DERIVADAS PARCIALES




En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,



external image Grafico_3d_x2%2Bxy%2By2.png
Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.


external image X2%2Bx%2B1.png
Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable ycomo constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha.

A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:
en el punto (1, 1, 3),
o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos
  • Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula


  • external image Cone_3d.png
  • El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)

  • V(r,h) = frac{ r^2 h pi }{3}
    V(r,h) = frac{ r^2 h pi }{3}

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

  • frac{ partial V}{partial r}(r, h) = frac{ 2r h pi }{3}, qquad frac{ partial V}{partial h}(r, h) = frac{ r^2 pi }{3}
    frac{ partial V}{partial r}(r, h) = frac{ 2r h pi }{3}, qquad frac{ partial V}{partial h}(r, h) = frac{ r^2 pi }{3}

  • Otro ejemplo, dada la función
    F : mathbb{R}^2 rightarrow mathbb{R}
    F : mathbb{R}^2 rightarrow mathbb{R}
    tal que:

 F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y,
F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y,

la derivada parcial de F respecto de x es:

frac{partial F}{partial x}(x, y) = 9x^2y + 4xy^2
frac{partial F}{partial x}(x, y) = 9x^2y + 4xy^2


mientras que con respecto de y es:


frac{partial F}{partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7
frac{partial F}{partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7


DEFINICIÓN NORMAL


Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : UR una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

frac{ partial }{partial x_i }f(mathbf{a}) =lim_{h rightarrow 0}{f(a_1, dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, dots ,a_n) -f(a_1, dots ,a_n) over h }
frac{ partial }{partial x_i }f(mathbf{a}) =lim_{h rightarrow 0}{f(a_1, dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, dots ,a_n) -f(a_1, dots ,a_n) over h }



O visto respecto a la derivada direccional:

frac{ part}{part x_i} f(vec{x}_0) = D_{vec{v}}f left( vec{x}_0 right) =underset{trightarrow 0}{lim }frac{fleft(overrightarrow{x_0}+tvec{v}right)-fleft( vec{x}_0 right)}{t}
frac{ part}{part x_i} f(vec{x}_0) = D_{vec{v}}f left( vec{x}_0 right) =underset{trightarrow 0}{lim }frac{fleft(overrightarrow{x_0}+tvec{v}right)-fleft( vec{x}_0 right)}{t}


Donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (xi). ||left}} Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.

NOTACIÓN

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
  • Derivadas parciales de primer orden:
    frac{part f}{part x} = f'_x = part_x f
    frac{part f}{part x} = f'_x = part_x f
Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:
  • frac{part^2 f}{part x^2} = f''_{xx} = part_{xx} f, qquad> frac{part^2 f}{part y^2} = f''_{yy} = part_{yy} f,
    frac{part^2 f}{part x^2} = f''_{xx} = part_{xx} f, qquad> frac{part^2 f}{part y^2} = f''_{yy} = part_{yy} f,
Derivadas cruzadas de segundo orden:
  • frac{part^2 f}{part xpart y} = f''_{xy} = part_{xy} f, qquad> frac{part^2 f}{part ypart x} = f''_{yx} = part_{yx} f,
    frac{part^2 f}{part xpart y} = f''_{xy} = part_{xy} f, qquad> frac{part^2 f}{part ypart x} = f''_{yx} = part_{yx} f,

TERMODINÁMICA

En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:
  • left( frac{part Y}{part X} right)_Z
    left( frac{part Y}{part X} right)_Z
Que significa que
exists f_{XZ}(cdot): Y = f_{XZ}(X,Z),
exists f_{XZ}(cdot): Y = f_{XZ}(X,Z),
y entonces:

  • left( frac{part Y}{part X} right)_Z := frac{part f_{XZ}(X,Z)}{part X}
    left( frac{part Y}{part X} right)_Z := frac{part f_{XZ}(X,Z)}{part X}
Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que en general:
  • left( frac{part Y}{part X} right)_{Z_1} ne> left( frac{part Y}{part X} right)_{Z_2}>
    left( frac{part Y}{part X} right)_{Z_1} ne> left( frac{part Y}{part X} right)_{Z_2}>
Ya que la forma precisa de las funciones
f_{XZ_1}(cdot,cdot)
f_{XZ_1}(cdot,cdot)
y
f_{XZ_1}(cdot,cdot)
f_{XZ_1}(cdot,cdot)
es diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.


.



DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

external image image024.jpg



2. Derivar dos veces respecto de y:

external image image025.jpg



3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

external image image026.jpg



4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

external image image027.jpg



Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial


external image image028.jpg
Orden de derecha a izquierda


indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

Ejemplo 3.4


Encontrar las derivadas parciales segundas de external image image029.jpgy calcular el valor de fxy(-1,2)

Solución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

external image image030.jpg



Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

external image image031.jpg



Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema 3.1


Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,
external image image032.jpg

Ejemplo 3.5


Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función external image image033.jpg

Solución

Las parciales primeras son,

external image image034.jpg



Y las parciales cruzadas son,

external image image035.jpg

Ejercicios


Ejercicio 3.1

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y

  1. external image image036.jpg
  2. external image image037.jpg
  3. external image image038.jpg
  4. external image image039.jpg
  5. external image image040.jpg
  6. external image image041.jpg
  7. external image image042.jpg

Ejercicio 3.2

Evaluar fx y fy en el punto que se indica

  1. external image image043.jpg, (2,-2)
  2. external image image044.jpg, (1,0)
  3. external image image045.jpg, (2,-2)
  4. external image image046.jpg, (1,0)

Ejercicio 3.3

Encontrar las segundas derivadas parciales f xx, fyy, f xy y fyx

  1. external image image047.jpg
  2. external image image048.jpg
  3. external image image043.jpg
  4. external image image045.jpg

Ejercicio 3.4

Demostrar que fxy=fyx

  1. external image image049.jpg
  2. external image image050.jpg
  3. external image image051.jpg
  4. external image image052.jpg
  5. external image image053.jpg
  6. external image image054.jpg

Ejercicio 3.5

Verificar que la función satisface la ecuación de Laplace

external image image055.jpg

external image image056.jpg

Ejercicio 3.6

Utilizar la definición mediante límites de las derivadas parciales para encontrar fx(x,y) y fy(x,y)

external image image057.jpg

Ejercicio 3.7

Dibujar la curva de intersección de la superficie y del plano dados. Encontrar la pendiente de la curva en el punto que se especifica

|| superficie
plano
punto
external image image058.jpg
x=2
(2,3,6)
y=1
(2,1,8)
y=3
(1,3,)
x=1
(1,3,0)