Funciones Reales

De ahora en adelante estudiaremos un conjunto particular de funciones llamadas funciones reales.

DEFINICIÓN
Se define una función f de un conjunto A en un conjunto B, como un subconjunto de A x B tal que cada elemento x ϵ A hace corresponder un único y ϵ B, de modo que y es la imagen de x por f y se denotara: y = f(x)

DEFINICION.png

Donde tanto A como B son subconjuntos de R; es decirA⊂RB⊂R

Para indicar que f es una función de A en B se usa la siguiente notación

f : A→B A→B

o

x→y=f(x) x→y=f(x)


DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores independientes posibles que una función puede tener.
En el caso de funciones reales, para determinar el dominio de la función, en la expresión y=f(x) vemos cuales son los posibles valores para la variable x.

El rango de una función o relación es el conjunto de todos los valores dependientes posibles que la relación puede producir.
Para determinar el recorrido o rango de una función, de la expresión y=f(x) despejamos x con los valores del dominio, y vemos cuales son los valores que puede tomar la y, estos valores constituyen el recorrido de la función.


TIPOS DE FUNCIONES

  • FUNCIÓN AFÍN Y LINEAL

Es una función definida por:
formula.png

ecuacion a fin.png


PROPIEDAD: Sea f la función lineal de R en R definida por f(x)=ax. Entonces:
formula2.1.png
de (i) y (ii) podemos resumirlo en:
formula3.png

Es decir que la función lineal cumple con la propiedad de linealidad

  • FUNCIÓN POTENCIA POSITIVA

Es una función definida por:
formula4.png
Con un entero positivo.

PRIMER CASO: Si n=1,
f(x)=x luego f es la función identidad, la misma que es un caso particular de la función lineal.

CASO GENERAL: n ≥ 2
  • Paridad

paridad.png
Entonces:

Si n es par, f(-x) = xn y f es una función par
Si n es impar, f(-x) = - xn y f es una función impar

En los dos casos es suficiente estudiar la función f sobre el intervalo [0,∞[


Función par:
ecuacion2.png


ecuacion par.png


Ecuación impar:
ecuacion3.png

ecuacion impar.png




  • FUNCIÓN POTENCIA NEGATIVA

Es la función real

potencia negativa.png
Con n entero estrictamente positivo.

  • Paridad

paridad negativa.png

Entonces:


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008a.JPG

En ambos casos es suficiente estudiar la función f sobre el intervalo ]0,+∞[.

Si n es par, obtenemos toda la gráfica de f a través de una simetría con respecto al eje Y.

Si n es impar, obtenemos toda la gráfica de f a través de una simetría con respecto al origen.f es monótona sobre el intervalo ]0,+∞[



009a.JPG

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Reconocemos aquí la expresión correspondiente al cociente Q de la función positiva, el cual es siempre positivo y como :

formula5.png
se tiene que en este caso Q < 0 y en consecuencia la función potencia negativa es estrictamente decreciente sobre ]0,+∞[
EJEMPLOS:


ejemplos.png
Caso General: Sabemos que para todo n :


formula6.png
  • FUNCIÓN RAÍZ

Sea la función: formula7.png


Sabemos que g es una función biyectiva; por lo tanto, existe su función inversa:

formula8.png

Definición: Llamamos raíz n-ésima de un real positivo al único número real positivo g-1(y), y la notaremos por:

formula9.png

Observación:
Como g o g
-1
= I =g
-1
o g, tenemos que para cualquier número real positivo g(g
-1
(y)) = y es decir:


ecuacion4.png


En este caso tenemos que como g es una función creciente, también g-1 es creciente.021a.JPG

Consecuentemente se tiene que g-1 es estrictamente creciente.

(La inversa de una función estrictamente creciente es estrictamente creciente y la inversa de una función estrictamente decreciente es estrictamente decreciente)

La representación gráfica de g-1 se deduce de la representación gráfica de g por una simetría con respecto a la bisectriz de los dos ejes, es decir, respecto a la recta y=x puesto que si M = (x,g(x)) ∈ g, y=g(x) ⇔ x= g-1 (y) entonces:

N = (y, g-1 (y)) ∈ g-1 y se ve que los puntos M y N son simétricos con respecto a la bisectriz del primer cuadrante, ya que el punto medio del segmento MN es el punto de coordenadas ((x+y)/2,(x+y)/2).

Observación: La función f : R → Rx → f(x) = xn para n>2 no es general biyectiva, pues si n es par xn siempre es positivo.

Entonces la raíz n-ésima es definida para los reales positivos o el cero y el resultado es un número mayor o igual a cero.

Sin Embargo si n es impar, la función f es biyectiva de R en R y podemos definir su función inversa en todo R. Asi:

f -1 : R → R
y → f -1(y)=x= y^(1/n)


ejemplo3.png

Notaremos también que:

f -1(y)=x= y^(1/n), pues cuando y>=0, f -1(y)=g-1 (y)

Entonces, podemos hablar de la raíz n-ésima de un número negativo siempre y cuando n sea impar.


  • FUNCIÓN POLINOMIAL Y RACIONAL

DEFINICIÓN
Llamamos función polinomial o polinomio de grado n a una función del tipo:

formula10.png
EJEMPLOS


1. f es una función polinomial de grado 3, definida por:

formula11.png

Donde:formula12.png

2.Una función afín es una función polinomial de grado 1.


3. Una función potencial positiva es una función polinomial de grado n.

OBSERVACIÓN
Una función monomio m es el producto de una función constante por una función potencia. Es decir:

formula13.png

Por lo tanto una función polinómica es la suma de funciones monomios.

DEFINICIÓN
Llamamos función racional a una función que es el cociente de dos funciones polinómicas.

formula14.png
EJEMPLO
La función q definida por:

formula15.png
es una función racional puesto que se puede escribir en la forma:

formula16.png

PROPOSICIÓN: El dominio de una función racional es igual al conjunto de los números reales salvo los valores que anulan el denominador.


Demostración:
Dom (p1)=R, Dom (p2)=R
Luego Dom (p1/p2) = Dom (p1) ∩ Dom (p2) - {x/P2(x)=0}; es decir:
Dom (q) = R - {x/P2(x)=0}
En el ejemplo: P2(x)=0 ⇔ x² -4= 0 o x² = 4 ⇔ x=2 o x=-2.
Luego Dom (q) = R - {-2, 2}

  • FUNCIÓN PARTE ENTERA DE X

DEFINICIÓN: Sea x ∈ R, "parte entera" de x que se nota [z] es el mayor entero menor o igual que x.

EJEMPLO:
1.[1/2]=0
2.[2]=2
3.[-3]=-3
4.[-3.5]=4

OBSERVACIÓN: Si n ≤ x < n+1, n ∈Z, entonces [x] = n.
Es decir que[ ]:
R→R
x→[x] = y
Su gráfica es la siguiente:

formula17.png