FRACCIÓN PARCIAL



La integral de funciones racionales no es realmente un método de integración sino que es más bien un procedimiento algebraico que consiste en descomponer una fracción donde el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador; fracciones parciales.
Se dice que una función racional Imagen0.png es una fracción propia, si el grado del polinomio P(x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el grado de P(x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia.

Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio, más una fracción propia.
Es decir:

Imagen9.png


Para dicha descomposición utilizaremos los siguientes teoremas.

a) TEOREMA

Todo polinomio con coeficientes reales siempre se puede representar como un producto de polinomios irreducibles (en ιʀ) lineales o cuadráticos con coeficientes reales.

b) TEOREMA

Cualquier fracción propia P(x)/Q(x) es decir; (P(x) < Q(x)) se puede descomponer en la suma de fracciones parciales como sigue:

Para resolver fracciones parciales tenemos los siguientes casos


1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible.

4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido.

CASO 1:

El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos.

ESTO SE PUEDE ESCRIBIR COMO:

Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2) · · · (anx + bn)

En donde no hay factor que se repita.

En este caso, existen constantes A1, A2, · · ·, An.
Tales que:

Imagen10.png

Ejemplo.

Descomponer en fracciones parciales la fracción:

Imagen11.png

Solución:
Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue:

Imagen12.png

Luego la descomposición en fracciones parciales es:

Imagen13.png

Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por (x + 4) (x − 1), obteniendo

7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4)

Desarrollando tenemos

7x + 3 = Ax − A + Bx + 4B

7x + 3 = Ax + Bx − A + 4B

7x + 3 = x(A + B) − A + 4B

7x + 3 = x(A + B) − A + 4B

En donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

7x = x (A + B) 3 = − A + 4B

A+B=7 −A+4B = 3

A=7−B −7+B+4B=3

5B=10

B=2

A=5

Por lo que la fracción queda:

Imagen14.png


CASO 2:

El denominador q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
Si Q(x) tiene un factor lineal repetido "n" veces de la formaImagen1.png, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene "n" términos de la forma:

imaj1.png


Ejemplo.

Descomponer en fracciones parciales:
Imagen3.png

SOLUCION:
La descomposición en fracciones parciales es:

Imagen4.png

Multiplicando por el denominador común tenemos:

Imagen5.png
Imagen6.png

Obteniendo los sistemas de ecuaciones siguientes:

Imagen7.png
Por lo que la fracción queda:

Imagen8.png

CASO 3:

El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la formaImagen15.png , en donde, imagen16.png
entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma:

Imagen17.png
Donde A y B son constantes.

Ejemplo.

Descomponer en fracciones parciales:

Imagen18.png

Luego la descomposición en fracciones parciales es:
Imagen19.png

Multiplicando por el común denominador:

Imagen20.png

Obteniendo el sistema:
Imagen21.png

Por lo que la fracción queda:
Imagen22.png

CASO 4:

El denominador q(x) contiene un factor irreductible repetido.

Si Q(x) tiene un factor cuadrático repetido "k" veces de la forma,donde, Imagen24.png entonces la descomposición en fracciones parciales contiene n términos de la forma:





Donde A1, A2, · · ·, An y B1, B2, · · ·Bn son constantes


Ejemplo.

Descomponer en fracciones parciales:


Imagen26.png

Solución:

La forma de descomponer esta división de polinomios en fracciones parciales es:


Imagen27.png

Obteniendo el sistema:

Imagen28.png
Por lo que la fracción queda:

Imagen29.png





TRUCOS INTEGRAL PARCIAL


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