DERIVADAS PARCIALES


Sea F(x,y) una función de dos variables x Y y . Si y es considerada como constante e igual a Yo, entonces F(x,y) es una función solo de la variable x yes denota por df/dx (xo, yo)
Por lo tanto, Similarmente, la derivada parcial de F con respecto a y en (xo,yo) es denotada por df/dy (xo,yo).


OTRAS NOTACIONES:

Si z=F(x,y), escribimos df/dx (x,y) =dz/dx(x,y) =Fx(x,y), df/dy(x,y)= dz/dy(x,y)=Fx(x,y)


350px-Dz-dy-parcial.jpg



Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al eje x.

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.

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Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable ycomo constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha.

A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres. Que escribimos:
en el punto (1, 1, 3),
o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

Ejemplos
  • Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

external image Cone_3d.png


  • El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r)

V(r,h)=r²hπ/3

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:


  • dv/dr (r,h)=2rhπ/3 , dv/dh(r,h)= r² π/3




  • Otro ejemplo, dada la función F:R² R tal que:


F(x,y) =3x³y + 2x²y²-7y

la derivada parcial de F respecto de x es:


dF/dx(x,y)=9x²y +4xy²


mientras que con respecto de y es:



d F/dy(x,y)3x³ + 2x²2y-7=3x³+4x²y-7



DEFINICIÓN NORMAL

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U→ R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto
a = (a1,..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:


d/dx f(a) = lim/h➝o f(a1,.....,ai-1,ai+h,ai+1,.......,an) – f(a1,......,an)



O visto respecto a la derivada direccional:


d/dxi f(Xo) = Dvf (Xo) = lim/t➝o f(Xo + Tv) – f(Xo) /t


Donde es el vector unitario del eje respecto al que se deriva (xi). ||left}} Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función no sólo es continua sino además diferenciable cerca de a. En este caso, f es una función C1.

NOTACIÓN

Para el siguiente ejemplo, f será una función de x e y.
  • Derivadas parciales de primer orden:

dF/dx =f'x =dxf

Derivadas parciales (dobles) de segundo orden:

d²f/dx² = F¨xx = Dxxf , d²f/dy² =F¨yy =Dyyf

Derivadas cruzadas de segundo orden:

d²f/dxdy = F¨xy = Dxyf, d²f/ dydx = F¨xy = Dyxf

TERMODINÁMICA


En termodinámica y otras áreas de la física se emplea la siguiente notación:

(dY/dX)
Que significa que Fxz(.) : Y = Fxz (X,Z) y entonces:

(dY/dX) := dfxy(X,Y)/ dX
Esta notación se usa porque frecuentemente una magnitud puede expresarse como función de diferentes variables por lo que en general:

(dY/dX)z1 ≠ (dY/dX) z2

Ya que la forma precisa de las funciones Fxz1 (.,.) y Fxz1(.,.)y es diferente, es decir, se trata de funciones diferentes.











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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z=f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:


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2. Derivar dos veces respecto de y:


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3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:


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4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:


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Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial



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Orden de derecha a izquierda
Indica que la primera derivación es con respecto a x, pero la parcial

(fy)x=fyx Orden de izquierda a derecha

Indica que la primera derivación es con respecto a y. Observar que con ambas notaciones se driva primero respecto de la variable que está más cercana a f.

Ejemplo:

Encontrar las derivadas parciales segundas de external image image029.jpgy calcular el valor de fxy(-1,2)

Solución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:


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Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta


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Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales. Esto sucede frecuentemente, como se indica en teorema siguiente.

Teorema


Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,

Ejemplo:

Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función
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Solución

Las parciales primeras son,


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Y las parciales cruzadas son,

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Ejercicio