de variación de y conforme x varia es:

laderivada60.jpg

Definición de tasa de variación instantánea

Si y=f(x), entonces la tasa de variación instantánea de y por unidad de variación de x en x1 es f´(x1) o, equivalentemente, la derivada de y con respecto de a x en x1, si existe.

Ejemplo 1


Sea V(x) centímetros cúbicos el volumen de un cubo cuyas aristas miden x centímetros. Obtenga la tasa de variación de V(x) con respecto a x conforme x varia de a) 3.00 a 3.200; b) 3.00 a 3.100; c) 3.00 a 3.010; d) 3.00 a 3.001; e) Cual es la tasa instantánea de variación de V(x) con respecto a x cuando x=3.00

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Ejemplo 2.


Suponga que R(x) dólares es el ingreso total por la venta de x mesas , y que:

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Determine:
a) la función de ingreso marginal
b) El ingreso marginal cuando x=40
c) El ingreso real por la venta de la mesa 41

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Ejercicios:

1. Sea A(x) centímetros cuadrados el área de un cuadrado cuyos lados miden x centímetros, medidos con cuatro cifras significativas. En la calculadora obtenga la tasa promedio de variación de A(x) con respecto a x cuando x varía:
(a) de 4.000 a 4.600
(b) de 4.000 a 4.300
(c) de 4.000 a 4.100
(d) de 4.000 a 4.050
(e) ¿Cuál es la tasa instantánea de variación de A(x) con respecto a x cuando x=4.000

2. Un sólido consiste de un cilindro recto y una semiesfera en cada extremo, y la longitud del cilindro es el doble de su radio. Sean r unidades el radio del cilindro y de las semiesferas y V(r) unidades cúbicas el volumen del sólido. Determine la tasa instantánea de variación de V(r) con respecto a r.

3. Se lanza una piedra a un charco, generándose ondas circulares concéntricas. Determine la tasa de variación del área de la superficie afectada cuando su radio es
(a) 4 cm, y
(b) 7 cm.

Tasas de variación relacionadas.


Estos problemas involucran tasas de variación de variables relacionadas para valores de t, donde t es una medida de tiempo, esta relación se expresa mediante una ecuación, la cual representa un modelo matemático.

‍‍Ejemplo 1

Una escalera de 25 pie de longitud está apoyada contra una pared vertical como se muestra en la figura. La base de la escalera se jala horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/s. Suponga que se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pie de la pared.
laderivada escalera.jpg

Ejemplo 2


Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m³/min hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta ha alcanzado 5 m de profundidad?

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Ejercicio


Dos automóviles, uno va hacia el este a una tasa de 90 km/h, y el otro hacia el sur a 60 km/h, se dirigen hacia la intersección de dos carreteras. ¿A qué tasa se están aproximando uno al otro en el instante en que el primer automóvil está a 0.2 km de la intersección y el segundo se encuentra a 0.15 km de dicha intersección?

APLICACIONES DE LA DERIVADA
Cuadro de derivada.jpg

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