INTEGRAL DOBLE


1) DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE
2) INTEGRALES ITERADAS
3) ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
4) VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
5) APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES
6) COORDENADAS POLARES


DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE

Sea la integral definida de una función:
ge__5.png
Llamada también suma de Riemann, que significa el área bajo la curva y=f(x) en un intervalo cerrado (a,b).
Para obtener el área de la región de la función con dos variables, se trabajará en una región cerrada R.
area de R.png

En la región R, trazamos particiones. La ij-ésima partición tendrá forma rectangular. El área sería:
definicion de integral doble__9.png
area de R particion.png
Así, podemos definir una función de dos variables z= f(x,y) en la región R y la ij-ésima sería:
definicion de integral doble__10.png
area de R eometricamente.png
El punto definicion de integral doble__11.png representa un punto del rectángulo. El volumen del ij-ésimo paralelepípedo denotado por definicion de integral doble__12.png esta dado por:
definicion de integral doble__13.png
El volumen bajo la superficie va ser el resultado de la suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepípedos, así:
volumen de paralel.png
Este análisis conduce a la siguiente definición:

DEFINICIÓN: Sea f una función de dos variables definida en la región plana

definicion de integral doble__15.png

Al definicion inte doble.png se le denomina integral doble de f en R y se la denota: definicion de integral doble__16.png

Además, si existe el límite, la función de dos variables es integrable en R.

Ejemplo: Calcular

definicion de integral doble__18.png
definicion de integral doble__19.png
definicion de integral doble__20.png
definicion de integral doble__21.png
definicion de integral doble__22.png

TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

Sea f una función de dos variables definida en la región plana
definicion de integral doble__15.png
Si f está acotada y es continua en R a excepción de un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R.

TEOREMA FUBINI

Sea f una función de dos variables definida en la región plana
definicion de integral doble__15.png
Si f es continua en R, entonces:
Untitled2 lunes 14__1.png
Untitled2 lunes 14__2.png

De esta manera evaluamos a las integrales dobles como integrales simples, a dichas integrales se las denomina Integrales Iteradas.

INTEGRALES ITERADAS

Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable ( en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables).

Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los limites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, si se va a integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy.

DEFINICIÓN: Integral doble iterada en dominio simple respecto de x.

Sea:

role integral iterada__1.png

un dominio simple respecto de x, y sea f(x,y) continua en D.

Se llama integral doble iterada de f en el dominio D al número:

role integral iterada__2.png

que se denota:

role integral iterada__3.png

Ejemplos:

Calcular:

Untitled2 lunes 14__3.png
Untitled2 lunes 14__4.png
Untitled2 lunes 14__5.png
Untitled2 lunes 14__6.png
Untitled2 lunes 14__7.png
Untitled2 lunes 14__8.png
Untitled2 lunes 14__9.png
Otro ejemplo:





ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por cualquiera de las integrales:


Untitled1__1.png

Los límites de integración apropiados, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y y después respecto a x; es decir:

Untitled1__2.png

Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir así:

Untitled1__3.png

Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es:
Untitled1__4.png

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

PROPIEDADES

Sean f y g funciones de dos variables continuas en una región R, entonces:
1. Untitled2 lunes 14__10.png
2. Untitled2 lunes 14__11.png
3. Untitled2 lunes 14__12.png donde Untitled2 lunes 14__13.png

Ejemplo:
Calcule mediante integración doble el área de la región del plano limitada por las curvas
ejemplo de area__1.pngejemplo de area__2.pngejemplo de area__3.png
area.png
ejemplo de area__4.png
ejemplo de area__5.png
ejemplo de area__6.png
ejemplo de area__7.png
ejemplo de area__8.png


VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES

Sea el sólido limitado por el plano Untitled2 lunes 14__14.png y el plano xy en el primer octante, obtenemos el volumen:


volumen integral doble.png


El volumen del sólido sería: dV = hdA = zdA
Por lo tanto el volumen está dado por:


Untitled2 lunes 14__15.png
Donde R sería:

volumen integral doble donde r seria.png


Por medio de un barrido vertical y evaluando la integral, obtenemos:

Untitled2 lunes 14__16.png
Untitled2 lunes 14__17.png
Untitled2 lunes 14__18.png
Untitled2 lunes 14__19.png
Untitled2 lunes 14__20.png
Untitled2 lunes 14__21.png
Untitled2 lunes 14__22.png


Si es el caso de un sólido limitado por superficies, así:

volumen integral doble limitado.png


El volumen esta dado por: Untitled2 lunes 14__23.png

Siendo R, la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy.

Ejemplo:
Un sólido está limitado por la superficie volumen ejemplo__1.png, el plano xy, y los planos volumen ejemplo__2.pngvolumen ejemplo__3.pngvolumen ejemplo__4.png. Calcule su volumen por doble integración.

volumen ejemplo__5.png
y con los planos
volumen ejemplo__2.pngvolumen ejemplo__3.pngvolumen ejemplo__4.png, las parábolas volumen ejemplo__6.pngvolumen ejemplo__7.pngvolumen ejemplo__8.png
basa__1.png

volumen ejemplo__9.pngcalculamos la integral sobre la región del plano.

volumen ejemplo__10.png
volumen ejemplo__11.png
volumen ejemplo__12.png
volumen ejemplo__13.png
volumen ejemplo__14.png
volumen ejemplo__15.png

APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES
Consideremos una lamina delgada L, que ocupa una región R del plano y cuyo espesor es despreciable. En dicha región se distribuye de manera continua una masa con densidad superficial

Masa de la lámina



martes rol__1.png

Momentos estáticos respecto de los ejes


El momento estático MxP respectivamente MyP de un punto material (x,y) de una masa m, respecto al eje x y respectivamente al eje y, es el producto de la masa por su distancia tanto al eje de abscisas como de ordenadas. Luego los momentos estáticos de la lamina L estarán dados por:


miercoles role__4.png


miercoles role__5.png

Centro de masa o centro de gravedad


Se define como el punto en que se habría de colocar el punto de apoyo para que el sistema alcance el equilibrio.
Viene dado por:

miercoles role__2.png

Centro geométrico


Las coordenadas (x,y) del centroide de una región plana R de área

miercoles role__3.png

satisfacen las relaciones:

miercoles role__6.png
o también:
miercoles role__7.png

miercoles role__8.png

Momentos de inercia de L


El momento de inercia de un punto material P de masa m, respecto a una recta r, o a un punto Po es el producto de la masa por el cuadrado de la distancia de P a la recta o al punto.
y el momento de incercia de un conjunto de puntos materiales respecto a r o Po, es la suma de los momentos de inercia de los diversos puntos del conjuunto. Por tanto, los momentos de inercia vendran dados por:
  • Respecto al eje x
miercoles role__9.png
  • Respecto al eje y
miercoles role__10.png
  • Respecto al origen ( denominado también momento de inercia polar)
miercoles role__11.png
  • Respecto a un punto Po (Xo,Yo)

miercoles role__12.png
Ejemplos:
ENCUENTRE LA MASA Y EL CENTRO DE MASA DE UN TRIÁNGULO CON VÉRTICES EN (0,0) (1,0) Y (0,2)
DENSIDAD:
mierddd 2 rolem__1.png


grafico del ejercicio de masa de integraldoble.png

mierddd 2 rolem__2.png
mierddd 2 rolem__3.png
mierddd 2 rolem__4.png
mierddd 2 rolem__5.png
mierddd 2 rolem__6.png
mierddd 2 rolem__7.png
centro de masa =
mierddd 2 rolem__9.png

Mas ejemplos:

-Calcular el volumen del sólido ubicado debajo de la superficie z = x2 + y2 sobre la región R={(x,y) ε R2/ 0 ≤ x ≤ 3y, 0 ≤ y ≤1}

-Calcular la masa de una lámina plana limitada por: 0 ≤ y ≤ 1 ; arctan(y) ≤ x ≤ π/4; Si la función densidad en cada punto es f(x,y) = sec5x

-Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies (cilindro) z = y2- 1, z = 2, x = 0, x = 2.



COORDENADAS POLARES

Si deseamos integrar f función definida dentro de una región R, generalmente lo haríamos evaluando la integral doble

miercoles role__13.png

sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos de coordenadas rectangulares.
Un problema que puede presentarse seria si se desea trabajar con ciertas figuras circulares( círculos, paraboloides, elipsoides, etc), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.
Recordemos las ecuaciones que relacionan ecuaciones polares con rectangulares.
miercoles role__14.png
miercoles role__15.png
miercoles role__16.png
Entonces, haciendo esta transformación tendríamos que ahora la región R esta definida por:

miercoles role__17.png

donde, el diferencial de área, se definiría como:
miercoles role__18.png
Así, la integral quedaría como:
miercoles role__19.png


Ejemplos:

1) Evaluar

miercoles role__22.png


donde R es la región del se mi-plano superior limitado por los círculos

122.png


miercoles role__23.png
miercoles role__24.png

2) Utilizar una integral doble para encontrar el área encerrada por un pétalo de la rosa de 4 hojas
miercoles role__25.png

1234.png



miercoles role__26.png
miercoles role__27.png
miercoles role__28.png
miercoles role__29.png
miercoles role__30.png
miercoles role__31.png

OTRO EJEMPLO:










































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