• INTEGRAL DEFINIDA

INTRODUCCIÓN





































Antes de empezar esta sección es necesario conocer algunos parámetros para determinar geométricamente la definición de integral definida.


mate21.jpg


Área bajo una curva



areabajo.jpg



Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], con f(x)> 0 para todo x en [a, b], y que R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de la longitud Δx , y denote el i-ésimo subintervalo por [a,b ]. Entonces si f (x) es el valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo subintervalo.

La medida del área de la región R está dada por:
Dibujo1.JPG

Esta ecuación significa que para cualquier є > 0 existe un número N>0 tal que si n es un numero entero positivo y si n > N entonces:
( 2. 3 -1)

En el siguiente vídeo ayudara a tener un entendimiento mas claro sobre el tema tratado:
























SUMA DE RIEMANN

Es un método de integración númerica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Calculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemman consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este metodo de integración númerica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
rieman.jpg

DEFINICIÓN


sumariemann.jpg
dibujosumariemann.jpg




INTEGRAL DE LEBESGUE


Así, la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, ba, así la integral de Lebesgue coincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.

Para explotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland: "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está partiendo es el recorrido de f".


Un enfoque habitual define primero la integral de la funcion caracteristica de un conjunto medibleA por:



external image 0863a4ceddc7a0317ed6c6d1a0f86787.png
.
Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valores diferentes no negativos:



external image 4a371f6a51d2a761088adacf8aacdf67.png


(donde la imagen de Ai al aplicarle la función escalonada s es el valor constante ai). Así, si E es un conjunto medible, se define


external image 64fc8cca70ff33372c69e1f8ca1316e4.png

Entonces, para cualquier función medibleno negativa f se define:


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Es decir, se establece que la integral de f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que f. Una función medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir


external image c5eff0211a7847496030b7be4ff76ecb.png

Finalmente, f es Lebesgue integrable si:

external image 923f8b74b92d6699f4c3bbefb00496b0.png

y entonces se define la integral por:




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DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA



definicionintegral.jpg








NOTACIÓN Y SIMBOLOGÍA

notacion_integral.jpg





Propiedades de la Integral definida
1. Si k es un número real constante, y f es una función integrable en el intervalo cerrado [a; b], entonces:

1propiedades.jpg

2. Si f y g son dos funciones integrables en [a; b] entonces f + g tambiénn es integrable en [a; b] y:

2propiedades.jpg

3 . Si f y g son dos funciones integrables en [a; b] (con a < b) y además
3propiedadesdefi.jpg
entonces:


3propiedades.jpg

Podemos ilustrar geométricamente esta propiedad como sigue:

Sea f(x) > 0 y g(x) > 0 para xexternal image pertenece.gif [a; b], además g(x) , f(x) para cada x external image pertenece.gif [a; b], como se muestra en la figura siguiente:

3propiedadesdibujo.jpg

Note que el área del trapecio curvilíneo a Q R b es mayor que el trapecio curvilíneo a R S b, por lo que:

3propiedades.jpg

4. Si M y m son los valores máximo y mínimo respectivamente de la función f(x) en el intervalo [a; b], con a < b, y además f es integrable en [a; b] entonces:


4propiedades.jpg

Puede ilustrarse esta propiedad geométricamente como sigue: sea f(x) ¸ 0 para xexternal image pertenece.gif [a; b] (a < b) y consideremos la siguiente representación gráfica:

4propiedadesdibujo.jpg


Note que el área del trapecio curvilíneo a Q T b está comprendida entre las áreas de los rectángulos a P U b y a R S b.
(El área del rectángulo a P U b es m(b - a), la del rectángulo a R S b es M(b - a) y la del trapecio curvilíneo es:

4propiedadesultimo.jpg

Ejemplo

Consideremos la región limitada por la curva con ecuación y = x2 + 1 y las rectas cuyas ecuaciones son x = 1; x = 3; la representación gráfica es la siguiente:

ejemplopro.jpg

Note que el valor mínimo que toma la función es 2 y el máximo es 10. El área del rectángulo a P S b es
4 (ul)2, la del rectángulo a Q R b es 20 (ul)2 y la del trapecio curvilíneo a P R b es:


ejemplopro2.jpg

TEOREMA DE ROLLE

Si:
  • external image 616fb717ed0ab1dbf5ded834a72ae83e.pnges una función continua definida en un intervalo cerrado
  • external image 616fb717ed0ab1dbf5ded834a72ae83e.pnges derivable sobre el intervalo abierto (a,b)
  • external image f340162bcc0fb0cfb12a6d9cd4250424.png

Entonces: existe al menos un número external image 8a95f146c65fedbdfe65ab9a9da9377d.pngperteneciente al intervalo external image 56ea1a8a199ec8e81f62ba421e0afc93.pngtal que external image 23aeea92a66c25d83f71f7e37332c7af.png.

Dibujo96.JPG


En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.

EJERCICIOS:



EJEMPLO 1
Sea f(x) = Dec(x) = x - [x] y f:[0,1]--->R. f no es continua en b = 1. Se cumplen las condiciones (2) y (3) y es f´(x) = 1 en (0,1), por lo que no existe tal punto. || ||====

external image derivada53.png





TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Si f es una función continua en el intervalo [a; b], entonces existe en éste un puntoalfa.jpg tal que se verifique la siguiente igualdad:


valormedio.jpg
Podemos dar una interpretación geométrica como sigue: consideremos una función f tal que
valormedio2.jpg
para todos los valores de x en el intervalo [a; b].

Entonces
valormedio3.jpg
es el área de la región limitada por la curva con ecuación y = f(x), el eje X y las rectas con ecuaciones x = a; x
= b

valormedio4.jpg

Establece que existe un número alfa.jpg en [a; b] tal que el área del rectángulo a Q S b, cuya altura es f (alfa.jpg) y que tiene ancho de (b - a) unidades, es igual al área de la región a P R b.
El valor de alfa.jpg no es necesariamente único.
Aunque el teorema no establece un método para determinar alfa.jpg, sí garantiza que existe un valor de alfa.jpg , lo cual se utiliza para demostrar otros teoremas.


Ejemplo

Determinar, en cada caso, el valor de alfa.jpg tal que:
ejemplo2.jpg
ejemplo2valor.jpg

ejemplo2parte3.jpg

Dibujoejemplo3.jpg
luego el valor de
alfa.jpg
que satisface el teorema del valor medio para integrales es
formula.jpg

Gráficamente se tiene:


Dibujo2ejmplo2.jpg


REGLA DE BARROW

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
Dibujo14.JPG

Análisis Matemático de funciones
Antes de entrar en el estudio de áreas y volúmenes generados por funciones, es necesario tener en cuenta los lugares en el plano que delimitan dichas funciones. Es así que a continuación se procederá a recordar algunos aspectos básicos para obtener la gráfica y facilitar la resolución de un determinado problema, ademas de ser conceptos bastante fundamentales dentro de la ingeniería. Para ello consideraremos los siguientes aspectos

1. ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA FUNCIÓN


1.1 DOMINIO DE FUNCIÓN


El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.
D = {x external image pertenece.gifexternal image R2.gif/ external image exixte.giff (x)}
external image c_2.gif


‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍1.2 INTERSECCIONES CON EL EJE "X"‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍


Para hallar las intersecciones con el eje x o raíces de la función, igualamos a cero y resolvemos con el método apropiado la ecuación que se presente.


external image cb3861ad9869c0eb80ba9334b8cc1f17.png



EJEMPLO:
external image ddcd0ae179cd2020762bed6404cee0b2.png


external image 36cacb193b9a386e679237ff351a435e.png



Se tiene que 2 y 4 son raíces, es decir los puntos en los cuales la función interseca al eje "x"

1.3 PUNTOS CRÍTICOS


Dibujo.jpg



Dentro de una función, entiéndase por puntos críticos a los puntos máximo, mínimo y los extremos.

Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, hallamos la primera derivada de dicha función.
Una vez encontrada la primera derivada, igualamos a cero y resolvemos la ecuación formada.
Ahora bien, encontradas la raíces de esta ultima ecuación, dibujamos una línea y colocamos los puntos sobre la línea lo cual nos delimitará regiones dentro de las cuales escogeremos un número de prueba de cada una de las regiones formadas y lo reemplazamos (dy/dx)=0, haciendo lo mismo con el resto de los puntos de prueba.
A continuación nos fijamos en el signo obtenido siguiendo el orden de la región de izquierda a derecha en la línea y nos fijamos en los signos obtenidos antes de las raíces de la ecuación así:

Si los signos van de positivo a negativo, entonces tenemos un MÁXIMO (max).
Si los signos van de negativo a positivo, entonces tenemos un MÍNIMO (min).

Hallamos la ordenada de dichos puntos críticos y obtenemos un punto por donde pasa la gráfica.
























1.4 PUNTOS DE INFLEXIÓN (CONCAVIDADES)


Para hallar cuales son los puntos donde la curva cambia de trayectoria, ahora encontramos la segunda derivada de la función que estamos analizando y a continuación igualamos a cero, resovemos la ecuación y procedemos a dibujar una recta con los respectivos puntos, al igual que en el caso anterior tomamos punto de prueba entre los intervalos formados
y analizamos el signo:
si el punto es positivo antes del punto punto fijo (resultado de resolver la ec anterior), y a continuación existe uno negatico entonces hay un punto de inflexión en dicho punto.
Calculamos la ordenada de dicho punto y terminamos el procedimiento.



puntos_d_inflexion.jpg



2. PUNTOS DE INTERSECCIÓN (SI EL ÁREA DESEADA SE ENCUENTRA ENTRE DOS A MÁS CURVAS)


En esta caso hacemos un sistema de encuaciones entre las curvas relacionadas y obtendremos los puntos de intesección de las mismas los cuales nos serviran de limites para poder calcular el área deseada.

3. GRÁFICO



Ahora con los puntos encontrados anteriormente, realizamos un sistema de coordenas y obtenemos una visualizacion del lugar geometrico que estamos analizando.

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO


Primera Parte
Si f es una función continua en [a, b]:
Dibujo15.JPG
entonces verifica A' (x)  f(x) para todo x del intervalo.

Demostración:
Queremos calcular:
Dibujo16.JPG
Pero según la definición de A(x) resulta:
Dibujo17.JPG
De aquí el numerador: (1)
Dibujo18.JPG
Por propiedades de la integral definida
Dibujo19.JPG
Reemplazando en (1), surge
Dibujo20.JPG
Es decir:
Dibujo21.JPG

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA


ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS

Sean f y g funciones integrables en [a, b]; con la condición: f≤ g en [a, b]. Consideremos entonces los siguientes casos.

1er.- (Caso general) f ≤ g
Es decir, únicamente sabemos que f y g satisfacen (fig.1) y nada más. Procedemos entonces de la siguiente manera. Sea C un número tal que:


Dibujo38.JPG
Ya estamos entonces en el primer caso y utilizando dicho resultado tenemos:

Es decir:
Dibujo39.JPG


Dibujo40.JPG
Expresión que es exactamente la misma que la del caso 1.
Dibujo41.JPG



Nota: Si f < 0, para determinar el área de Q, se debe considerar a la función g como la función nula; es decir, g (x) = 0,

Dibujo42.JPG

Luego:

Dibujo43.JPG
Resumiendo:

Dibujo44.JPG
























VOLUMEN DE REVOLUCIÓN



























MÉTODO DE DOS CILINDROS MACIZOS


Dibujo45.JPG

Dibujo46.JPG



MÉTODO DE LOS CILINDROS HUECOS



Dibujo47.JPG


Dibujo48.JPG



ejemplo:

Hallar el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje , la región limitada por la gráfica de:
Dibujo49.JPG
Solución:

Dibujo50.JPG

i-ésimo rectángulo que al rotar alrededor del eje X genera un disco circular en forma de cilindro circular recto.
El volumen del i-ésimo disco circular es:
Dibujo51.JPG
La suma de aproximación del volumen:
Dibujo52.JPG
El volumen del sólido está dado por:

Dibujo53.JPG

LONGITUD DE UNA CURVA


Sea cordova0.JPGentonces:
Ysu longitud L de (a, f(a)) hasta (b, f(b)) es:



cordova2.JPG

























SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN


Para una función f :
A) si rota en el eje x con límites de superficie (a, b) en el eje x entonces la superficie está dada por:

Y

cordova5.JPG




cordova3.JPG
B) si rota en el eje (y) y tiene los limites (a, b) en el eje x


cordova4.JPG




INTEGRACIÓN NUMÉRICA


En los cursos de Cálculo Integral, nos enseñan como calcular una integral definida de una función contínua mediante una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo.El problema en la práctica, se presenta cuando nos vemos imposibilitados de encontrar la antiderivada requerida, aún para integrales aparentemente sencillas como:

Dibujo54.JPG

La cual simplemente es imposible de resolver con el Teorema Fundamental del Cálculo.
Existen diversos métodos numéricos que nos permitirán obtener aproximaciones bastante exactas a integrales como la mencionada anteriormente.

Las fórmulas de Newton-Cotes están conformadas por las bien conocidas reglas del trapecio y de Simpson (regla de un tercio y de tres octavos). Haciendo uso de algunos programas computacionales (por ejemplo, en Mathematica) es posible discernir sobre las cualidades y defectos de cada uno de los métodos mencionados arriba.


integral_numerica

FORMULAS DE INTEGRACION DE NEWTON-COTES

Estas fórmulas se basan en la idea de integrar una función polinomial en vez de f(x):

Dibujo55.JPG
donde:

Dibujo56.JPG



Es un polinomio de interpolación de grado n para ciertos datos de f(x) que se escogen apropiadamente.
Es importante observar que estas fórmulas se pueden aplicar inclusive a una tabla de datos, ya que lo que se usa es un polinomio de interpolación, el cual puede ser calculado con la tabla.
Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes, existen las formas cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los valores de f(a) y f(b); en caso contrario, se llaman formas abiertas.
Nosotros nos remitiremos a estudiar únicamente las formas cerradas, y por lo tanto, siempre suponemos que conocemos los valores f(a) y f(b).

REGLA DEL TRAPECIO


Sea f una función continua en el intervalo cerrado CARTON2.JPG. La integral definida de f en CARTON2.JPGes el límite de la suma
de Riemann; esto es:
=
CARTOON.JPG

=
La suma de Riemann se interpreta geométricamente como la suma de las áreas de los rectángulos que están entre la curva y el eje x .
Para aproximar la medida del area de una región se emplearan trapecios en lugar de ractangulos, se utilizara particiones regulares y valores de función en puntos igualmente espaciados.
Asi para integral definida hola.JPGse divide el intervaloCARTON2.JPGen n subintervalos, cada uno de longitud cada uno de longitud CARTON11.JPG. esto proporciona los siguientes puntos:
CARTON12.JPGCARTON13.JPGCARTON14.JPG
Entonces la integraldefinida puede expresarse como la suma de n integralesdefinidas asi :
freddy1.JPG

Geometricamente se pude interpretar con el grafico:

==

freddy2.JPG

==

La integral es la medida del area de los trapecios formados desde las rectas x=a hasta x= b, para el primer trapecio por la formula de la geometria elemental se tiene:

freddy3.JPG

De igual manera para los demas trapecios se tiene la integral:
freddy4.JPG


Resolviendo el miembro derecho se tiene:
freddy5.JPG


Esta formula se conoce como la regla del trapecioy establece en el siguiente torema:
Toerema de la regla del trapecio
Si la funcion f es continua en el intervaloCARTON2.JPG y los numeros CARTOON1.JPGforman una paricion regular de CARTON2.JPG, entonces:

CARTOON2.JPG



EJEMPLO
Aproxime con tres cifras decimales el valor de

freddy6.JPG




SOLUCION
Consideremos a n=6 ,como , entonces:

freddy7.JPG

Por tanto

freddy8.JPG

Dondefreddy9.JPG ,para la facilidad del calculo se realiza una tabla de valores,donde se muestra lasuma de los valores entre corchetes:

freddy10.JPG


Luego,

freddy11.JPG

REGLA DE SIMPSON (REGLAPARABOLICA)

La regla de Simpson tiene mayor aproximación que regla de los trapecios. En la regla de los trapecios los puntos sucesivos de la grafica y = f(x) se unen mediante líneas que forman los trapecios, en la regla de Simpson los puntos se unen mediante segmentos de parábolas. Antes de desarrollarse establecerá un teorema que se necesitara:

freddy12.JPG
Teorema

freddy13.JPG
Sea f una función continua en el intervalo cerrado , considere una partición regular del intervalo en n subintervalos, donde n es par. La longitud de cada subintervalo está dada por = (b-a)/n. denote los puntos de la partición de la curva y=f(x) por Po(Xo, Yo),…..,Pn(Xn, Yn).

Para el primer segmento de curva de Po a P2 se aproxima mediante el segmento de la parábola que pasa por los puntos Po, P1 y P2, entonces por el teorema el área de la región limitada por el segmento de la parábola que pasa por los puntos Po, P1 y P2, el eje x y las rectas x=xo con h=y x= x2 está dada por:

freddy15.JPG
De igual manera se hace para los demás medidas de áreas hasta que haya n/2 regiones y el área de la última región está dada por:

freddy16.JPG
Como la integral definida está dada por la suma de las áreas desde las rectas x= a hasta x = b y el eje x entonces se tiene:

freddy17.JPG
Donde = (b - a)/n.
Esta regla recibe el nombre de la regla de Simpson y se expresa en el siguiente teorema:

freddy18.JPG
EJEMPLO
Aproxime con cuatro cifras decimales el valor de:

freddy19.JPG

SOLUCION
Aplicamos la regla de Simpson con n=4, se tiene:


freddy20.JPG

Por tanto si f(x)= 1/(x+1), entonces:

freddy21.JPG

Para un mejor desarrollo se utilizara una tabla de valores

freddy22.JPG

En consecuencia


freddy23.JPG

Al redondear el resultado a cuatro cifras decimales se tiene:


freddy24.JPG

Al calcular el valor exacto de la integral definida se tiene:

freddy25.JPG



REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO

Suponemos que tenemos los datos:

Dibujo63.JPG

donde Xm es el punto medio entre a y b.
En este caso se tiene que:

Dibujo64.JPG
donde f2(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de Lagrange.
Así, tenemos que:
Dibujo65.JPG
Si denotamos
Dibujo66.JPG, entonces:
Dibujo67.JPG
Simplificando términos:
Dibujo68.JPG
Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x-a)(x-b)

Así, calculamos la siguiente integral por partes:
Dibujo69.JPG
Sea:
Dibujo70.JPG
por lo tanto,
Dibujo71.JPG
Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de f2(x).


Dibujo72.JPG


Debido al factor 1/3h se le conoce como la regla de Simpson de un tercio.

En la práctica, sustituímos el valor de h para obtener nuestra fórmula final:
Dibujo73.JPG
REGLA DE SIMPSON DE TRES OCTAVOS
Este caso corresponde a n=3 , es decir,
Dibujo74.JPG
donde es un polinomio de interpolación para los siguientes datos:

Dibujo75.JPG
====Y donde a=X0, b=X3 y X1, X2 son los puntos que dividen en tres partes iguales al intervalo a,b.

Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula:
Dibujo76.JPG
donde h. Debido al factor 3/8h es que se le dió el nombre de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener:
Dibujo77.JPG

==










==

INTEGRACIÓN EN INTERVALOS DESIGUALES


Cuando la longitud de los subintervalos no es igual, se usa una combinación de la regla Trapezoidal y las reglas de Simpson, procurando seguir el siguiente orden jerárquico:
1 .- Simpson 3/8
Esta se aplica, si contamos con 4 puntos igualmente espaciados.
2 .- Simpson 1/3
Esta se aplica si falla (1) y contamos con 3 puntos igualmente espaciados.
3 .- Regla Trapezoidal
Solo se aplica si no se cumple.

COORDENADAS POLARES




external image 000736720.png

Este sistema es importante debido a que ciertas curvas tienen ecuaciones más simples en coordenadas polares. Además, las tres cónicas (elipse, parábola e hipérbola) pueden representarse mediante una ecuación. Esta ecuación se aplica en física para deducir las leyes de Kepler, y en astronomía en el estudio de movimiento de planetas. Las coordenadas cartesianas son números, la abscisa y la ordenada, que representan la distancia dirigida a partir de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo de dirección en relación a punto fijo y un rayo fijo (o semirrecta). El punto fijo se denomina polo (u origen) y se representa mediante la letra O. El rayo fijo recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontal y se prolonga indefinidamente hacia la derecha (FIGURA 1).
Dibujo79.JPG


Sea P cualquier punto del plano diferente de O. Sea ϴ la medida en radianes del ángulo dirigido AOP, positivo cuando se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como su lado inicial el rayo OA y como su rayo final el rayo OP. Si δ es la distancia no dirigida de O a P (esto es, δ = │ │), un conjunto de coordenadas polares de P está dado por δ y ϴ, y se denotan estas coordenadas como (δ, ϴ).
A menudo el ángulo se mide en radianes: de modo que en un conjunto de coordenadas polares de un punto es un par ordenado de números reales. Para cada par ordenado de números reales existe un único punto al que le corresponde este conjunto de coordenadas polares. Sin embargo, se ha visto que un punto particular puede representarse mediante un número ilimitado de pares ordenados de números reales. Si el punto P no es el polo, y δ y ϴ se restringen de modo que δ > 0 y 0 ≤ ϴ ≤ 2π, entones P tiene un único conjunto de coordenadas polares.

En ocasiones se desea hacer referencia a las coordenadas cartesianas rectangulares y coordenadas polares de un punto. Para lograr esto, se considera el origen del primer sistema como el polo del segundo sistema, el eje polar como la parte positiva del eje x y el rayo para el cual ϴ
½ π como la parte positiva del eje y.

Suponga que P es un punto cuya representación en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares es (x, y), y (δ, ϴ) es la representación en coordenadas polares de P. Como caso particular, suponga que P está en el segundo cuadrante y δ > 0, como lo indica la FIGURA 7. Entonces:



Dibujo80.JPG
De este modo,



Dibujo81.JPG

Estas ecuaciones se cumplen para P en cualquier cuadrante y δ positivo o negativo. De las ecuaciones no solo se pueden obtener las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto cuando se conocen las coordenadas polares, sino que también se puede obtener una ecuación polar de una curva a partir de su ecuación cartesiana rectangular.

Con el fin de deducir las ecuaciones que proporcionen un conjunto de coordenadas polares de un punto cuando se conocen sus coordenadas cartesianas rectangulares, se elevan al cuadrado los miembros de cada ecuación (1), se iguala la suma de los izquierdos a la suma de los miembros derechos, y se resuelve para δ, obteniéndose:

Dibujo82.JPG

Cuando se hace la siguiente relación se tiene que:
Dibujo83.JPG
RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS
C y r son constantes

ϴ =C
Recta que contiene al polo; forma un ángulo de C radianes con el eje polar.
δ senϴ = b
Recta paralela al eje polar; arriba del eje polar si b > 0; debajo del eje polar si b < 0.
δ cosϴ = a
Recta paralela al eje ½ π; a la derecha del eje ½ π si a > 0; a la izquierda del eje ½ π si a < 0.
δ = r
Circunferencia, centro en el polo; radio r.
δ = 2r cosϴ
Circunferencia; radio r; tangente al eje ½ π, centro en el eje polar o en su prolongación.
δ = 2r senϴ
Circunferencia; radio r; tangente al eje polar, centro en el eje ½ π o en su prolongación.
δ = 4c tanϴsecϴ
Parábola, vértice en el origen, foco en el eje ½ π o en su prolongación; arriba del eje polar.

Antes de discutir otras gráficas polares, se establecerán los siguientes criterios de simetría.

CRITERIOS DE SIMETRÍA

Una gráfica es:

(i) Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente, cuando (δ, ϴ) se sustituye por (δ, -ϴ) ó (- δ, π - ϴ).

(ii) Simétrica con respecto al eje ½ π si se obtiene una ecuación equivalente cuando (δ, ϴ) se sustituye por (δ, π - ϴ) o (-δ, -ϴ).
(iii) Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando (δ, ϴ) se sustituye por (-δ, ϴ) o (δ, π + ϴ).

TIPOS DE CARACOLES

De la ecuación δ = a + b cosϴ, donde a > 0 y b > 0:

TIPOS DE CARACOLES
0 < < 1
Caracol con lazo, vea la FIGURA 9
= 1
Cardioide (forma de corazón), vea la FIGURA 10
1 < < 2
Caracol con hendidura, vea la FIGURA 11
2 ≤
Caracol convexo, vea la FIGURA 12

A partir de la ecuación de un caracol, también se puede determinar su simetría, y la dirección en la que apunta.
a > 0 y b > 0

SIMETRÍA Y DIRECCIÓN DE UN CARACOL
δ = a + b cosϴ
Simetría con respecto al eje polar, apunta hacia la derecha.
δ = a - b cosϴ
Simetría con respecto al eje polar, apunta hacia la izquierda.
δ = a + b senϴ
Simetría con respecto al eje ½ π, apunta hacia arriba.
δ = a - b senϴ
Simetría con respecto al eje ½ π, apunta hacia abajo.

Dibujo84.JPG

Dibujo85.JPG

LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE UNA REGIÓN PARA GRÁFICAS POLARES


LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA

Coordenadas rectangulares

Dibujo86.JPG

Sea f una función continua en [a, b]. La longitud de la curva entre (a, f(a)) y (b, f(b)) está dada por:
L = L1 + L2 + L3 +… + Ln
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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN



Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva.

Aplicaciones

La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.

La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.

Área de una superficie de revolución
Si la curva está definida por las funciones x(t) y y(t), perteneciendo t a un intervalo [a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado y, el área A estará dada, entonces, por la integral

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siendo x(t) siempre positiva.

Esta ecuación es equivalente al Teorema del centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad
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se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad 2πx(t) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución. Si la curva está definida por la función y = f(x), la integral se transforma en:

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para una curva que gira alrededor del eje de las abscisas,


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y para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas. Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva x(t) = sen(t) y y(t) = cos(t) cuando t toma valores en el intervalo [0,π]. Su área, por tanto, será


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Geometría diferencial de superficies de revolución
        • Una superficie de revolución puede ser parametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:


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        • Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan.
        • Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:Dibujo95.JPG

Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.

Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.

Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.

Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución en el eje y la recta se denomina radio.


CILINDRO
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HOROESFERA
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PSEUDOESFERA




PEUDOESFERA.jpg

SUPERFICIE DE DINI



SUPERFICIE_DE_DINI.jpg


EJEMPLOS EXTRAS

1.
integral definida
integral definida

solución
solución


2.
integral
integral

solución
solución





3.
integral definida
integral definida

integral indefinida
integral indefinida

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integrar
integrar

solución a la integral indefinida
solución a la integral indefinida

solución a la integral definida
solución a la integral definida


4.
integral
integral

canela variable
canela variable

cambio
cambio

cambio
cambio

integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

derivar
derivar

integrar
integrar

integral
integral

solución
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http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_2/La_integral_definida_y_la_funcion_area/sumario.htmlBlasco Laín, O. "Integral Definida". Proyecto Descartes. España.http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Analisis/Integral_definida_integral_riemann/Integral_definida_integral_riemann.htmMartínez Arcos, E. "Cálculo Integral". Proyecto Descartes. España.http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_2/Calculo_integral/indiceint2.html


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