LÍMITES Y CONTINUIDAD



LIMITES

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se acerca o dirige una función en un determinado punto o en el infinito.

En cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.


DIFINICIÓN DE LIMITE
Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la gráfica de la figura y fijémonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:

fsfsfs.png


¿Qué ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x?

Tomemos algunos valores como 2,1 ; 2,01 ; 2,001.

Vemos en la figura que en este caso las imágenes de dichos puntos sobre la curva, f(2,1), f(2,01), f(2,001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1,9 ; 1,99 ; 1,999 en este caso las imágenes f(1,9), f(1,99), f(1,999) se acercan también al mismo valor, y =3.

Concluimos que el límite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cuál expresamos

lím f(x) = 3
x→2

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el límite de una función en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la función, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

Sin embargo la expresión matemática de límite es algo más compleja:
Definición: Dada una función f(x) y un punto x = a, se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L; y se expresa como:

lím f(x) = L
x→a

Cuando:
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε
Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x está “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) también está muy próxima a L.



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"El límite de f (x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε > cero existe un número real δ mayor que cero tal que para todo x tal que la distancia entre xy c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de L es menor que ε unidades".

Teorema 1. Límite de una función lineal
Sea f(x)=mx +b donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces
hahahahasas.png

Ejemplo 1
imagen 5.png

Teorema 2. Límite de una función constante
Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces
yaysys.png
Ejemplo 2
external image Image23972.gif

Teorema 3. Límite de una función identidad
Sea f(x)=x, entonces
imagen 3.png
Ejemplo 3
external image Image23975.gif

Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones

Si external image Image23976.gif ^ external image Image23977.gif, entonces
byyas.png

Ejemplo 4:
Sean, external image Image23979.gif y external image Image23980.gif→ , external image Image23981.gif y

external image Image23982.gif

Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones

Si external image Image23983.gifentonces:
ttas.png

Teorema 6. Límite del producto de dos funciones

Si external image Image23985.gif y external image Image23986.gif, entonces
OJSA.png

Ejemplo 6
Sean, external image Image23988.gif y external image Image23989.gifentonces,

external image Image23990.gif




Teorema 7. Límite del producto de n funciones

Si external image Image23991.gifentonces
OJSA.png

Teorema 8 . Límite de la n-ésima potencia de una función

Si external image Image23993.gif y n es cualquier número entero positivo, entonces

esdd.png

Ejemplo 8
Sea, external image Image23995.gif entonces, external image Image23996.gif

Teorema 9 . Límite del cociente de dos funciones


Si external image Image23997.gif y external image Image23998.gif, entonces


external image Image23999.gif


Ejemplo 9.
Sean, external image Image24000.gif y external image Image24001.gifentonces, external image Image24002.gif

Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y external image Image24003.gif, entonces

external image Image24004.gif con la restricción que si n es par, L > 0.



Ejemplo 10
Sea, external image Image24005.gif entonces external image Image24006.gif

Teorema 11. Límite del logaritmo de una función.

Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y external image Image24007.gifentonces
external image Image24008.gif


Ejemplo 11

Calcule: external image Image24009.gif aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:


external image Image24010.gif


Sin aplicar el teorema:


external image Image24011.gif


LIMITES TRIGONOMÉTRICOS


  1. external image f5d270a54744ab8a3288d26b05c653ba.png
  2. external image 79717ee6798df7174e4651ee960be19e.png
  3. external image 1f153265cbe7669a44dcff2073d41763.png
  4. external image 9b0b95e7953cd5158f969919c495f089.png
  5. external image 35f7a3e43c7fd4badb3a1fcea1c04103.png

LIMITES LATERALES

1.LIMITE POR LA DERECHA


Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x (a, a + δ), entonces |f (x) - L| < ε

gsagdga.png


external image Image24075.gif


2.LÍMITE POR LA IZQUIERDA

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe
δ > 0 tal que si x (a − δ, a), entonces |f (x) − L| < ε


dhasfgadgh.png

El límite de una función en un punto si existe, es único


grafico_limiteizquierda.jpg

TEOREMA

Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden

EJEMPLO

  1. gasdydaa.png


ygygassa.png



aygaas.png


En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.
El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor


2.
ejsjs.png
opppa.png
Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0



LIMITE INFINITO

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.
tpoo.png

EJEMPLO
whha.png

tataa.png


Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes

x
f(x)
100
1,0x10-4
1.000
1,0x10-6
10.000
1,0x10-8
100.000
1,0x10-10
1.000.000
1,0x10-12


Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.


DEFINICIÓN DE LIMITE INFINITO

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a

PASIDD.png

EJEMPLO:


tdas.png

qweq.png
LIMITE CUANDO X TIENDE AL INFINITO


pstasd.png


LIMITE CUANDO X TIENDE A MENOS INFINITO

SLAJS.png

EJEMPLOS


AÑS.png

PAOAS.png




wasdda.png




jhsahh.png




OPERACIONES CON LIMITES AL INFINITO

Debemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

Debemos tener claro que infinito no es un número.

No distinguimos entre +∞ y −∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a-n = 1/a n


1. SUMAS CON INFINITO
  • Infinito más un número
PQWOOW.png
  • Infinito más infinito

∞ + ∞ =∞

  • Infinito menos infinito

∞ - ∞→ Ind


2. PRODUCTOS CON INFINITO
  • Infinito por un número

∞.(±k)=±∞ Si k ≠0

  • Infinito por infinito

∞.∞=∞

  • Infinito por cero

0.∞→ Ind


3. COCIENTES CON INFINITO Y CERO

  • Cero partido por un número
0/k=0

  • Un número partido por cero
k/0=∞

  • Un número partido por infinito
k/∞=0

  • Infinito partido por un número
∞/k=∞

  • Cero partido por infinito
0/∞=0

  • Infinito partido por cero
∞/0=∞

  • Cero partido por cero
0/0→ind

  • Infinito partido por infinito
∞/∞→ind


4. POTENCIAS CON INFINITO Y CERO
  • Un número elevado a cero
k⁰=1

  • Cero elevado a cero
0⁰→ind

  • Infinito elevado a cero
∞⁰→ind

  • Cero elevado a un número
pasjs.png
  • Un número elevado a infinito
xasdd.png
  • Cero elevado a infinito
qjajs.png


  • Infinito elevado a infinito
djjdjda.png
  • Uno elevado a infinito
hdauhd.png


CALCULO DE LÍMITES

Cálculo del límite en un punto
Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

assd.png
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

zhhas.png
hahsh.png
No podemos calcular hadhsa.pngporque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular agsgs.png, porque aunque 3 no pertenezca al dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.


CALCULO DEL LIMITE EN UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe

YSYAYS.png

En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:hshss.png

Por la derecha:aksa.png


Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:


Por la izquierda:ashsjj.png


Por la derecha:dffd.png


Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.


CALCULO DE LIMITES CUANDO X TIENDE ∞
LIMITE DE FUNCIONES POLINÓMICAS EN EL INFINITO

El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.


EJEMPLOS
HAHS.png

  • LÍMITE DE LA INVERSA DE UN POLINOMIO EN EL INFINITO

Si P(x) es un polinomio, entonces:
ysy.png

EJEMPLO
gasdydaa.png




  • CÁLCULO DE LÍMITES CUANDO X → −∞
gsg.png

EJEMPLOS:
OOAS.png

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos


  • LÍMITE DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

Caso 1: Si a > 0

asyyss.png
ususu.png



Caso 2: Si 0 < a < 1


haagss.png

EJEMPLOS:

YAYA.png



  • LÍMITE DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Caso 1: Si a > 0

sauass.png

Caso 2: Si 0 < a < 1


sauass.png
EJEMPLO


AUUAS.png



OSOS.png

AHHSHS.png

INDETERMINACIONES


Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

COMPARACIÓN DE INDEFINIDOS
SHSHAHS.png

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:
iaisi.png
2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:
papsps.png
  • 3 f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:
nssaas.png
Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.


Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Ejemplos

Hallar los límites por comparación de infinitos:

allslls.png


LÍMITE DE UN NÚMERO PARTIDO POR CERO

lalsss.png

El límite puede ser +∞, −∞ o no tener límite.

Ejemplos

Calcular el límite:

oaosss.png


Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el límite por la izquierda será: +∞.

iahsj.png
Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el límite por la derecha será: −∞.

ossasaas.png

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x → −1

jsajs.png

fasfasd.png



CONTINUIDAD


  • CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.


psada.png



  • CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO


Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:


1.Que el punto x = a tenga imagen

∃f(a)∃


2. Que exista el límite de la función en el punto x = a
mans.png
3.Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto
jashs.png

Ejemplo

Estudiar la continuidad de hashshs.png



1. La función tiene imagen en x = 2.

f(2)= 4


2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales

fasfaaa.png






3. En x = 2 la imagen coincide con el límite
ashhss.png

En la gráfica podemos comprobar que es continua



aasgashh.png



  • CONTINUIDAD LATERAL


CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:
oaoos.png


haagss.png



CONTINUIDAD POR LA DERECHA
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:


xass.png

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1. Toda función polinómica es continua en los reales

2. Las funciones racionales son continuas salvo en los puntos que anulan al denominador.

3. Las funciones seno, coseno, exponenciales y logarítmicas son continua en sus dominios respectivos




vvsav.png


CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO


Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b).
f es continua en a por la derecha:
sssad.png


Consecuencia

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f está acotada en dicho intervalo.


Ejemplo

Estudiar la continuidad de en el intervalo [0, 4].


f(x) es continua por la izquierda en x = 0 , ya que f(x) = x2 por ser una función polinómica es continua en toda .


f(x) es continua por la derecha en x = 4 , ya que f(x) = 4 por ser una función polinómica es continua en toda .


Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0, 4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x = 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos.


f(2)= 4
gsggs.png

Por tanto f(x) es continua en el intervalo [0, 4].

yyuas.png



TEOREMA DE WEIERSTRASS

Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].
Es decir, que hay al menos dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores extremos absolutos:

iosad.png


ydsd.png



El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentra el máximo y el mínimo, sólo afirma que existen.
Ejemplo
zazaz.png

TEOREMA DE BOLZANO

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

uusaaas.png

Ejemplo
Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].
Consideramos la función f(x) = x3 + x − 1, que es continua en [0,1] por ser polinómica. Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:
f(0) = −1 < 0
f(1) = 1 > 0
Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un c ∈ (0. 1) tal que f(c) = 0. Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo


  • Propiedad de Darboux

Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k.
También podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo:
Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b).

uusaaas.png



Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.
La función es continua en .
Porque las funciones que la componen son polinómicas y los límites laterales en los puntos de división coinciden.


Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas en x = a, entonces:
  1. f + g es continua en x = a.
  2. f - g es continua en x = a.
  3. f / g es continua en x = a, si g(a) ≠ 0.
  4. f ο g es continua en x = a.


TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO



teorema_del_valor_intermedio.PNG
Si la función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y si f(a) ≠ f(b), entonces para cada valor de k entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que f(c) = K.

TEOREMA DEL CERO INTERMEDIO



teorema_del_cero_intermedio.PNG
Si la función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos , entonces existe un número c entre a y b, tal que f(c) = 0. Es decir c es un cero de f.

TEOREMA


· La función Seno es continua en cero.

· La función Coseno es continua en cero.

· Las funciones Seno y Coseno son continuas en cada número real.

· Las funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante son continuas en sus Dominios.


  • CONTINUIDAD DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


Se supondrá que usted estudió trigonometría previamente; sin embargo, debido a la importancia de las funciones trigonométricas en Cálculo, se presenta un breve repaso de ellas.
En un curso de trigonometría, las gráficas de las funciones trigonométri­ cas se dibujan mediante consideraciones intuitivas, debido a que dos conceptos de Cálculo, continuidad y diferenciación, son necesarios para una presenta­ ción formal de dichas gráficas. En esta sección se tratará la continuidad de las funciones trigonométricas, se dedicará a la diferenciación de estas funciones. En el estudio de la continuidad de las funciones trigonométricas se considerará el límite siguiente:
3.GIF

Observe que la función definida por f(x) no existe cuando t=0 pero existe para todos los otros valores de t. A fin de tener una idea intuitiva acerca de la existencia del límite (1), primero se trazará la gráfica de f en el rectángulo de inspección de [-10, 10]
por [-1, 2], mostrada en la figura. Como f(0) no existe, la gráfica tiene un agujero en el eje y. De la figura, se sospecha que probablemente el límite de (1) existe y es igual a 1. A fin de examinar el límite a mayor profundidad, se calculan los valores de la función para conformar las tablas 1 y 2. De las dos tablas, se sospecha otra vez que si el límite en (1) existe, puede ser igual a 1. El hecho de que el límite exista y sea igual a 1 se demuestra que el valor de f(x) cuando tiende a 0 es igual a 1, pero en la demostración de este teorema se necesita el siguiente teorema, al cual se hará referencia como el teorema de estricción. Este último no sólo es importante en la demostración del teorema, sino que también se utiliza en la de­mostración de teoremas importantes en secciones posteriores


Algunas funciones continuas importantes

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.
La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.
En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.


800px-FuncionTrigonometriaSenoCoseno_svg.png


Continuidad en un valor real

Una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como
y = f(x). Se escribe J = f (I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J' se llama elmáximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

DISCONTINUIDADES

Una discontinuidad es un punto donde una función no es continua. Por ejemplo, la función external image 467f3889aa560a345e5f4b8f9320eaca.png se considera que tiene una discontinuidad removible en x = 3.

Por qué la llamamos 'removible'? Porque, si modificamos la función ligeramente, podemos eliminar la discontinuidad y hacer la función continua. En particular, podemos dividir la función para obtener f(x) = x + 3, excepto en x = 3. Si hacemos que f(x) sea 6 en ese punto, obtenemos la función continua:



external image 41ad802ed230e10a56c016a66de5e5ba.png
Pero x + 3 = 6 para x = 3, y así podemos simplificar la función a g(x) = x + 3. (Esta no es la misma que la función original, en la cual hay un punto extra en (3,6)). Así el límite en x = 3 es 6. De hecho, esta clase de simplificación es siempre posible con una discontinuidad removible en una función racional. Cuando el denominador es cero, podemos redefinir la función para obtener una función que es igual a la anterior, salvo por los nuevos puntos, donde previamente teníamos una división por 0. Y arriba se probó que el límite de esta función (puesto que es continua) es igual al límite de la función antigua.