Geometría Analítica


Es la parte de la matemática que establece una conexión entre el álgebra y la geometría Euclidiana: estudia las propiedades de las figuras por procedimientos algebraicos y sujeta las cuestiones de geometría a métodos generales y uniformes, aplicables a todas las figuras.

Vector

Es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Elementos de un vector

1.-Dirección de un vector: es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

2.-Sentido de un vector: El sentido de los vectores el que va desde el origen A al extremo B.

3.-Módulo de un vector: es la longitud del segmento AB, se representa por: El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.


Coordenadas Rectangulares

Sistema de Coordenadas Rectangulares
El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan desde el punto O ó también llamado origen del sistema. La recta horizontal del plano se la denomina eje X o eje de las abscisas, mientras que la recta vertical se la denomina eje Y o eje de las ordenadas.
matematicas.png



La distancia desde un punto al eje Y y la distancia desde un punto al eje X constituyen las coordenadas del punto en cuestión y se representa por el símbolo(X, Y).

• Las abscisas son positivas cuando el punto está situado a la derecha del eje Y, y negativas en caso contrario.

• Las ordenadas son positivas cuando el punto está por encima del eje X, y negativas en caso contrario.

1.png



Distancia Entre Dos Puntos
La distancia (d) entre dos puntos P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2)

2.GIF



Puntos de división
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:


r=P1P/PP2



3.jpg




4.jpg




Inclinación y Pendiente de una Recta
La inclinación de una recta L (que no sea paralela al eje X) es el menor de los ángulos de dicha recta forma con el semieje X positivo y se mide desde el eje X a la recta en el sentido contrario a las agujas del reloj.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación como lo indica en el gráfico.

5.png


6.gif



Rectas Paralelas y Perpendiculares
Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es igual al reciproco de la pendiente de la otra con signo contrario. Esto es, llamando m1 a la pendiente de L1 y m2 a la de L2 se tiene: m1m2 = -1

Ángulo de dos rectas

7.png




La recta L1, con ecuación y = m1x + b1, se interseca con la recta L2, con ecuación y = m2x + b2,
Se forman dos ángulos, el ángulo θ y su suplementario 180°- θ.
Para obtener el valor del ángulo θ procedemos en la forma siguiente:
Como "en todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a el":
α1 + β = α2

Despejando:
β = α -α

Como β = θ para ser opuestas por el vértice queda,
θ = α2 – α1
El problema lo resolveremos usando la función tangente; en consecuencia, podemos indicar que; tanθ = tan(α2 – α1).
En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de dos ángulos es;
tan(α2 – α1) = tan α2 - tan α1 / 1 + (tan α1)(tan α2)
Como: tan α2 = ɱ2 tan α1 = ɱ1
Sustituyendo queda:
tan=m2-m1/1+(m1)(m2)

Fórmula para obtener el valor del Angulo θ.

Área de un Polígono en Función de las coordenadas de sus vértices

Sean P1, P2, P3 los vértices de un triángulo. El área A en función de las coordenadas de los vértices viene dada por la expresión:


8.png
Lugar Geométrico
Lugar geométrico o gráfica de una ecuación de dos variables es una línea, recta o curva que contiene todos los puntos, y solo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada .Antes de representar gráficamente el lugar geométrico es muy conveniente para determinar su forma conocer algunas propiedades como:


Intersecciones con los Ejes: Son las distancias (positivas o negativas) desde el origen hasta los puntos en los que la línea del lugar corta a los ejes coordenados.
Para hallar la intersección con el eje X se hace Y=0 y se despeja X
Para hallar la intersección con el eje Y se hace X=0 y se despeja Y

Simetrías
• Dos puntos son simétricos con respecto a una recta si ésta es la MEDIATRIZ del segmento que los une.
• Dos puntos son simétricos con respecto a otro punto, si éste es el punto medio del segmento que los une.

La Línea Recta
Analíticamente es una ecuación lineal de primer grado en dos variables, recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.

9.png

Formas de la Ecuación de la Recta

Punto - Pendiente: La ecuación de la recta que pasa por un punto P1 (X1, Y1) y cuya pendiente sea m es:

10.png




Pendiente - Ordenada al Origen: La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto (0, b), siendo b la ordenada en el origen.

Cartesiana: La ecuación de la recta que pasa por los puntosP1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) es:

11.png



Ecuación General de la Recta

Una ecuación lineal o de primer grado en las variables X e Y es de forma Ax +By + C = 0, en donde A, B, C son constantes. La pendiente de la recta escrita en esta forma es:

12.png



Ecuación Normal de la Recta

La ecuación anterior (cartesiana) es la ecuación de la recta. Surge una pregunta: ¿qué significado tienen los coeficientes de la X y Y de esa ecuación? Obsérvese que son las componentes del vector unitario z. Tales componentes de un vector unitario en una base ortonormal {i,j}, son el coseno y el seno del ángulo que forma con el vector i de la base. Así pues dando como resultado, la siguiente formula:

13.png



Siendo “D” el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas. Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

14.png



Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:

15.png



Con el número k podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo A y B entre k y para calcular dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, porque C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k. Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

16.png







  • EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (1, 2, 3) y P2 (0, 1, 2) dando la ecuación vectorial, la paramétrica y la cartesiana.

Respuesta:
Podemos considerar, sobre un sistema de ejes cartesianos en el espacio, dos puntos P1 y P2 y un punto genérico P de la recta. Teniendo en cuenta la figura adjunta, resulta:

Y considerando que todo vector arbitrario P1P es combinación lineal del vector P1P2, la igualdad anterior nos queda:


17.jpg

Y sustituyendo por los valores de las coordenadas:

18.png


Que es la ecuación vectorial de la recta pedida. La anterior ecuación también e puede poner:

19.png



Que es la ecuación paramétrica de la recta.

Eliminando el parámetro se obtiene la ecuación cartesiana:

20.png



Y en nuestro caso concreto:

21.png



Ejercicio 2

Determinar la ecuación del plano que contiene a la recta:

Pasa por el punto (1, 2, 3)


22.png




Respuesta:

Si eliminamos denominadores, obtenemos la ecuación de la recta como corte de dos planos. Tomando las ecuaciones dos a dos, resulta:

2•x – 1•y + 1 = 0
1•y – 2•z + 1 = 0


Se define como haz de planos al conjunto de los planos que se cortan en una recta común. Todos los planos del haz se pueden obtener como combinación lineal de dos planos pertenecientes al haz. Obtenemos entonces la ecuación del haz que satisfacen los dos planos anteriores:


2•x – y + 1 + l(y – 2.z + 1) = 0

Como el plano que nos interesa debe contener al punto (1, 2, 3), la anterior ecuación debe quedar satisfecha por dicho valor:


2•x – y + 1 + l(y – 2.z + 1) = 0
2•1 – 2 + 1 + l(2 – 2.3 + 1) = 0
l = 1/3

Hemos obtenido de ese modo el valor del parámetro que satisface las condiciones pedidas. Sustituyendo en la ecuación y agrupando coordenadas, tenemos:


Podemos también resolver el problema en otra forma. Para ello obtenemos tres puntos que pertenezcan al plano y desarrollamos el determinante


Necesariamente, el punto (1, 2, 3) debe pertenecer al plano, por lo que será uno de los puntos. Si tomamos complementariamente dos puntos de la recta, tendremos los necesarios. Considerando las dos primeras ecuaciones y dando valores a una de las coordenadas, obtenemos las otras dos:


Con lo que podemos formar el determinante:

Que resuelto por los adjuntos de la primera fila nos da:

Y desarrollando:

3•x – 1•y + (-1)•z – (-2) = 0 ?
3•x – y – z = 0


Ejercicio 3

Determinar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a la recta:

Respuesta:

En la figura adjunta se tiene:
23.png




Por otro lado, el producto vectorial del vector director de la recta con el vector P0P se expresa:

24.png



Las coordenadas del vector director de la recta viene dadas por los denominadores de la ecuación continua v(1, 1, 2). Las coordenadas de un punto de la recta vienen dadas por los términos conocidos del numerador, es decir P0 = (1, 0, 1).

El vector P0*P tendrá entonces de coordenadas (x-x0, y-y0, z-z0) = (0, 2, 2). El módulo del producto vectorial será entonces:

25.png




El módulo del vector director valdrá:

26.png


Con lo que, finalmente:

27.png



28.png








La Circunferencia


29.png

Una circunferencia, es una ecuación de segundo grado con dos variables. Ahora bien, no toda ecuación de este tipo representa siempre una circunferencia; solo en determinadas condiciones es cierto. Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y su radio.

30.png


• La ecuación de la circunferencia de centro (h, k ) y radio r es:

(x - h)2 + (y - h)2 = r2

Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma

x2 + y2 = r2

Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Si escribimos esta ecuación en la forma:

x2+ Dx + y2+ Ey + F = 0

y sumamos y restamos los términos que se indican para completar cuadrados, se tiene,

x2 + Dx + (D2)/4 + y2+ Ey + (E2)/4 = (D2)/4 + (E2)/4 - F

Bien se tiene así:

(x + D/2)2 + (y + E/2)2 = (D2 + E2 - 4F)/ 4

El centro es el punto (-D/2, -E/2) y el radio r = (1/2) (D2 + E2 - 4F) (1/2)
• Si D + E - 4F > 0, la circunferencia es real.
• Si D + E - 4F < 0, la circunferencia es imaginaria.
• Si el radio es cero y la ecuación representa al punto.


31.png




EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2, 3) y radio 4.

(x + 2)2 + ( y - 3)2 = 16 Ó x2 + y2 + 4x - 6y =3


Ejercicio 2

32.jpg

Hallar la ecuación de la circunferencia que pase por el punto (O, O), tenga de radio r = 13 y la abscisa de su centro sea - 12.


Como la circunferencia pasa por el origen:
33.png



Resolviendo;

34.png




Tendremos dos ecuaciones diferentes por el doble signo que tenemos

Desarrollando;

35.png


Tendremos dos ecuaciones diferentes por el doble signo que tenemos





CÓNICAS

El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fija es constante, recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica.

El punto fijo se llama, foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.

Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.

Si e < l, la cónica se llama elipse.

Si e = l, la cónica se llama parábola.
Si e > l, la cónica se llama hipérbola.



PARÁBOLA


Sean L'L y F la recta y punto fijos. Tracemos por F la perpendicular al eje x y sea 2ala distancia de F a L'L.

Por definición de parábola la curva debe cortar al eje x en el punto O, equidistante de F y L'L. El eje y se traza perpendicular al x por el punto O.

Las coordenadas de F son (a, O) y la ecuación de la directriz es x = -a, o bien, x + a = O. Sea P(x, y)un punto genérico cualquiera de manera que:

36.png



Entonces,

37.png



Elevado al cuadrado, O bien:

38.png



De la forma de la ecuación se deduce que la parábola es simétrica con respecto al eje X. El punto en que la curva corta al eje de simetría se denomina vértice. La cuerda C'C que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama latus rectum. La longitud del latus rectum es 4a, es decir, el coeficiente del término de primer grado en la ecuación. Si el foco está a la izquierda de la directriz, la ecuación toma la forma:

39.png



Si el foco pertenece al eje y la forma de la ecuación es:

40.png



En la que el signo depende de que el foco esté por encima o por debajo de la directriz.

Consideremos ahora una parábola de vértice el punto (h, k), de eje paralelo al de coordenadas x y cuyo foco esté a una distancia a del vértice y a la derecha de él.

La directriz, paralela al eje y y a una distancia 2a a la izquierda del foco, tendrá la ecuación x= h-a o bien, x - h + a = 0.
Llamemos P (w, y) un punto genérico cualquiera de la parábola. Como PF = PM,





EJERCICIOS RESUELTOS

1. Hallar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del latus rectum de la parábola 3y2 = 8x

Desarrollo:

De la ecuación de la parábola se deduce que 4a = 8/3 de donde a=2/3. El foco es el punto de coordenadas (2/3, 0 ) y la ecuación de la directriz es x = - 2/3

2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (0, - 4/3) y por directriz la recta y - 4/3 = 0

Desarrollo:


Sea P(x, y) un punto genérico cualquiera de la parábola. En estas condiciones,

41.png



Elevando al cuadrado y simplificando, = 4a = 16/3

42.png









LA ELIPSE

Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.

43.png

Los dos puntos fijos se llaman FOCOS de la elipse. Designemos por F y F` los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos se la llama eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V y V`, llamados VERTICES.La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento V V`, se llama EJE MAYOR. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta vertical que pasa por el centro se la designa eje normal. EL segmento AA` se llama eje menor. B B` se llama cuerda, ya que une dos puntos cualesquiera de la elipse. E E` se la llama cuerda focal, debido a que es una cuerda que pasa por los focos.


ECUACION DE LA ELIPSE

La canónica de la ecuación de la elipse Considerando el origen C (0,0), y cuyo eje focal coincide con el eje X. El punto O es el punto medio del segmento FF`, las coordenadas de los focos serán, (c,0) y (-c,0)respectivamente, siendo c una constante y (x,y) un punto cualesquiera de la elipse. Por la definición de curva, el punto P debe satisfacer las condiciones geométrica FP I + IF`PI = 2a ; si a>c desarrollando obtenemos la ecuación:


44.png




La cónica de la ecuación de la elipse con centro diferente al origen C ( x1,y1)

45.png



La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada. La excentricidad E de una elipse está dada por:

46.png



Como la elipse tiene dos focos también tendrá dos directrices. Las ecuaciones de las directrices D`D` Y DD son respectivamente: x+ a/E =0 Y x- a/ E = 0Si los focos estuvieran sobre el eje y, las ecuaciones de las directrices serían:

y+ a/E =0 Y y- a/ E = 0 Se denomina latus rectum de la elipse a la cuerda perpendicular al eje mayor del eje mayor por uno de los focos: Su longitud es 2b²/a La ecuación general de la elipse es: Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0; donde A y B son del mismo signo.




Ejercicios resueltos:
1. Encuentre la ecuación de una elipse con vértices V (5,0) y V (-5,0) y focos F (2,0) y F´ (-2,0).

Solución: Al ubicar las coordenadas de los vértices y de los focos vemos que estos están en el eje de las X por tanto el eje mayor es el eje X que también podemos decir que es el eje focal.

De donde tenemos que a = 5 y c = 2 y luego b =2 y 25 - 4= 21 y así b = 21.

Por tanto la ecuación de la elipse tiene la forma


47.png

Sustituyendo los valores de a y b tenemos que la ecuación que estamos buscando es:

x² / 25 + y²/21 = 1






LA HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuyas diferencia de distancias a los puntos fijos F(c,0) y F`(-c,0) es constante e igual a 2a

48.png

Los FOCOS están designados F y F`. La recta l que pasa por los focos se la llama eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos en dos puntos, V y V`, llamados VERTICES. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento V V`, se llama EJE TRANSVERSO. El punto C del eje transversal, se llama centro. La recta vertical que pasa por el centro se la designa eje normal. El eje normal no corta a la hipérbola; sin embargo, una porción definida de este eje, el segmento AA` que tiene C por punto medio, se llama eje conjugado. El segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda.

En particular si una cuerda pasa por unos focos se la llama cuerda focal.

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

La canónica de la ecuación de la hipérbola considerando el origen C (0,0). El punto O es el punto medio del segmento FF` , las coordenadas de los focos serán, (c,0) y (-c,0) respectivamente, siendo c una constante y (x,y) un punto cualesquiera de la elipse . Entonces por la definición de la hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica siguiente, que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante:

I FP I - IF`PI = 2a ; donde a es una constante positiva y 2a<2c.Desarrollando obtenemos la ecuación:


49.png





La cónica de la ecuación de la hipérbola con centro diferente al origen C (h,k)


50.png





Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia C de unidades del centro.

51.png




EN RESUMEN:

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

1. El centro está en (h,k)
2. Los vértices están en (h+a,k) y (h-a,k)
3. Los focos están en (h+c,k) y (h-c,k)

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

1. El centro está en (h,k)
2. Los vértices están en (h+k,a) y (h-k,a)
3. Los focos están en (h+k,c) y (h- k,c)

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en (h,k) .El segmento recto de longitud 2b que une (h,k+b) y (h,k-b).

Se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.

52.png


La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los de coordenadas x e y es:

Ax² - By² + Dx + Ey + F = 0




Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1

Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9x2 – y2 – 36x – 6y + 18 = 0Completando cuadrados en ambas variables tenemos9(x2 – 4x + 4 – 4) – (y2 + 6y + 9 – 9) + 18 = 0

9(x – 2)2 – 36 – (y + 3)2 + 9 + 18 = 0
9(x – 2)2 – (y + 3)2 = 9

Dividiendo por 9 a ambos miembros de la igualdad queda:

(x-2)² - ( y+3)²/9 = 1

Por tanto, el centro está en (2, – 3). El eje transverso de la hipérbola es horizontal, a = 1 y b = 3.

Como,

53.png



Se tiene que c2 =10. Por lo tanto los vértices están en (1, – 3) y (3, – 3), en tanto que los focos se ubican en (2 + 10, – 3) y en (2 –10, – 3).

La excentricidad es e = 10.


Ejercicio 2

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en (3, – 5) y (3, 1), y las asíntotas son las rectas y = 2x – 8 e y = – 2x + 4 . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.

Por ser el centro el punto medio del segmento que une los vértices sus coordenadas son (3, –2). Además, la hipérbola tiene eje transverso vertical y el valor de a es 3. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas

m=2 = a/b → b= a/2 → b= 3/2

Por tanto, la ecuación canónica es:

(y+2)² /9 - ( x-3)²/(9/4) = 1

El valor de c está dado por:

54.png


Los focos están en (3, -2- 45/4) y (3, -2+ 45/4) y la excentricidad es e²=5/4






Transformación de coordenadas

En la geometría analítica, al igual que en la física´, es muy importante elegir un sistema de coordenadas o referencia, adecuado con objeto de simplificar al máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea lo más rápido posible. Ello se realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo proceso general se pueda considerar reducido a dos movimientos, uno de traslación y otro de rotación.

Traslación de ejes de coordenadas.

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen, O’ es el punto (h, k), y si las coordenadas de cualquier punto antes y después de la traslación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:
x = x’ + h; x’ = x - h
y = y’ + k; y’ = y – k
55.png



Rotación de ejes de coordenadas.

Si los ejes coordenados giran un ángulo q entorno de su origen como centro de rotación y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (x, y) y (x’, y’) respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema están dadas por:
x = x’cos(q) – y’sen(q); y = x’sen(q) + y’cos(q)

56.jpg

COORDENADAS POLARES

57.jpg 58.gif


En un lugar de fijar la posición de un punto del plano en función de sus distancias a dos rectas perpendiculares es preferible, a veces, hacerlo en función de distancia a un punto fijo y de la dirección con respecto a una recta fija que pase por este punto. Las coordenadas de un punto, en esta referencia, se llaman coordenadas polares.


59.jpg



El punto fijo O se denomina polo y la recta fija OA se llama eje polar. Las coordenadas polares de P se representan por (r,Θ), siendo:

r = la distancia OP y Θ el ángulo AOP

Si r y Θ están relacionados por una ecuación cualquiera, se pueden asignar valores a Θ y determinar los correspondientes de r. Los puntos que resultan constituyen una línea recta o curva, definida.

SIMETRÍAS, Igual que ocurre en el caso de coordenadas cartesianas, en las coordenadas polares también se dispone de criterios para averiguar las simetrías que puede representar un lugar geométrico cualquiera.

• Una ecuación es simétrica con respecto al eje polar cuando al sustituir Θ por - Θ no se modifica.
• La curva es simétrica con respecto a la perpendicular al eje polar que pasa por el polo cuando la ecuación no varía al sustituir Θ por π - Θ.
• Una curva es simétrica con respecto al polo cuando la ecuación no varía al sustituir r por - r, o cuando se sustituye Θ por π + Θ.


RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS RECTANGULARES Y POLARES

60.jpg
Consideremos al punto P ( r , Θ ), suponiendo el eje polar OX y el polo O son, respectivamente, el eje x y el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean (x, y) las coordenadas rectangulares del mismo punto:

61.png






EJERCICIOS RESUELTOS:


1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 30°) y es perpendicular al eje polar OX. Sea (r, Θ) un punto genérico cualquiera de la recta.

Se tiene; r cos Θ2 cos 30°2(31/2/2) o bien r cos Θ = 31/2

62.jpg



2. Un segmento de longitud 2a tiene sus extremos sobre dos rectas fijas perpendiculares. Hallar el lugar geométrico del pie de la perpendicular trazada desde el punto de intersección de las rectas al segmento.

63.jpg


Se tiene OA = OP sec Θ = AB cos (90°- Θ)

r sec Θ = 2a cos (90°- Θ)

Entonces : r = 2a sen Θ cos Θ , de donde , r - a sen 2Θ (Trebol de cuatro Hojas)




TANGENTE Y NORMAL

La tangente a una curva en uno de sus puntos es:


Sean P y Q dos puntos de la curva y trazamos la secante PQ. Si el punto Q se desplaza a lo largo de la curva hacia P, la secante PQ irá girando alrededor de P.
Cuando Q tienda a P la secante PQ coincide, en el límite, con la recta PT que se llama tangente de la curva en P.

La normal PN a una curva es perpendicular en el punto de la curva P.

Para hallar la pendiente de la tangente a la circunferencia64.png en el punto P1(x1, x1)


Sea Q1 (otro punto de la circunferencia. La pendiente entre P y Q es k/h. Al girar la tangente alrededor de P1. El punto Q tiene hacia P1, y los valores de k y h lo hacen hacia cero.

Los puntos P1(x1, x1) y Q1(x1+h, y1+k) satisfacen la ecuación

Sustituyendo:
65.png
Restando (1) de (2)

66.png


67.png
Entonces: 68.pngel límite de esta expresión cuando h y k tienden a cero es -x1/y1 , ósea, m= - x1/y1

Como la tangente pasa por P1(x1,x1) su ecuación es:

69.png



PROBLEMAS RESUELTOS:

1) Hallar las ecuaciones de las rectas de pendientes m tangentes a la elipse:

70.png



Ecuación de la recta: y= mx + k

Igualando las ecuaciones se obtiene:


71.png



Las raíces de esta nueva ecuación deben ser iguales… su discriminante debe ser 0.

Las ecuaciones de las rectas de pendiente m y tangentes a la elipse son:

72.png



2) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse paralelas a la recta 3x + 8y = 7

Solución:

Pendiente de la recta dada: -3/8

Ecuación pedida :

73.png

Igualando la ecuación pedida con la de la elipse y con la condición de que las raíces sean iguales:

74.png
Entonces:
75.png

Estas serían las ecuaciones pedidas.